1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Обратно, если [а,аз] = О, то согласно (34.3) т. е. обращаются в нуль все миноры 2-го порядка матрицы Следовательно, между строками втой матрицы, а тем самым и менсду вектррами а, а, имеется линейная зависимость, $34) виввктог и зкдлнив двьмвеной плоскости )3( Далее, исследуем вопрос, как меняется косое произведение векторов а„ а, при их линейном преобразовании: 1 л 2 а, =А, а,+А, а„ а, = А', а, +А', а,. (34.9) Составим косое произведение преобразованных векторов атч а,к (а, а, ] = ('(А,' а, + А,' а,) (А,' а + А, 'а,) ]. Раскрывая в правой части скобки, т. е. перемножая сумму на сумму почленно (согласно (34.8)), отбрасывая равные нулю.
косые произведения линейно зависимых векторов и вынося численные множители за знак косого произведения (согласно (34.7)), получим: ~А', (а, а,]=-А', А,* (а,аг]+А', А,' (аза,] = ~,, (а,аз]. (34АО) А,' А', При последнем преобразовзнии мы воспользовались свойством (34.5). Итак, косое произведение двух векторов в результате линейного преобразования зтих векторов умножается на определитель линейного преобразования. Допустим теперь, что векторы аы аг играют роль направляющих векторов некоторой двумерной плоскости и, следовательно, линейно независимы, Тогда линейное преобразование (34.9) с определителем, отличным от нуля, означает, очевидно, переход к любой другой паре направлявших векторов той же плоскости.
Так как косое произведение ]а,а ] приобретает при атом лишь численный множитель (не равный нулю), то мы получим следующий результат, Косое произведение направляющих векторов двумерной плоскости, рассматриваемое с точностью до численного множителя (не равного нулю), зависит только от самой плоскости и не зависит от выбора направляющих векторов на ней. Таким образом, каждой двумерной плоскости сопоставляется определенный с точностью до численного множителя простой бивектор (а,аг], который мы будем называть ее направляющим бивектором. Он никогда не равен 0 в силу линейной независимости а, аг Ясно, что, беря всевозможные плоскости, мы будем получать в качестве направляющих бивекторов всевозможные простые бивекторы.
Будем называть две плоскости одного числа измерений параллельными, если одна получается нз другой сдвигом всех ее точек на постоянный вектор. Очевидно, при этом векторы одной плоскости 132 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТИО П ИЗМЕРЕНИЙ [Гя. Л переходят в равные нм векторы другой плоскости, Следовательно, и направляющие векторы а,, ..., а„можно брать для параллельных плоскостей общими. А следовательно, в случае параллельных двумерных плоскостей общими будут и направляющие бивекторы. Итак, параллельные двумерные плоскости обладают одним и тем же (определенным с точностью до численного множителя) направяяюи(им бивектором.
Обратно, если две двумерные плоскости имеют один и тот же (определенный с точностью до численного множителя) направляю- и(ий бивектор, то эти плоскости параллельны. В самом деле, пусть одна плоскость имеет направляющий бивектор ]алая], а другая— 1Ь,Ьл], С точностью до численного ллножителя эти бнвекторы должны совпадать, так что ]Ь,ЬЕ] = п]а,аэ], т. е. согласно (34.3) — (Ь,'Ь? — ЬлЬ,') = — (а,'а',— а',аг).
Свернем это равенство почленно с ковариантным тензором с э который подобран так, что (34.1 1) Ьлс = О, Ь,'с,.= 1. Этого, очевидно, всегда можно добиться ввиду линейной независимости направляющих векторов Ь„ Ь„ а следовательно, н строк матрипы / 11 В результате свертывания получим ( отбрасывая множители — ); 2)' Ь,'.Ь,'с — Ь,' Ь,'с.= а, '(аа',с,) — а,'(аа,'с.). Учитывая равенства (34.11) и обозначая инварианты аа',с,— аа',с через ])л, (эе, получаем окончательно: Ь', = ((га, '+ рла,'. (34..1 2) Мы видим, что тензор Ь', оказывается линейной комбинацией тензоров а,', а,', т. е. вектор Ь, разлагается по векторам а„ а .
То же самое, конечно, справедливо и для Ь,. В результате направляющие векторы Ь„ Ь, второй плоскости принадлежат и первой плоскости, а следовательно, могут служить ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА т-ВЕКТОРОВ 3 35) н ее направляющими векторами. Таким образом„при построении обеих плоскостей разница может быть лишь в выборе начальной точки 0' Я 33). Пусть 0"„0",- — нзчальные точки наших плоскостей.
Тогда сдвигом на вектор 0;0", мы приводим начальную точку О", в совпадение с 0;, а так как направляющие векторы и без того общие, то первав плоскость придет в совпадение со второй. Следовательно, наши плоскости пзрзллельны, и утверждение доказано. Окончательный вывод: для гого чтобы дгг двумерные плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобьь их направляю- и(ие биаекгоры были одинаковы с точностью до численного множителя. Таким образом, изправляющнй бивектор хзрактеризует целую совокупность параллельных между собой двумерных плоскостей, заполняющих все пространство, т.е., как мы будем говорить, характеризует двумерное направление в пространстгг. Если мы рассматриваем только плоскости некоторой связки (т, е.
