1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 34
Текст из файла (страница 34)
н! 176 6 44. Двумерное псевдвевклидово пространство Мы начнем изучение псевдоевклидовых пространств с простейшего случая двух измерений. Вообще в двумерном евклидовом пространстве (л .= 2) индекс й может принимать значения О, 1, 2. Случай й = О приводит к двумерной собственно евклидовой геометрии, т. е. к обыкновенной планиметрии. Случай к = 2 отличается от предыдущего лишь формально. В самом деле, в этом случае оба вектора ортонормированного репера мнимоединичные и формулы (42.20) †(42.26) принимают внд (44.1) — й„=о, (44.2) х,= — — х', х,= — х', (44.3) ху = — х,у,— х,у, (44.4) х' = — х', — х";.
[ Таким образом, скалярные произведения и скалярные квадраты лишь знаком отличаются от того, что мы получаем для соответствующих векторов на обычной плоскости, а следовательно, все расстояния в нашеи случае отличаются от соответствующих расстояний на обычной плоскости лишь множителем г=)/ — 1. Поэтому и разница между обеими геометриями будет лишь формальной, т. е. сводится к разнице в терминологии. В самом деле, расстояние определяется формулой АВ = )Г(х! — х,')'+ (х', — хя) э па обычной плоскости и формулой АВ =- ! [~ (х,' — х!)т+ (х,' — х )' в нашем случае.
Таким образом, то, что мы называли расстоянием иа обычной плоскости, теперь мы называем расстоянием после умнон<ения на !. Ясно, что всякое предложение одной геометрии может быть повторено для другой в результате простой перефразировки. Такие случаи будут встречаться у нас и в дальнейшем. Мы примем за общее правило, что если выражения скалярных произведений в ортонормированном репере различаются для двух и-мерных евклидовых геометрий лишь знаком, го эти геометрии мы не будем считать существенно различными и изучать будем лишь одну из ник. В частности, если в ортонормировзнном репере скалярный квадрат вектора имеет внд хз = — х — х —...
— х, г ! ! ! ! ' ' п (4-4 б!) то такую геометрию мы считаем сводящейся к собственно евклидо- $44) двумеРное исеВдоеВклидОВО НРООТРАнстяо 177 вой. В дальнейшем, говоря о псевдоееклидовом пространстве, мы исключаем случай (44.5). В частности, двумерную псевдоевклидову геометрию при а = 2 мы считаем сводящейся к собственно евклидовой геометрии, имеющей место при )» = О. Остается, таким образом, лишь случай и=-1, который заслужиВает внимательного изучения.
Соответствующее двумерное псевдоевклидово пространство мы будем называть кратко псеэдоевклидоеой плоскостью. Будем обозначать †э будет удобно для дальнейшего †мнимо- единичный орт ортонормированного репера через е, а единнчный— через е: (44.6) Соэтветственно координаты вектора х будут обозначаться х', х' и вообще тензорные индексы будут пробегать значения О, 1 (вместо 1, 2). По своим аффинным свойствам псевдоевклидова плоскость, как мы знаем, не отличается от обычной плоскости, однако по своим метрическим свойствам резко расходится с ней, Поэтому чертежам, которые мы будем делать, нужно доверять лишь в той мере, в кзкой речь идет об аффииных свойствах, но отнюдь не о метрических. Действительно, чертеж, сделанный на листе бумаги, отражает приблизительно геометрию обычной плоскости, мы же будем изучать псевдоевклидову плоскость. Г!оэтому чертеж будет «верен» лишь в тех пределах, в каких мы рассматриваем аффинные свойства, общие для обеих плоскостей.
С метрическими свойствами дело будет обстоять иначе. Например, ортогональные векторы или равные отрезки псевдоевклидовой плоскости в услонном изображении на чертеже (т. е, на обычной плоскости), вообще говоря, ортогональными векторами или равными Отрезками выглядеть уже не будут. Не следует думать, что в этом положении вещей кроется что-то загадочное и своеобразное. По существу дело обстоит здесь совершенно так же, как и с картой земных полушарий, т.
е. с изображением полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно содержит искажения, поскольку геометрии на сфере и на плоскости существенно различны; неизбежно получается, что расстояния, равные в оригинале (т, е. на полусфере), выглядят, вообще говоря, разлнчнымн в изображении (т. е.
