1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Смысл этого ограничения вскоре станет ясным. Углы, удовлетворяющие нашему условию, мы будем называть допустимыми. Опишем теперь единичную и мнимоединичную окружности с центром в вершине О данного допустимого угла (рис. 10). Тогда (в силу нашего условия) стороны угла пересекутся с одной и той же ветвью какой-нибудь из этих окружностей. Образуется сектор АОВ, 190 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ.
ПР удвоенную алаи(адь которого мы будем назьгвать величиной угла АОВ (или, кратко, просто углом АОВ). Из этого определения ясно, что величина угла обладзет адаптивным свойством: если допустимый угол разделить полупрямой, исходящей из его вершины, на два угла, то его величина будет равняться сумме величин составляющих его углов. Таким образом, измерение углов производится по отдельности внутри каждого из четырех «основных углов», образованных в данной точке проходящими через нее изотропными прямыми, При этом мы отказываемся измерять углы, «перекидывающиеся» из одного основного угла в другой. Причина этого станет ясна, если мы будем менять угол АОВ (рис. 10), вращая, например, его сторону ОВ против часовой стрелки и стремясь к совпадению с изотропным направлением ОУ. Тогда площадь сектора АОВ стремится к бесконечное~и.
Действительно, площадь в оригинале (на псевдоевклидовой плоскости) и площадь в изображении (на обычной плоскости) одинаково выражаются интегралом (46,1) в ортонормированной координатной системе и, следовательно, совпадают. В изображении же плопгадь сектора А01 как площадь, Ограниченная ветвью гиперболы и ее асими гогой, является бесконечной. Итак, величина угла АОВ стремится к бесконечности, когда хоть одна из его с~оран стремится к изотропному направлению. Отсюда ясно, что угол, в котором сторона ОВ достигла изотропного направления 02', мы измерять не будем (его величину пришлось бы признать бесконечной) и тем более не будем измерять угол, в котором сторона ОВ перешла за изотропное направление О/ (величина угла как бы сверхбесконечная). Подсчитаем, в частности, угол, на который поворачивается вектор е, при собственном вращении (45.10) ортонормнрованного репера (О, еь, ет) (рис.
8), Требуется подсчитать, следовательно, площадь сектора АОВ, причем это можно сделать, как мы только что отмечали, и в изображении. Воспользуемся полярными координатами, разумеется, на плоскости изображения. Тогдз а 2 пл. АОВ= — ~ г«аЬр. 2 (46.4) Здесь г †полярн радиус †выражает через полярный угол чр из уравнения единичной окружности — Х"'+ х" =- 1. Так как х", х" в изображении играют роль прямоугольных декартовых координат, то Х =Г СОЕГР, Х =Гэ!ПГР, (46.5) 8 46) 191 НЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ Н УГЛОВ и мы получаем: Г' ( — з!п' гр+ соа' ~р) =- 1, Г' = —, 1 соа2(Р ' (46.6) Вставляя это значение в (46.4), имеем: и пл.
АОВ= — ~ —.— — 1и!п(сс+ — ) . 1 Р й~р 1 / пд 2 Осоз2<Р 4 (, 4)' ь (46. 7) Здесь а — конечное значение полярного угла гр — совпадает с углом наклона вектора е,, к вектору е, (в изображении!). Обозначим через 0 псевдоевклидов угол между е, и е, Тогда по общему ОПРЕДЕЛЕНИЮ 0 =-2 пл. АОВ= — 1О !я ( сс+ — ) = — 1и ! т п1 1 !+!Йи 2 (, 4) 2 1 — !Йа' Отсюда !я и =-, .= !'п О.
е" + ! (46.8) е, + ~3е, (!е,+ е, (46.9) через угол О. Так как координаты вектора е,, относительно репера (О, е, е ) равны, как мы видим. . . то, пользуясь 1 у'! ра ' у ! Аь ' обычной геометрией на плоскости изображения, получаем: !Еа=- р, Итак, гиперболический тангенс угла между е, е,. в псевдоевклидовоа плоскости равен тангенсу угла между этими векторами в плоскости изображения (при условии, что е, еа в изображении тоже являются ортонормированными, как мы все время это и предполагаем).
При вычислении угла 0 мы молчаливо приписали ему (как и площади АОВ) знак, совпадающий со знаком полярного угла сс. В этом смысле нужно понимать и формулу (46.8). Из (46.8) видно еще раз, что когда направление е,, стремится к изотропному, т. е. когда и — ~ 4 и, значит, (8а н- 1, то тй 0 -1- 1, а следовательно, 0 н- со. Таким образом, заставляя еи вращаться в пределах основного угла !'О!, мы заставляем псевдоевклидов угол 0 его наклона к е, меняться от — ОО до + оо, Поучительно выразить формулы преобразования (45.10) явклидово птостглнство и измявяний (гл.
|п 192 а отсюда (46. 10) и следовательно, г~ д г-г У"! Рз 2 .=.— — — = сЬО, г-з — = зЬ О. рг! !)2 Формулы собственного вращения (46.9) примут теперь вид е,, = с1г Оеа+ зй Ое,, (46.11) ен = зЬ Ое„+ сЬ Ое,. Эти формулы по внешности напоминают формулы собственного вращения ортонормированного репера на обычной плоскости е,, =. соэ ае„— гйп ае,, е,, = з!п ссе,-';- созае,, во втором же случае формулой !аЬ! спО (46.14) причем здесь предполагается, что а', Ьх, аЬ вЂ одно знака (иначе угол не имеет смысла).