плоскости, проходящие через фиксированную точку 0), то в нашей формулировке вместо параллелизма плоскостей следует говорить просто об их совладении. 3 35. Основные свойства т-векторов Результаты предыдущего параграфа полностью переносятся с двумерного случая на случай любого числа измерений. Тензор ац 'т, гл раг контразаризнтный и кососимметрический по всем сноил1 индексам, мы будем называть т-вектором (полиаектором). т-вектор мы булем называть простым, если он составлен из каких-нибудь т заданных в определенном порядке векторов а„ а, ..., и по формулв а' ' ...~т=а' а! ...
ат1=— '''т г ь ''' т ы! (ЗО.! ) 'т а, а'...аь, Другими словами, мы перемножаем в заданном порядке тензоры а",, а",,..., а'„",, образованные координатал1и наших векторов, и результат альтернируем по всел1 индексам г, („ ...,г, Нужно помнить при этом, что нижние индексы здесь не тензорные, а намерз задзнных векторов; альтернация, рззумеется, к ним относиться не может.
Правильность ззписи В виде определителя проверяется без труда, если сопоставить определение альтернации по т индексам с прави- 134 лавинное пиостглнство и измкгений (гл. и лом составления определителя лг-го порядка в виде суммы лг! членов. Действительно, и в том и другом случае мы должны в произведении ача»ч ... а' (это произведение элементов по главной диагонали определителя) проделать всевозможные подстановки нз индексов 1„ 1х, ..., 1„ и сложить полученные результаты, беря их со знаком -ю в зависимости от четности или нечетности подстановки (в случае альтернации к этому еще присоединиется деление на лг)).
Простой лг-вектор (35.1) мы будем называть косым произведением векторов в„ а„ ..., а и обозначать кратко (а,ах ... а ]. лг-векторы вообще и простые в частности имеет смысл рассматривать лишь при лг=- 1, 2, 3, ..., л. Дело в том, что при гк » и всякий гв-вектор тождественно равен нулю. Действительно, среди лг индексов каждой его координаты обязательно должны найтись, по крайней мере, два одинаковых, а следовательно, каждая его координата равна нулю (см. конец 2 31), Полагая гл = и, рассмотрим произвольный и-вектор агц ° " '» (как увидим, вн всегда будет простым). Всякий и-вектор имеет лишь одну существенную координату а" " ." . Действительно, все остальные его координаты а'' " г» или равны нулю, если среди индексов 1„ (х, ..., 1„ имеется хоть два одинзковых, или равны +.
а'»" ', если все индексы юы г'„ ..., г» различные и, следовательно, получаются из 1, 2, ..., и некоторой подстановкой (+ в зависимости от четности или нечетности этой подстановки). В связи с этим любые два и-вектора аз ° '» и бг " ' отличаютсн друг от друга лишь ииварнантным численным множителем: (35.2) если положить Ь'» Л= —, агй» (35.3) (предполагается, что аг»" " ~ О). Действительно, Л подобрано так, что (35.2) соблюдается при г',1» ...
г'„ = 12 ... л. Но тем самым оно соблюдается н всегда, так как остальные координаты наших л-векторов или такие же, как при !дв ... 1„ = 12 ...и или отличаются лишь знаком, или равны нулю. Инвзрнантность же коэффициента Л вытекает из того, что а ц" г» и Ьц" '» преобразуются по одинаковому закону. Решим теперь еще один важный вопрос, касающийся и-вектора.
Так как все его координаты выражаются через координату а" ", то закон их преобразования сводится к закону преобразовании этой единственно существенной координаты. 135 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Ж-ВЕКТОРОВ $ 35) Зтот последний мы н хотим вывести. Запишем тензорный закон пре- образования для нашего случая а!'з'...»',=,4! Аь' А»' !1!,,г„ ! (35. 4) При суммировании по гы йм ..., ь„л!ы откинем все слагаемые, где среди этих индексов встречаются равные, так как в этом случае все равно а! '' .'»= О.
Остаются слагаемые, в которых ьд, !'„... ..., г„все различны, т. е. получены некоторой подстановкой из 1, 2, ..., и. Но в таком случае (35.5! а' '*..' = Ь ага знак ~ выбирается в зависимости от четности или нечетности подстановки. Вставляя выражение для аьш ' из (35.5) в (35.4) и вынося а" " за скобки, получим: а!'ь'. »' — а!ь...» ~~~' л А1 Аь А" где сумма берется по всевозможным подстановкам 12 ... ив г„!з... с„и представляет собой, очевидно, определитель Ре((А" ,!. Окончательно получаем: а!'Ы...»' агь...» Ре((А! ( (35.6) Единственная существенная координата п-вектора лри переходе в новую координатную светел!у умножается на определитель Ре( ~А',1. В связи с этим а!ь " можно назвать относительным инвариантом веса — 1.
Вообще же относительным инвариантом ассар (р — нелое) назывзется величина, имеющая определенное численное значение в каждой координатной системе и при переходе От старой к новой координатной системе умножающанся на (Ре! ( А' () '= (Ре! ( А), ()Р. (35. ! ) Вернемся к общему случаю простого ш-вектора (т=2, 3,...,л)») и устзновим его основные свойства. Когда в косом произведении (а!аз ... а ) мы меняем местами два множителя, то в определителях (35.1), выражающих его координаты, меняются местами две строки, и косое произведение умножается на — !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