на плоском круге). Совершенно так же обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псевдоевклндова плоскость, а ее условным изображением †собствен евклидова плоскость чертежа. Следует уточнить, как именно мы будем строить это изображение. ОРты еь, е, какого-нибУдь оРтоноРмиРованного РепеРа псевдо- евклидовой плоскости мы изобразим в виде ортов на обычной еяклндоао пеостганство и измееений (гл. ш 178 )Кое А'аг ~~ (~ (44.7) Очевидно, обратнаи матрица, т. е. матрица координат контраварпант- ного метрического тензора, имеет тот же внд: аа ог~ г 1 ог (44.8) Далее, зависимость между ковариантными и контравариантными коор- динатами вектора м, х. =77.-хг, г гу принимает, очевидно, следующий вид: х,= — х, х,=-х. а 1 (44.9) плоскости; начало О изобразим в виде начала О.
Далее, каждую точку М псевдоевклидовой плоскости изобразим точкой обычной плоскости с теми же координатами. Другими словами, вектор ОМ в изображении должен разлагаться по ортам е„ е, с теми же коэффициентами, как и в оригинале (рис.
7]. Заметим еще, что мы отнюдь не предполагаем, что любой ортонормированный в оригинале репер будет ортонормированным и в изображении: это будет о верным лишь для одного в О л(у,у ) первоначально выбранного ортонормированного репера, положенного в основу в, фУ изображения. Мы так подробно останавливаемся на этом вопросе, так как в дальнейшем О е мы будем таким же образом изображать трехмерное псевдоевклидово пространство в обычном трехмерном пространстве, причем все сделанные замечания остаются в силе. Итак, рассмотрим псевРнс, 7. доевклидову плоскость, отнесенную к ортонормированной координатной системе с векторами репера: мнимоединичным е, и единичным е,. Пользуясь условиями (44.6), получаем матрицу координат нетрического тензора ф 441 двтмвннов псввдоьвклидово пРОстРАнстВО Скалярное произведение ху = — у) ху~ теперь запишется так: ху = — хчуе+ х'у'.
хг =- х»»+ хтй. (44. 10) В частности, (44.11) Откладывая всевозможные изотропные векторы х от начала О, мы видим„ что их концы располагаются по двум прямым (44.12). С точки зрения собственно евклидовой геометрии листа бумаги, на котором сделан чертеж, зги прямые являются биссектрисами координатных углов. С точки же зрения псевдоевклидовой геометрии такое их понимание не имеет, конечно, никакого смысла. Итак, через каждую точку О лсевдоевклидовой плоскости проходят две изотролные прямые (которые испытывают, очевидно, параллельный сдвиг при сдвиге точки О в любое новое положение). Неизотропные векторы х, откладываемые от начала О, попадают в ту или другую пару вертикальных углов, образованных изотропными прямыми.
При этом под углом понимается область на плоскости, выделенная двумя полупрямымн, исходящими из общей точки (в данном случае О), а отнюдь не численная величина угла. В таком понимании угол есть аффинная конструкция, которая в псевдоевклидовой плоское~и выглядит так же, как и на обычной плоскости, так что здесь мы можем довериться чертежу. рассмотрим сначала векторы, лежащие в одной паре вертикальных углов с ортом е, (чпервая пара вертикальных углов»). Для этих векторов, как видно из чертежа, (х'( ) ~хе(, а следовательно, согласно (44.11) х' =- — хгл + х' > О.
(44.13) Таким образом, в первой паре вертикальных углов расположатся векторы вещественной длины. Мы предпочтем здесь пользоваться контравариантными координатами х', х' вектора х, так как они имеют аффинный характер (коэффициенты разложения х по е„ е,), и потоиу их можно без ошибок подсчитывать чпо чертежу», т. е. так же, как и на обычной плоскости.
Посмотрим теперь, как будут выглядеть чна чертеже» некоторые основные конструкции псевдоевклидовой плоскости. Для простоты рассиатриваемые векторы будем откладывать от начала О; однако нужно помнить при этом, что по существу О— любая точка псевдоевклидовой плоскости. Найдем прежде всего изотролные векторы х. Полагая х' = О, получим согласно (44,11) — х' +х' =.О, т. е. хч=-вахт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
