1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. векторы которого, вообще говоря, частью единичные, частью мнимоединичные и все ортогональны между собой. Такие векторы мы будем называть ортами. Занумеруем их так, чтобы сначала шли миимоединичные е*,=-е',=... =-е„'=- — 1, (42.21) а затем единичные еа , = е„ , =- ... == е*„ = 1. й т Число мнимоеднничных векторов й может принимать значения О, 1, 2, ..., и. Соответственно метрический тензор у;.=еге. в ортонормированной координатной системе примет внд ду — — 0 (г'~/]; а"гт- — -дав=-...
=-д,а= — 1; 1 (42. 23) д„, „,=-...=-д„„=1. Связь между ковариантными и контравариантными координатами вектора хг = 4"; сет теперь перепишется в анде х; =- — х (1 †-= 1, 2, ..., Й), х; = хг(г' = и + 1, ..., л), (42.24) так что разница между контравариантнымн и ковариантными координатами вектора хотя, вообще говоря, н не исчезает, но становится мало значительной. 172 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ (гл. !и Скалярное произведение и скалярный квадрат в координатной записи теперь примут вид хУ =- Ксух Ут = — — х У' —...
— х У + ха+'Уь+'+... + х У", ) „+, „, ~ (42.25) хе == дг хсхт = — (х') т —... — (х") е -)- (х" + ~ )е -)-... -(- (х")а, Пользуясь зависимостями (42.24), эти формулы можно переписать совершенно в таком же виде для ковариантных координат: ху =. — х у,—... — х уа+ха „уа,т+... +х„у„, ) '(42.26) х~ = — х1 —, — х)1-)- к~А~, -)-... -)- хв. Инвариантную квадратичную форму ос х'хт, выражающую скалнрный квадрат вектора череа его координаты, мы будем называть метрической квадратичной формой. Мы видим, что в ортонормированной координатной системе метрическая квадратичная форма д; хтху приводится к каноническому виду суммы-разности квадратов йеременных. Верно и обратное: из (42.25) следуют,, очевидно, условия (42.23), а отсюда и условия (42.20), так что метрическая квадратичная форма приводится к канокическому виду только в ортонормированных координатах. Покажем теперь, что при любом выборе ортонормированного репера в данном пространстве число )т его мнимоеднничных ортов всегда одно и то же.
В самом деле, допустим, что мы построили два ортонормированиых репера (О, е,, ..., е„, е„э„ ...., е„) и (О', е,, ..., ес, етч„ ..., е„), причем в первом мнимоеднннчныс орты †э первые к векторов, а во втором †перв 1 векторов. Допустим, например, что ! ) )с, и покажем, что это приводит нас к противоречию. В самом деле, рассмотрим в совокупности единичные орты еь „ ..., е„ первого репера и мнимоединнчные орты е'„ ..., е; второго репера.
Так как их число ~ л, (л — к)+1) л, то между ними обязательно должна иметь место линейная зависимость. Ее мы запишем, перенеся в одну часть члены с мнимоеднничными, а в другую в с единичными ортами: ате',+... +а,е;=-()А теь,+... +))„е„. (12,2у) Это равенство возводим почленно в скалярный квадрат. Учитывая, что ее,'=-0(тишь~) и ет=-... =ес'= — 1, а также, что ее = = 0()~у) и е1+т- — —... — — е*„= 1, получим: — а —...— ссс'=-()А. + . +К. $ 43) СОБСТВЕННО ЕВКЛНДОВЫ ПРОСТРАНСТВА ясно, что это равенство может иметь место только прн ад — — ...
... = сс, = ))в д — †... — †))» = О (мы находимся в вещественном евклидовом пространстве и в соответствии с общим соглашением все рассматриваемые численные величины должны быть тоже вещественными). Но тогда вопреки нашему предположению оказывается, что (42,27) есть тождество, а не линейнав зависимость между рассматриваемыми векторами. Мы получили искомое противоречие. Игах, число )г мнимоединичных ортов ортонормироеанного репера э вещественном евклидовом пространстве, нак, следонателвно, и число и — й гго единичных ортов,нг зависит от выбора этого репера. Число и, которое представляет собой важную характеристику евклидова пространства, мы будем называть индексом евклидова пространстна. С алгебраической точки зрения наш результат представляет собой нзакон инерции» для вещественной квадратичной формы: при любом способе приведения ее к каноническому виду число как отрицательных„ так и положительных квадратов остается без изменения.
ф 43. Собственно евклидовы пространства Мы определили собственно евхлидовы пространства как такие вещественные евклидовы пространства, в которых длн любого вектора х~О ха,э О. (43, 1) Построение Ортонормированного репера в этом случае можно провести проще, чем в случае псевдоевклидова или комплексного евклидова пространства. Дело в том, что в собственно евклидовом пространстве, как мы знаем, все плоскости и Все векторы, отличные от нуля, — неизотропные. Поэтому в процессе построения нет надобности в предосторожностях, обеспечивающих неизотропный характер векторов х, у, ..., тн, и в ссылках на результаты ф 41 (именно, что гиперплоскость, ортогональная к неизотропному вектору, сама неизотропная).
