1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Несобственное вращение 2-го рода определяется условием А,',<О, А,', О. Оно вполне аналогично несобственному вращению 1-го рода с той лишь разницей, что теперь конец орта е, перепрокидывается на другу|о ветвь мниьшединичной окружности, а конец орта ет остается на прежней ветви единичной окружности. Формулы преобразования будут: е, -р ()е, ре„+е, ч— (45. 15) При р =-0 получаем: (45 15) ен=е, е,, =.- — е„, т. е. происходит зеркальное отражение репера от|шсительно оси ОХ,.
Принципиальная разинца сравнительно с (45.13) заключается в том, что верка||ьное отражение происходит там относительно пряаюй с мнимыми расстояниями вдоль нее, а здесь относительно прямой с вещественными расстояниями. Сравнивая формулы (45.15) с (45.10), замечаем, что несобственное вра|цение 2-го рода получается из соответствующего собственного вращения начожением на него зеркального отражения (45.15). Отметим еще, что в нашем случае (45. 17) Ре1(А,'.) = — 1, так что ориентация репера меняется на обратную. 4'. Несобственное вращение 3-го рода определяется условяеп А„",(О, А,', <О. 186 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО и ИЗМЕРЕНИЙ ( Гл. ц! Концы обоих ортов перескакивают на другие ветви соответствующих окружностей.
формулы преобразования будут: ео+ Рео ()ео+ е, ВР2 $ 1 )12 Очевидно, в этом случае 1)е1) А,',) = 1, и ориентация репера сохраняется. При непрерывном изменении р в пределах (45,9) несобственные вращения 3-го рода менщотся непрерывно; конечно, тождественное преобразование в их число не входит. Прн р =0 получаелп Е,. = — Е„ЕР = — Е„ (45.19) т. е. репер испытывает как бы отражение относительно начала О. Заметим, что в нашем случае нельзя получить такое преобразование непрерывным авращением на 180'2, как мы сделали бы на обычной плоскости; нзотропные прнмые представляют непреодолимую преграду для непрерывного вращения орта (который, оставаясь единичным нлн мнимоединичным вектором, не может принять изотропное направление). Сравнивая формулы (45.18) с (45.10), мы замечаем, что несобственное вращение 3-го рода получается из соответствующего собственного вращения наложением на него отражения (45.19).
Как мы видели, вращения репера в пределах каждого из четырех типов непрерывно переходят одно в другое за счет непрерывного изменения (). Зато два вращения разных типов не могут быть непрерывным образом переведены одно в другое. В самом деле, такие вращения всегда отличаются друг от друга тем, что прн одном из них конец орта ео (илн е,) остается на прежней ветви окружности, а при другом перескакивает на другую ветвь. Так как этот переход нельзя осуществить непрерывным образом, то нельзя осуществить и непрерывный переход от вращения одного типа к вращению другого типа.
То же самое легко установить и из того, что А;, и АЧ не могут обращаться в нуль, а следовательно, при непрерывном изменении не могут менять знака. 12)ы рассматрнвалн вращения ортонормированного репера. г(о следом за вращением данного ортонормированного репера всегда можно ззставить вращаться и саму псевдоевклидову плоскость. 22 именно, кзждую точку плоскости мы будем переводить в новую точку, расположенную относительно нового репера точно так же, как прежняя точка была расположена относительно прежнего репера. Другимн словами, координаты х', х' новой точки относительно нового репера должны совпадать с координатами хо,х' прежней точки относительно $45) вглщение гепегл в псевдоевклидовой плоскости !87 прежнего репера.
Такое преобразование псевдоевклидовой плоскости в себя мы будем называть ее вращением около фиксированной точки 0 и относить к одному из четырех типов в соответствии с характером вращения репера. При этом классификации вращений можно придать форму, независимую от выбора начального репера: при собственных вращениях каждая ветвь и единичной и мнимоединичной окружностей переходит в себя; при несобственных вращениях соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода меняются местами: 1) ветви единичной окружности, 2) ветви мнимоедииичной окружности, 3) ветви обеих окружностей.
Сходство вращения псевдоевклидовой плоскости с вращениями обычной плоскости заключается, конечно, в том, что как при тех, так и при других остается неподвижной одна точка (точка О), и, главное, геометрические свойства фигур не испытывают никаких изменений, В самом деле, поскольку координаты перемещенных точек относительно повернутого репера остались прежними, а повернутый репер остался ортонормированным и обладает, следовательно, в точности прежними геометрическими свойствами, то и свойства фигур в результате вращения не меняются.
