1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(44.12) 15О евклидова пгостглнство и измегений (гл, ш В противоположность этому векторы, лежащие во второй паре вертикальных углов, характеризуются тем, что для них (х11 ( 1хь ~ а следовательно, х'= — х' + х' (О, (44.14) и эти векторы обладают мнимой длиной. Окончательно: векторы вещественной длины, отложенные из начала О, располагаются в первой паре вертикальных углов, гекторы мнимой длины — го второй паре вертикальных углоз и, наконец, изогропные векторы — по сторонам згиы углов, Г!осмотрим теперь, как вы~ладят и нашем изображении ортогональные векторы псевдоевклидовой плоскости.
Но так как для ортогональности векторов существенно лишь их направление, то мы лучше рассмотрим взаимно ортогональные зримые линии (проведенные для простоты через начало О). Пусть М(хь, х'), )ч'(уь, у') †произвольн точки соответственно на первой и второй из этих прямых. Их радиусы-векторы х = ОМ и у = Огч' имеют те же координаты, что и сами точки, а условие ортогональности этих векторов имеет вид ху = О, т. е. согласно (44.10) — х'уь + х'у' = О, откуда „т.
„ь ха.хз (44.15) Это означает, что в изображении наши прямые имеют взаимно обратные угловые коэффициенты и расположены, следовательно, симметрично относительно биссектрис координатного угла. Подчеркнем, что эта характеристика ортогональных прямых, данная с точки зрения изображения, не имеет ни малейшего смыслз с точки зрения оригинала, т. е. геометрии псевдоевклидовой плоскости. Там этн прямые лишь ортогональны, и ничего более. Из полученного результата ясно, что вопреки обычному поведению ортогональных прямых вращение одной из них вызывает встречное вращение другой, причем когда одна приходит в совпадение с изотропной прямой, другая совпадает с ней же.
Это и неудивительно, если принять во внимание, что нзотропная прямая, как направленная по изотропному вектору, ортогональна к себе самой, Теперь, чтобы составить себе представление о метрике псевдо- евклидовой плоскости, будем откладывать от начала О отрезки данной постоянной длины р во всех направлениях, в которых это возможно сделать. Другими словами, мы описываем окружность данного радиуса р с центром О.
Эту окружность образуют концы наших отрезков. При этом радиус р может быть как вещественным, так и чисто мни- $44) двтмегное псввдоевклидово пгостглнство мым, Запишем условие того, что вектор х имеет длину р; ха= рз, или в координатной записи — х' -)-х' = р', (44.16) Если откладывать переменный вектор х постоянной длины р от начала О, то его конец опишет нашу окружность радиуса р с центром в О, причем (44.16) будет, очевидно, уравнением этой окруж. ности. Разберем теперь отдельно три случая. Пусть а обозначает какоечнбо положительное число. Положим сначала р = и (радиус окружности вещественный). Уравнение (44.1 6) дает — х' +ха = а'. (44.17) Таким образом, изображением окружности с центром О и вещественным радиусом а служит на плоское~и чертежа равнобочная гипербола (44.17) с центром О и действительной осью ОХг (рис. 8). Как мы уже отмечали, не следует смущаться тем, что радиусы окружности, равные в оригинале, получились в изображении различными: это неизбежное искажение получается в результате несовпа- Рнс.
8, денна геометрических свойств оригинала и изображения. Далее, непривычное для нас распадение окружности на две разомкнутые ветви вытекает из свойств псевдоевклидовой метрики, непохожих на обычные. Рассмотрим теперь случай р = а) (радиус окружности мнимый).
Тогда уравнение (44.16) дает — х -~-х = — а аЗ т~ (44.18) т. е. в этом случае изображением окружности служит равнобочная гипербола с центром О и действительной осью ОХю Итак, в псевдо- евклидовой плоскости окружности (при р чьО) принадлежат к числу гипербол, а не эллипсов, как в собственно евклидовой плоскости. Наконец, в случае р = 0 мы возврапгаемся к уравнению (44.12), и окружность нулевого радиуса сводитсн к паре изотропных прямых. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО и ИЗМЕРЕНИЙ (гл. ш 182 В 45.
Вращение ортонормированного репера в псевдоевклидовой плоскости Выясним, как будет выглядеть переход от одного ортонормированного репера к другому в псевдоевклидовой плоскости. Сдвиг начала О совершается тривиальным образом, так что мы займемся лишь преобразованием ортов прн неподвижном начале. Такое преобразование ортонормированного репера мы будем называть его вращением. Пусть ео, ет — старые и е.ч е, — новые орты. По общим фор- мулам (45.1) А„',:Ао,=Ао, Адо (45.2) Обозначая 1о (45.3) а оакже обозначая общее значение отношений (45 2) через )), получим: А,',= ар, А;,=Ьр, (45.4) п преобразование (45.1) примет вид е,. = а (е, + ()е,), ) е,, = Ь (ре, + е,). (45. 5) Запишем теперь, что орт е,,— мнимоединичный: е',, = — (А',.)'+ (А',,)' = — а'+ а'р' = — 1, откуда ! )/1 ))о ' (45.6) Записывая аналогично, что орт ее в единичный, получим: ее = — (А",,) '+ (А,',)' = — Ьере+ Ь' = 1, Заметим, что здесь А,', ~ О.
