1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 31
Текст из файла (страница 31)
8) а()„", =- „а;,: Р—. в -.Р Отметим важный пример: поднятие одного, например 2-го, индекса у Е';у дает единичный тензор: р'Ч д!Рв — 61 для которого мы сохраняем прежнее обозначение. Если мы теперь поднимаем и нижний индекс, то получим: дгд6Р— — 1,0, так как при суммировании уцелеет лишь один член, для которого р=-у'. Итак, поднимая оба индекса у метрического тензора, мы получаем контравариантный метрический тензор. Еще один пример: пусть аффинор у =Эх задан посредством тензора а'; (2 27), нли, как мы теперь будем писать, а',:, считая верхний индекс первым, а нижний — вторым. Тогда у'= а')х~.
Опуская индекс 1, получаем: (40.10) где аю — — д,. аР:, у,.=-а,. х, Таким образом, аффинор Й можно задать н дважды ковариантным тензором аг, причем его коорлинаты образуют матрицу преобразования коктраварианткых координат вектора-аргумента в ковариаитиые координаты вектора-функции.
() частности, аффинор Й называется симметрически,ч нли кососимметрическим в случае симметричности и кососимметричности тензора иг Слелует подчеркнуть, что эти определения могут быть формулированы лишь в евклидовом пространстве и не имеют никакого смысла в аффинном пространстве, где опускание индексов невозможно. Это относится и к понятию ковариантных координат вектора. й 41. Плоскости в и-мерном евклидовом нростравстве Мы понимаем под тл-мерной плоскостью в и-мерном евклидовом пространстве то же саиое, что н в и-мернои аффинном пространстве (на базе которого евклидова пространство построено). Нам известно, что такая лг-мерная плоскость сама является «г-агерным аффинным Ь и.
К. Рмчччеква ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [гл, щ 162 пространством. Но теперь на ней (как и во всем вмещающем пространстве) определено скалярное произвеление ху для любых двух векторов х, у. Казалось бы, можно утверждать, что плоскость евклидова пространства тоже представляет собой евклидова пространство меньшего числа измерений. Однако это не всегда верно. Может случиться, что скалярное произведение на данной лг-мерной плоскости не удовлетворяет условию невырозсденности (хотя во вмещающем пространстве это условие и удовлетворяется).
Другими словами, возможно, что на данной плоскости найдется вектор х ~ О, ортогональный ко всем векторам этой плоскости, но, конечно, не ко всем векторам пространства. В этом случае метрику на плоскости мы булем называть вырожденной, а соответствующую плоскость с такой метрикой будем называть изотролной.
Изотропную плоскость мы за евклидова пространство не признаем ввиду того, что в определение последнего Входит условие невырожденности; здесь же оно нарушено. Очевидно, все остальные свойства скалярного произведения в и-мерном пространстве имеют место и на любой плоскости этого пространства. Забегая вперед, следует сказать, что изотропные плоскости представляют собой исключение; как правило, плоскости являются неизотропными, т. е. несут на себе невырожленную метрику, и, следовательно, по своей геометрии являются евклидовыми пространствами соответствующего числа измерений. Кроме того, в случае собственно евклидова пространства вообще не существует изотропных плоскостей; в частности, их нет в обычном пространстве, в связи с чем нач трудно дается наглядное представление об этих плоскостях. Чтобы показать, что в собственно евклндовом пространстве все плоскости неизотропные, рассмотрим какую-нибудь т-мерную плоскость; на ней, как и во всем пространстве, соблюдается условие (39.7): хх ) О, если х Ф О.
(41. 1) й в этом случае на плоскости невозможен вектор хФО, ортогональный ко всем векторам плоскости, так как такой вектор был бы ортогонален, в частности, и к себе и мы в противоречие с условием (41.1) имели бы х'= О при х~ О. (41.2) Вектор х че О, для которого х' = О и который, следовательно, ортогонален к самому себе, называется изотролнь1м. Б собственно евклидовых пространствах такие векторы, как мы только что сейчас вилели, невозможны, зато в псевдоевклидовых и комплексных евклидовых пространствах они встречаются обязательно.
41) плОскОсти В л меРнОм езклидоаом пРОстРлнстив 163 Пусть ят-мерная плоскость задана начальной точкой О" и направляющими векторами а„..., а„. Принимая эти векторы за векторы аффинного репера в плоскости, составим их скалярные произведения: я„'з=а„аа (сс, ))=-1, 2, ..., гя).
(41.3) В соответствии с (39.8) у,' можно принять за координаты метрического тензора на нашей плоскости, если только соблюдается условие невнрождеиности (39.16): Ре(!у (=~0. (4 1 .4) В этом случае плоскость кеизотропиая и несет на себе евклидову геометрию с метрическим тензором (41.3). Вели же оказывается (41.5] РЕ1 ! Ваа ( = О, то плоскость будет изотропиой и несет на себе вырожденную метрику. Пусть теперь у нас имеется прямая линия с направляющим вектором а(а', ..., а") ~ О. Рассмотрим совокупность всех векторов х(х', ..., х"), ортогональных к данной прямой, т.