Позже мы уточним сказанное здесь ($ 52). Комбинируя произвольные вращении около точки 0 с произвольнымн параллельными сдвигами, мы получаем преобразования ортонормированного репера, а вслед за ним и преобразования плоскости в себя, которые мы будем называть движениями в псевдоевклидовой плоскости. Движения, очевидно, тоже сохраняют геометрические свойства фигур и, как позже мы увидим, исчерпывают все преобразования псевдоевклидовой плоскости в себя, обладающие этим свойством. На обычной плоскости существуюг движения двух сортов: собствегшые движения, при которых сохраняется ориентация плоскости и которые можно осуществить, переводя плоскость из начального положения в конечное непрерывным образом, и несобственные движения, которые меняют ориентацию плоскости на обратную н которые можно получить, комбинируя собственные движения с зеркальным отражением относительно какой-либо прямой, На псевдоевклидовой плоскости движения будут уже четырех типов, в зависимости от того, какого типа будет вращение около точки О, входящее в его состав (наряду с параллельным сдвигом).
Эти четыре типа движений мы будем называть соответственно собственными движениями и несобственяьгми движениями 1-го, 2-го и 3-го рода, Согласно ранее сказанному в пределах каждого типа возможен непрерывный переход от одного движения к другому. В частности, собственные движения включают в себя тождественное преобразование и их можно осуществлять непрерывным переходом от начального положения плоскости к конечному; несобственные ьвклидово пгостглнство и измвгвний [гл. ш й 46. Измерение плошадей н углов на псевдоевклидовой плоскости В 2 37 мы определили объем произвольного тела О в л-мерном аффинном пространстве посредством интеграла в какой-либо аффинной коорлннатной системе. В частности, кдвумер- ный объем», т.
е. площадь в случае двумерного аффинного прост- ранства, имеет вид )гп -— — ~ ~ Фх' г(ха. о (46.1) Опрелеленная таким образом площадь (как и объем в общем случае) представляет собой лишь относительный инвариант, принимающий различные численные значения в различных координатных системах, а именно, умножающяйся на (ьзе((А),(( ' при переходе от одного репера к другому: ел = А'.,еь (46.2) Но в случае двумерного евклидова пространства мы, находимся в лучшем положении, так как у нас среди аффинных координатных систем выделены оргонормировлнные координатные системы. же движения 1-го, 2-го и 3-го рода получаются наложением на собственные движения отражений соответственно относительно прямой с мнимыми расстояниями, относительно прямой с вещественными расстояниями и относительно точки. В связи с этим и ортонормированные реперы распадаются на четыре класса, в зависимости от того, какого типа движением онн получаются из какого-либо исходного реперз: собственным движением или несобственным движением 1-го, 2-го или 3-го рода.
В пределах одного классз возможен непрерывный переход от одного репера к другому; межлу лвумя различными классами он невозможен. В терминах теории групп Ли можно сказать, что группа движений на псевдоевклиловой плоскости несвязная и состоит из четырех связных компонент. То, что движения действительно образуют группу, легко проверяется (мы сейчас не булем этим заниматься, так как затем все сказанное будет выведено в общем случае л-мерного псевдоевклндова пространства). 5 46) измегвние плонтьдей и углов Мы условимся называть площадью фигуры Е> в двумерном евклидовом пространстве интеграл )то (46.1), вычисленный в ортонормированной координатной системе.
Определенная таким образом площадь будет уже инвирианто,н. В случае собственно евклидовой, т. е. обычной, плоскости хорошо известно, что интеграл (тр действительно дает площадь в обычном смысле слова, разумеется, не зависящую от той ортонормированной координатной системы, в которой она вычисляется. В случае псевдоевклидовой плоскости матрипа преобразования (46.2) при всех вращениях ортонормированного репера удовлетворяет (как мы видели в й 45) следующему условию: Ре((А(,(=.~1, следовательно, (1)е((А; '((=1, (46.3) / т а отсюда следует, что интеграл (46.1) при переходе от одной ортонормированной координатной системы к другой не меняется (умножается на единицу). Переходим теперь к измерению 1. ' углов на псевдоевклидовой плоско- е сти. Мы воспользуемся здесь следующим построением обычной планиметрии.
Желая измерить данный угол, мы строим единичный круг с центром в вершине угла и берем удвоенную площадь сектора, выре- гйч ванного из этого круга сторонами угла. Очевидно, это и будет как раз величина угла, измеренного в естественной мере в в радианах. Аналогично мы будем поступать и на псевдоевклидовой плоскости. Однако здесь мы будем измерять лишь углы, для которых все полупря- Рнс. 10. мые, исходящие из вершины и проходящие внутри угла или по его стороналц будут неизотропными. Другими словами, если представить себе, что угол описывается вращением одной его стороны до совпадения ее с другой стороной, то мы хотим, чтобы в течение этого процесса вращающаяся сторона нигде не принимала изотропного направления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