действительно, в противном случае оказалось бы, что мнимоединичный вектор е,. лишь численным множителем отличается от единичного вектора е, что после почленного вознедения в скалярный квадрат приводит к противоречиго (все коэффициенты Ае †вещественн ввиду вещественного характера псевдоевклидовой плоскости), По той же причине А,', 4= О. В силу ортогональности ортов енч ее мы получаем согласно (44.15) й 45) вглщвние гвпвгл в псввдоввклидовой плоскости 183 о~куда (45. 7) Пользуясь последними результатами, можно окончательно переписать закон преобразования (45.5): ре»+е» Г $ / 1» ) (45.8) Ясно, что р можно давать лишь значения, по модулю меньшие единицы, иначе коэффициенты преобразования оказались бы мнимыми илн (в случае р=1) вообще не существовали бы.
Итак, — ! <()<1 (45.9) е»+()е, реа+е, е,, =- е,,= 1' 1-()' (45.10) Зато в этих пределах р можно давать любые значения, а также можно в каждой из двух формул (45.8) брать )Г! — р» с любым знаком, в одной независимо от другой. То, что при этом формулы (45.8) всегда переводят ортонормированный репер снова в ортонормированный, ясно и из нашего вывода, и легко устанавливается простой проверкой.
Мы получаем четыре типа вращений ортонормированного репера в зависимости от знака, с каким берется )' ! — ()» в верхней и нижней формулах (45.8). Этот знак в верхней формуле, очевидно, совпадает со знаком А;,, причем, если он положительный, то е,, продолжает быть направленным «вверх» от ОХ», т. е. к той же ветви мнимоеднничной окружности, что и е; если же он отрицательный, то е„, «перепрокидывается» к другой («нижней») ее ветви.
Аналогично знак )' 1 в р», избранный нами для нижней формулы, совпадает, очевидно, со знаком А,', При этом ен остается направленным к той жЕ, как и е, («правой»), ветви единичной окружности, если этот знак положительный, и «перепрокидывается» к другой («левой») ее ветви, если этот знак отрицательный. В результате можно следующим образом охарактеризовать четыре типа вращений ортонормированного репера: 1'.
Собственное вращение. Так мы будем называть вращение при условии А;. ) О, А,', ) О. Тогда (45.8) дает евклидово ОРОЕТРлнстяо и измеРений (гл. ш ! у' ! ))« (1« ! р' ! (!« Ве!)А),) = (45. 11) (1« Собственное вращение не меняет ориентации репера. 2'. Несобственное вращение 1-го рода. Так мы будем называть вращение репера при условии Ао, ) О А,'. ( О Это значит, что конец единичного орта е, «перепрокидывается» на другую ветвь единичной окружности, конец же орта ее остается на прежней ветви мнимоединичной окружности.
Формулы (45зй) принил!ают вид е«+1 рет ()е, + е, (45.12) При (), непрерывно меняющемся в пределах (45.9), непрерывно меняется и несобственное вращение 1-го рода, причем, конечно, В согласии со сказанным при собственном вращении концы векторов е«. е,, остаются на прежних ветвях единичной и соответственно мнимоедииичной окружностей (рнс. 8; чертеж отвечает случаю р ) О). Векторы е«ч ег будут в изображении симметричными относительно «биссектрисы координатного угла» (как и полагается ортогональным векторам). Неравноправие реперов (О, е„, е,) и (О, егч е,,) кажущееся и связано с условностью их изображения на обычной плоскости (отчего и получаешься, е что один как бы «настоящийе, а другой «искаженный»). Мы могли бы условиться, наоборот, векторы е,, е,, изображать ортами обычной плоскости, и тогда е«, ет изобразились бы более длинными векторами, обра«, в, зующими тупой угол (рис.
9). При непрерывном изменении () в допустимых для него пределах (45.9) непрерывно меняется и соответствующее собственное Рис. 9. вращение, причем при () =О мы имеем тож- дественное преобразование. Отсюда видно, что собственное вращение репера может быть осуществлено за счет непрерывного процесса вращения, а именно при непрерывном изменении р от О до требуемого значения.
Вычислим еще определитель преобразования: $45) вгхщвнив гвпегх в псввдоявклидовой плоскости 185 тождественное преобразование из него получить невозможно. Прн р =-0 мы получаем: е,.=-е„ен = — е„ (45. 13) т. е. происходи~ как бы зеркальное отражение репера за счет перепрокидывания оси ОХ, при неподвижной оси ОХа (зеркальное отражение относ|пельно оси ОХ„). Нетрудно замети~ь, сравнивая формулы (45.12) с (45.10), что всякое несобственное вращение 1-го рода получается из соответствующего собственного вращения наложением на него зеркального отражения (45.13). Заметим еще, что в нашем случае Ре1(А,', ~ = — 1, (45. 14) и следовательно, ориентация репера меняется на обратную. 3'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
