1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При данном числе измерений и собственно евклидова пространство булет по существу единственным, т. е. все другие будут с ним изоморфны. Напротив, псевдоевклидовых пространств будет целых и, различных по своим свойствам. Во втором, комплексном, случае евклидова пространство строится на базе комплексного аффиниого пространства. Рассматриваемые числа считаются комплексными, причем тогда, конечно, и функция ху принимает комплексные значения; евклидова пространство называется в этом случае комплексным. Расстояния АВ будут комплексными числами (определеииыми с точностью до знака).
Комплексное евклидова пространство при данном числе измерений и будет, как мы увидим, единственным (с точностью до изоморфизма). Возвращаемся к общему случаю. Вообще задание билинейной скалярной функции ф (х,у) равносильно, как мы знаем, заданию дважды ковариантиого тензора ф, ее коэффициентов фп = ф (еоег), гр (х,у) = фггкуг, В частности, в случае скалярного произвеления ху тензор коэффициентов мы будем обозначать аг и называть метрическим тензором 157 й 39) ПОНЯТИЕ О ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ -нашего евклидова пространства. Тогда соответственно ТО =ее, (39.8) ху =- аг хгут. (39.9) Координаты метрического тензора представляют собой, таким образом, попарные скалярные произведения векторов репера, В частности, в случае у = х мы получаем скалярный квадра~ вектора х, который яыражается квадратичной формой х' = ег х'хт.
(39.10) Условие симметрии, наложенное нами на скалярное произведение ху=. ух, равносильно, как мы знаем, симметричности тензора коэффициентов, в данном случае 4)7 =- АУ . (39. 1! ) Условие нееырожденности, как оно было нами формулировано, заключае~ся в том, что для каждого вектора х ~ О найдется неортогональный ему вектор у, т. е. не существует векторов х ~ О, ортогональных ко всем векторам пространства. Вели на минуту допустить, что это условие не соблюдается (т. е., как мы будем говорить, происходит вырождение метрики), то существует такой вектор х ~ О, что ху = О при любом у; илн в координатной записи: у,. х'у'= О (39.13) при любых у',... у".
Это значит, что коэффициенты при ут должны по отдельности обращаться в нуль: а~ х' =О. (39. 14) Так как х~ О и, значит, всех' одновременно в нуль не обращаются, то система и однородных линейных уравнений (39.14) с и неизвестными х имеет ненулевые решения, а значит, Ве1 ( е О ( = О. (39. 15) Обратно, если имеет место последнее равенство, то можно найти ненулевое решение х', ..., х" системы (39.14), для которого, очевидно, при любых у(, ..., у" имеет место (39.13). В результате вектор х будет ортогонален ко всем у, и происходит вырождение метрики.
153 евклидова пгостгьнство л изменений (гл. и> Итак, для вырождения метрики необходимо и достаточно обращение в нуль Рес(й;.). Тгм самым условие невырождгнности равносильно условию Ре) ) йг ) чь О. (39.16) Мы можем теперь разюл~ироватгк внесение в л-мгрног аффинног лространство операции скалярного умножения векторов равносильно заданию в нем метрического тгнзора уд, удовлетворяющего условиям симметрии (37,11) и невырожденности (39,16) (а в остальном выбранного произвольно). Заметим, что достаточно потребовать соблюдения условия (39.16) в одной координатной системе; из нашего рассуждения видно, что о~сюда следует невырожденность скалярного произведения, а тем самым соблюдение условия (39.16) в любой координатной системе.
Впрочем, зто нетрудно проверить и прямой выкладкой. В самом деле, закон преобразования у; имеет вид я"г ' == А' А'; р;р Если считать номеРом стРоки в матРицах Угр днг пеРвый индекс, в матрице А,', †нижн индекс, а в матрице А';., †верхн индекс, то можно сказать, что матрица )~ян, ~( получена умножением матриц ))АГ',)), ((д;.)), ))Ат;,)( в порядке их записи. Но отсюда следует, что определители матриц также перемножаются, причем определители матриц ~(А,',)~, ~~Ар~~, конечно, равны.
В результате Ре1/уст / = (Ре((А;',))ь.Ре1/дг !. (39.17) Другими словами, Ре1~д,.( есть относительный инвариант веса 2. Ясно, что обращение его в нуль (или, наоборот, неравенство нулю) в одной координатной системе влечет тот же самый результат в любой координатной системе. 9 40. Тензорнап алгебра в евклидовом пространстве Все, что было сказано о тензорных операциях в аффинном пространстве, остается, разумеется, верным и для евклидова пространства. 11ри атом появляется, однако, и кое-что новое, а именно, исчезает принципиальная разница между ковариантнымя и контравариантными индексами н возникает возможность переводить одни в другие.