В самом деле, если этот знак положительный, то можно принять: а Ь вЂ” = еы =- =его (46.15) Г' аз 1' Ь' Но, конечно, замена тригонометрических функций гиперболическими (а также изменение знака в одном члене) сильно преобразует всю картину. В частности, в формулах (46.11) можно менять О от — оо до + оо без периодического повторения результата, как это будет в обычных формулах (46.12). Мы можем теперь ввести измерение углов в любом л-мерном веи)ественнол евклидовом пространстве. Проводим через стороны угла двумерную плоскость. Она или несет на себе собственно евклидозу геометрию (как это всегда будет в случае собственно евклидова прострзнствз), и тогда угол измеряется как на обычной плоскости, или является псевдоевклидовой, и тогда угол изиеряется так, как было только что покззано, или является изотропной, и тогда измерение угла не имев~ смысла.
В первом случае острый (или пряьюй) угол ме,кду векторами а, Ь определяется обычной формулой созО= !аЬ ! (46. 13) т' ат ° ЬЯ $ 47) тгахмвгнов псевдогвклидово пгосгганство индекса 1 193 причем е,е, ) О, т. е, еы е,. лежат в одном основном угле. Тогда, умножая скалярно на е, второе из уравнений (46.11), получаем: еме, =сЬО и, пользуясь (46.15), приходим к формуле (46.14). Если же знак а', Ь', аЬ отрицательный, то положим: Ь ==е ч у — 2 ы а — = еа, р — аа (46.
16) причем е„е, (О, т. е. е,, е, лежат в одноч основном угле. Умножая скалярно на еа первое из уравнений (46.1!), получаем: е, ел = — сЬО и, пользуясь (46.16), снова приходим к (46.14), Заметим, что для данных неколлинеарных век~оров а, Ь первый, второй или третий случай имеет место в зависимости от положи- тельного, отрицательного илн нулевого значения а'Ь' †(аЬ)'.
й 47. Трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1 х' =- х'~ -(- ха~+ хз' будет иметь вид х' = — х' — ха — х', что означает лишь формальную разницу, сводящуюся к изменению знака у скалярного произведения (ср. начало $ 44), т и, К. Раыавскаа После евклидовых прострзнств индекса !а = О, т. е. собстиенно евклидовых, наибольший интерес представляют евклидовы пространства индекса в = 1 (они, конечно, принадлежат к псевдоевклидовым пространствам), Псевдоевклидова плоскость, рассмотренная нами в Я 45, 46, †э двумерный случай такого пространства.
Бвклидово пространство индекса 1 представляет интерес с точки зрения теории дифференциальных уравнений (волновое уравнение с и аргументами) и особенно с точки зрения теории относительности. В последнем случае играет роль именно четырехмерное еаклидово лра. сгранстао индекса 1. Однако лля наглядности мы рассмотрим сначала трехмерный случай. Здесь индекс а может принимать значения О, 1, 2, 3. При Ф =- О получаем собственно евклидово (обычное) пространство и при и = 3 фактически снова его же.
Действительно, все орты будут вместо единичных мннмоединичными, и скалярный квадрат вместо вида 194 ЕВКЛРДОВО ПРОСТРАНСТВО и НЗМЕРВННЙ (Гл. !гг Точно такая же лишь формальная разница будет между случаем й=-1 к' = — ха +х' + х' и случаем и = 2 2 аг гг гг х =х — х — ха. Поэтому вешественное трехмерное евклидово пространство имеет смысл рассматривать лишь в случаях 72 = О (собственно евклидово пространство) и 72 =- 1 (псевдоевклндово пространство). К изучению последнего мы и переходим. Выберем какой-либо ортонорагированный репер.
Так как индекс пространства равен единице, то один орт будет мннмоеднничным— его мы обозначим е,, а два других единичными: е„, е,. Итак, е, '= — 1, е,' = е', = 1, кроме того, е;е = О (1=~7). (47.1) В соответствии с фориулой а'; егет мы получаем: Ваа 1 В11 В22 1 К'/ О (1 Фу) ° (47. 2) Согласно формуле хг = и,.ху получаем связь между ковариантными и контравариантными координатами вектора в виде х,= — ха, х =х', х =-х'.
2 2 Скалярное произведение и скалярный квадрат выразятся формулами; хауз ( хгуг ( к2уг (47.4) ка ха'+ хг'+ ха' (47.5) Выясним некоторые основные свойства нашего пространства. Прежде всего рассмотрим всевозможные изотропные векторы х, причем для наглядности будем откладывать их от начала 0 (разумеется, за начало 0 можно принять любую точку пространства). Тогда концы векторов х будут иметь те же координаты х', что и сами векторы, а так как векторы изотропные, то х' = О, а следовательно: — ха +хг +ха =О, (47.6) Как и в случае псевдоевклидовой плоскости, мы будем пользоваться изображением нашего пространства в обычном пространстве.
А именно, орты е, е„еа данного репера изобразим обыкновенными ортами, начало 0 †некотор точкой обычного пространства, а все остальные точки М изобразим такими точками обычного пространства, чтобы вектор ОМ в изображении разлагался по е„ е„ е, всегда с теми же коэффициентами„ как и в оригинале. к 47) тгехмегное псевдоьвклндово пгостглнство индекса 1 !95 Очевидно, аффинные свойства изображения точно передают аффинные свойства оригинала (мы имеем здесь аффинный изоморфизм), но метрические свойства будут резко различными.
Мы видим, что в изображении концы изотропных векторов располагаются на конусе 2-го порядка (47.6). Впрочем, и в оригинале поверхность (47.6) мы вправе называть конусом 2-го порядка ввиду аффинного характера этого понятия. А именно, конус 2-го порядка в трехмерном вещественном аффинном пространстве можно определить как поверхность, имеющую уравнение вида (47.6) в некоторой аффинной координатной системе. Конус 2-го поРядка, на котором располагаются концы всевозможныл изотроаных векторов, отложенных из данной точки О, мы будем называть изотроакым конусом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