е. ортогональных ко всем ее векторам. Очевилно, для этого достаточно, чтобы векторы х были ортогональнн к а; (41.6) ах=0, т. е. ьи .агх' = О. ы'у Обозначая через а, ковариантные координаты вектора а и пользуясь (40.3) (в применении к аг), можно записать: а х'= О. (41.71 Таким образом, координаты х' векторов х должны удовлетворять линейному уравнению (41.7). Откладывая векторы к от начала О, мн видим, что концы их (обладающие теми же координатами хт) образуют гиперплоскость с уравнением (41.7), проходящую через начало О. Все векторы атой гиперплоскосги, очевидно. ортогональны ко всем векторам данной прялшй; такую гиперплоскость мы будем называть ортогональной к данной прямой, Итак, через точку О (и совершенно так же через любую заланную точку) всегда можно провести гиперплоскость, ортогональную к данной прямой, н притом единственным обрззом.
При этом нужно различать основной случай. когда данная прямая неизотропиая, т. е. аешь О, и исключительный случай, когда она изотропно.ч. г. е. аз = О. (1г(ы использовали условия (4 1.4) и (4 !.О), записанные длв 164 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [гл. ш «одномерной плоскостна, пь = 1.) Будем для простоты рассмзтривать прямую и ортогональную к ней гиперплоскость, проходящие через общую точку О.
В первом случае прямая линия не лежит в ортогональной к ней гиперплоскости, что, конечно, представляется нам само собой разумеющимся. Действительно, вектор а не может лежать в гиперплоскости, построенной согласно (41.6), так как иначе Он был бы ортогонален самому себе, а это невозможно в силу и' Ф О. Таким образом, вектор а будет линейно независимым от и†1 направлЯющих вектоРов гипеРплоскости Ьы ..., бь ,, а следовательно, все зти векторы в совокупности а, Ь„...,Ь« (41.8) можно принять за векторы аффннного репера в пространстве, Далее, наша гиперплоскость сама будет неизотропной: если допустить противное, то в гиперплоскости найдется вектор х ~ О, ортогональный ко всем векторам гиперплоскости, в частности, к направляющим векторам Ь„ ..., Ь„ ,.
Но, кроме того, вектор х, как лежащий в нашей гиперплоскоств, будет ортогонален и к а, т. е. ко всем векторам репера (41.8), а тем самым и ко всем векторам пространства. Но это невозможно в силу условия невырожденности. Итак, если данная прямая неизотропная, то ортогональная ей гиперплоскость тоже неизотропная и не содержит 'данной прямой (даже при наличии у них оби(ей точки). При этом всегда можно построить репер (41.8), один вектор котооого принадлежит прямой, а остальные и†1 векторов ему ортогональны и ььринадлежат гиперплоскости, Во втором случае, когда данная прямая изотропная, ее нанравляющий вектор а входит в число векторов х, к нему ортогональных (в силу а'== О), и принадлежит тем самым ортогональной гиперплоскости.
Поэтому, если изотропная прямая и ортогональная к ней гнперплоскость проведены через общую точку О, то вместе с направляющим вектором а и сама прямая принадлежит гиперплоскости. Кроме того, гиперплоскость тоже оказывается изотропной, так как солержит вектор а, ортогональный ко всем ее векторам. Итак, если данная прямая изотропная, то ортогональная ей гиперплоскость тоже изотропная и при наличии общей точки проходит через данную прямую. Эта картина резко противоречит нашим привычным представлениям, воспитанным на обычной (т. е.
трехмерной, собственно евклидовой) геометрии. Кы получаем здесь первое серьезное предупреждение о непригодности напьих привычных представлений в области псевдо- евклидовой (и комплексной евклидовой) геометрии. Правда, это относится лишь к метрическим свойствам пространства; в области аффинных свойств разницы нет, так как все типы евклидовых про- $ 41) плОскОсти В и"меРнОИ еВклидОВОН пРОстРАнстВе 165 странств строятся на базе одного и того же (вещественного или кбмплексного) аффинного пространства. То, что было сейчас сделано для прямой линии («одномерной плоскости»), нетрудно повторить и для любой т-мерной плоскости. Пусть а„а,..., а — направляющие векторы этой плоскости. Рассмотрим совокупность всех векторов х, ортогональных к нашей плоскости, т. е.
ортогонзльных ко всем ее векторам. Но для этого достаточно, чтобы векторы х были ортогональны к ее направляющим векторам, т. е. а,х= О,. а х= О, ..., а„х= О, (4!.9) Запишем эти соотношения аналогично (41.7): (41.10) аы,х =О, аппх =О, ..., а,„,,х =О, т где индексы в скобках обозначают' номера соответствующих векторов.
Уравнения (4!.10) линейно независимы, так как в противном случае имелась бы линейная зависимость между векторами а„а„..., алп ковариантные координаты которых служат коэффициентами уравнений, а это невозможно, так как направляющие векторы всегда берутся линейно независимыми. Откладывая векторы х от начала О, мы видим, что концы их (обладающие теми же координатами х~) образуют и — т-мерную плоскость. В самом деле, т линейно независимых уравнений (41,10) всегда мржно переписать в виде, разрешенном относительно т переменных, а такая система уравнений определяет п — т-мерную плоскость Я 33). Каждый вектор этой л — т-мерной плоскости ортогонален к каждому вектору у исходной т-мерной плоскости; такие плоскости мы будем называть ортогональньыш между собой. Итак, через начало О (как и вообще через любую точку) проходит одна и только одна и — т-мерная плоскость, ортогональная к данной т-мерной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