Составия прежде всего в каждой координатной системе матрицу величин у'т, обратную матрице координат уг метрического тензора. В силу условия невырожденности обратная матрица существует, а в силу условия симметрии будет симметрической вместе с матрицей у,, ф 40) тензОРнАЕ АлгеВРА В еВклидОВОН НРОстРАнстВВ 159 Мы утверждаем, что величины й" образуют дважды контравариантный тензор, т. е.
преобразуются по закону у'р =- А)'А' д'т. (40. 1) Проще всего показать это, обратив постановку вопроса; построим матрицу е'т, обратную матрице и,, в одной координатной системе; затем, переходя к любой другой(штрихованной) координатной системе, преобразуем ь'У по закону (40.1) и покажем, что полученная при этом матрица дср будет обратной матрице уср. Тот факт, что й" есть матрица, обратнав р;;, мы запишем уравнениями (40. 2) в вуь выражающими, что произведение наших матриц дает единичную матрицу.
При переходе в новую координатную систему мы учтем, что и †координа дважды коварнантного тензора, д" мы условились преобразовывать как координаты лважлы контравариантного тензора, а значит, у нас записано, что результат свертывания двух этих тензоров по инлексу у дает елиничный тензор 6„' . Соотношения (40.2) имеют, таким образом, инвариантный характер, так что в новой координатной системе получаем снова лйе'Крь = бь, а это показывает, что матрица уег, полученная преобразованием (40.!), действительно оказывается обратной матрице ен,.
Дважды контравариантнснй тензор у'~ мы тоже будем называть метрическим тензором, но, в отличие от д,, контравариантным. Теперь покажем, как в евклидовом пространстве каждый контра- вариантный индекс можно «переделать» в ковариантный, и обратно. Начнем с одновалентного контравариантного тензора х.
Путем свертывания с метрическим тензором его можно «переделать» в коварнантный тензор: х.=д.х', г 0 (40.3) Поскольку метрический тензор евклидова пространства задан раз навсегда, то эта операция «опускании индекса» у тензора х' определена однозначно. Обратно, любой одновалентный ковариантный тензор х можно l «переделать» в контравариантный путем свертывания с контраварнантным метрическим тензором: (40.4) х' = д"хр (бо еэклидоно пгостглнстио и нзыегений [Гл. и! Эта операция «поднягия индекса также однозначно определена. С алгебраической точки зрения опускание индекса представляет собой линейное преобразование х' в х; при помощи матрицы ьв,, а поднятие индекса в преобразование х! в х! при помощи матрицы у'Г, Так как матрицы д! и у<! взаимно обратные, то операции опускания и поднятия индекса взвив<о уничтожают друг друга.
Так, например, сначала «опустив» и затем «подняв» индекс у х', мы возвращаемся к прежнему контраварнантному тензору х', Координаты контравариантного тензора х', как мы знаем, всегда можно истолковать как координаты некоторого вектора х = х'е!. (40.8) Спрашивается, какое отношение к вектору х имеет тензор х,, полученный из тензора х! опусканием индекса. На этот вопрос легко ответить, пользуясь (39.8) и переписав (40.3) в виде х! = д<гх' = (е<еу) х! == (ео хаву), т. е. окончательно х =хе..
! (40. 6) Итак, опускание индекса у координат х! вектора х приводит нас к скалярным произведениям этого вектора нв векторы репера. Эти скалярные произведения мы будем назь<вагь ковариангными коор- динатами х! вектора х. Очевидно, ковариантные координаты х,. однозначно определяются по вектору х, как и обратно, по ним можно однозначно определить этот вектор, перейдя предварительно к контравариантным коорди- натам х! поднятием индекса, По той же схеме (40.3) и (40А) производятся опускание н поднятие индекса (любого по выбору) у многовалентных тензоров.
Единственное, что к э~ому нужно добавить, — это необходимость изменить нумерацию индексов у тензора в евклидовом пространстве. В самом деле, индексы тензора отличались друг от друга: контравариантные— порядком их записи наверху, а ковариантные — внизу, Но если мы, например, второй верхний индекс опускаем, то нельзя дать общего правила, на какое место его следует ставить внизу (второе место внизу может быть уже занято или внизу может и совсем не быть индексов).
«[тобы избежать связанной с этим неопределенности в обозначениях, мы часто будем нул<еровагв места индексов верхних и нижних в совокупности, так что каждому номеру отвечает лишь один индекс, стоящий илг наверху нли внизу. Если например, З-й индекс стоит наверху, то третье место внизу остается «пустым», что отмечается точкой, и наоборот. Например, а;!»в! обозначает тензор, у ко- $ 41) плОскОсти В а.меРном евклилОВОм ПРОстРкнствв 161 торого 1-й и 2-й индексы конариантные, 3-й — контравариантный, 4-й — снова ковариантный. Если 1-й индекс мы захотим кполнятьн,, то для него заготовлено свободное место наверху, и мы получаем: (40. 7) Аналогично, если мы захотим опустить верхний индекс, то получим: (40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