Далее, среди векторов репера е„ е„ ..., ев не может быть мнимоединичных (в силу (43.1)), так что индекс )г = О, и все векторы е; †единичн: е, = е, .= ... = е» = 1. » — и .— (43. 2) Формулы (42.6) принимают вид (43.3) а~=О (гФЛ, хи=1. евклидово пгостглнство п изменений (гл. в 174 Овязь между ковариантными и контравариантными координатамн век- тора (42.24) теперь принимает вид (учитывая, что л=О) х-= х, г г (43А) т. е. те и другие координаты просто совпадают, Равенства (42.26) принимают вид ку=х,у,+... +х„у„, ) х'=х',+х',+... +х„'.
) (43.5) Таким образом, в ортонормированной координатной системе в собственно евклидовом пространстве мы получаем зе же по внешнему виду формулы, что и в комплексном евклидовом пространстве. Не нужно забывать прн этом, конечно, что сейчас у нас координаты точек и векторов принимают всевозможные вещественные значения, в то время как тогда они принимали всевозможные комплексные значения.
В частности, расстояние между двумя точками А, В будет выражаться (в результате совершенно аналогичного вывода) формулой (42.12): АВ=)г(х',— х )з+... +(х„' — х„)'. (43.6) Ясно, что у нас расстояние АВ будет всегда вещественным, в то время как в формуле (42,12) оно, как правило, было комплексным, Особо рассмотрим случай трехмерного собственно евклидова пространства, и=3. Формулы (43.5), (43.6) принимают вид ху=х,у, + х,у, + х„у„ АВ = Р (х', — х,)'+ (х,' — х,)'+ (х',— х,)'.
Эти формулы уже буквально повторяют формулы векторной алгебры обычного пространства. В связи с этим нетрудно обнаружить совпадение трехмерного собственно евклидовз пространства с нашим обычным пространством, точнее, их изоморфизм. Этим мы хотим сказать следующее. Отобразим построенное нами трехмерное собственно евклидово пространство на обычное пространство взаимно однозначно, а именно так, чтобы кажлая точка первого пространства с координатами х,, х„ х в ортонормированной координатной системе отобразилась н точку второго пространства с теми же координатамн х,, х,, х, в прямоугольной декартовой системе.
Очевидно, при этом отображении сохраняются все свойства точек и векторов й 43) созственно ввклидовы пгостехнствл (75 трехмерного собственно евклидова пространства (в том числе и метрические), так как они в ортонормированной координатной системе выражаются совершенно так же, как соответствующие свойства точек и векторов обычного пространства в прямоугольной декартовой системе (в частности, одинаково записывается расстояние между двумя точками). Проверка этого совершенно тривиальна. Вдинственный вопрос, который мог бы возникнуть, †э не имеется ли у обычного пространства еще таких свойств, которые отсутствуют у трехмерного собственно евклидова пространства. Грубо говоря, этого не может быть потому, что в конечном счете все свойства обычного пространства определяются измерением расстояний между точками по формуле ЛВ=)»(х',— х,)з+(х',— хз)я-';(х,' — х )я, а эта формула совпадает с аналогичной формулой (43.7) для трехмерного собственно евклидова пространства.
Однако точная проверка потребовала бы и точного определения того, что мы понимаем под свойствами обычного пространства, Поясним, что до сих пор мы пользовались понятием «обычного пространства», имея в виду то пространство, которое изучается элементарными средствами в школьном курсе, затем средствами аналитической и дифференпиальной геометрии в высшей школе и которое каждому знакомо, если и не в смысле строгого обоснования, то во всяком случае по основным свойствам. Между тем сейчас мы затронули вопрос, который для точного ответа потребовал бы и точного обоснования геометрии обычного пространства посредством той или иной ее аксиоматики.
Мезсду прочим, одной из таких аксиоматик может служить и наша аксиоматика трехмерного собственно евклидова пространствз. Вернемся к и-мерному случаю. Мы обнаружили, что длл собственно евклидова пространства индекс )« равен О. Конечно, верно н обратное: евклидова пространство индекса й = О будет собственно евклидовым, В самом деле, Ф = О означает, что все векторы ортонормированного репера †единичн и, следовательно, имеют место формулы (43.2) †(43.5). Но согласно (43,5) х'= х,*+х.,'+... +х„', а значит, х' > О для любого вектора х чк О (так как в этом случае среди координат х„х, ..., х„хоть одна не равна нулк>). Добавим, что нетрудно обнаружить изомврфизм любых двух собственно евклидовых пространств данного числа измерений и, отображая одно на другое тем же приемом, каким мы отображали трехмерное собственно евклидово пространство на обычное прострзнство. еаклидозо пгостгкнство л измегеннй [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
