1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В случае и = 1 ОМ = 1!ах, 0 ( (1 ( 1, и получаемый прн этом оодномерный параллелепипед» мы будем называть отрезком одномерного аффинного пространства (прямой линии). В случае и = 2 мы получаем едвумерный параллелепипед» ОМ = Гтво+ Гоа„0 ( Г1 ( 1, 0 ( (о = 1, который будем называть параллелограммом в двумерном аффинном пространстве. Эти определения, очевидно, вполне согласуются с нашими обычными представлениями об отрезке на прямой, полученном откладыванием вектора аг от точки О, и о параллелограмме на плоскости, построенном на век~орах а,, ао, отложенных от точки О.
Совершенно аналогично при п = 3 наше определение параллелепипеда вполне согласуется с обычным. Отнесем пространство к какой-нибудь координатной системе (О, е, ..., е„) и вычислим интеграл 1'о для нашего п-мерного параллелепипеда. При этом всегда можно считать, что параллелепипед построен, исходя из начала О (так как (то не меняется при параллельном сдвиге тела О).
Обозначим координаты векторов ао через аь, так что ио =- а'„еи (37.10) 1 1 (37.11) о о Но (тр и Ъ'о согласно (37.3) связаны соотношением 1'о = [(зе([А,"[[ (го. (37. 12) В нашем случае матрица [[А,',[[, как видно из (37.10), совпадает с матрицей [[аь[[, а следовательно, матрица [А'; ~ — с ее Вычисление интеграла 1то мы для краткое~и проведем Обходным путем. Примем на время а„ за векторы еы нового репера (с прежним началом О). Тогда в новой координатной системе коэффициенты Р, ..., 1" будут служить координатами, причем в пределах нашего параллелепипеда они меняются от 0 до 1. Поэтому в новой координатной системе 147 и 37) измегение овъемов обратной матрнцей, и иы получаем: Ое1 (А",(= 1 11е1 ~ пь( Теперь соотношение (37,12) дает (если учесть, что Уо=!): Ур-— .
(Ре1(аь(). (37,13) Итак, относительный инвариант Уо в случае л-мерного параллелепипеда выражается модулем определителя Ре1(аь(, составленного из координат векторов, на которых построен параллелепипед. Между прочим, сам этот определитель является относительным инвариантом веса — 1, так как согласно (35.1) он равен и( а" где адд ." †координа л-вектора (адаь ... в„1. В частности, если ьд †параллелепип, построенный на векторах репера е„ ..., е„, то аналогично (37Л !) Уо, =- 1, так что Ул: Уо, = ( Оес ( а'ь ( ! . (37.14) Итак, отношение объемов двух и-мерных параллелепипедов, поогроенных соответственно на векторах ад, ..., а„ и ед, ..., е„, равно модулю определителя той матрицы, посредством которой векторы ад выражаются через векторы е,. Этот результат получен в предположении, что векторы ег совпадают с векторами репера.
Но, в силу того, что отношение двух объемов есть инвариант, нащ результат остаетсн верным и в любой координатной системе. Все сказанное до сих пор об объемах в и-мерном аффинном пространстве полностью переносится и на его лд-мерные плоскости, поскольку они также представляют собой аффинные пространства. При этом лд-мерные объемы тел О, расположенных на разных т-мерных плоскостях, вообще говоря, нельзя сравнивать друг с другом. Лействительно, речь идет об относительных инвариантзх Уо, меняющихся в зависимости от выбора репера (Оь, а„..., а ), в одном случае †одной плоскости, в другом случае †другой. Так как выбор реперов на разных лд-мерных плоскостях происходит совершенно независимо, то никаких инвариантных соотношений между значениями Уо на разных плоскостях установить нельзя.
Однако из этого правила имеется исключение. Если речь идет о параллельных пд-мерных плоскостях, то их можно относить к одному и тому же реперу (еслн не обращать внимания на положение начала Оь). В самом деле, векторы репера а,, ..., а , построенного на одной плоскости, можно отложить и на параллельной ей плоскости из какой-нибудь ее точки. 1ч8 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [гл.
и Относя параллельные т-мерные плоскости к одному и тому же (в указанном смысле) реперу а,, ..., а„, мы можем сравнить значения т-мерных объемов (го не только для тел О на данной плоскости, но и на различных параллельных ей плоскостях. Отношение лвух таких объемов по-прежнему будет инвариантом, и, вообще, все инвариантные соотношения между объемами повторяются и в этом случае по прежним причинам. Рассмотрим частные случаи. Пусть т =- 1; мы рассматриваем связку параллельных прямых; в качестве областей О на этих прямых берев~ их отрезки (а, Ь); «одномерные объемы» ь )гд — — ~дт'=-Ь вЂ” а (Ь> а) ь представляют собой длины этих отрезков, вычисленные при условном выборе направляющего вектора а, (общего длн всех прямых связки) за единичный вектор.
Олнако отношения длин отрезков на параллельных прямых будут уже инварнантными, равно как и такие факты, что длина данного отрезна есть сумма длин двух параллельных ему отрезков (если это имеет место при одном выборе вектора а), и т. л. Пусть т = 2; мы рассматриваем связку параллельных двумерных плоскостей; двумерные области О берутся на этих плоскостях, Их «двумерные объемы» )гр —— - ) ~ дгг дгь — это площади, которые о получатся, если условно выбрать в качестве единипы изиерения площадь параллелограмма, построенного на направляющих векторах а,, а (общих для всех плоскостей связки), Однако отношения площадей параллельно расположенных плоских фигур будут уже инвариантныьш, равно как и такие факты, что площадь данной плоской фигуры есть сумма площадей параллельных ей плоских фигур, и т.
д. В заключение мы дадим окончательную геометрическую характеристику простого т-вектора. Задание простого т-вектора, отличного от нуля, равносильно заданшо некоторой т-мерной плоскости (с точностью до параллельного сдвига), с определенной ориентацией и с определенным объемом, указанными на ней. Это мы будем кра~ко называть геометрической характеристикой т-вектора, Переходим к доказательству нашего утверждения. Каждый прас~ой т-вектор, не равный нулю, можно (хотя и неоднозначно) прелставить в виде косого произвеления [аз ва ... и ]. Вели принять а,, а,, ..., а за направляющие векторы некоторой т-мерной плоское~и, то эта плоскость определнегся с точностью 149 % 37) НЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ до параллельного сдвига, на ней определяется некоторая ориентация (т. е.
ориентация репера а,, ае, ..., а„) и некоторый т-мерный объем, именно, объем параллелепипеда, построенного на а„ а„ ..., а„, Мы получаем геометрическую характеристику нашего лг-вектора. Однако нужно еще показать, что эта характеристика будет одной и той же независимо от того, каким косым произведением представлен данный пг-вектор. Пусть данный лг-вектор представлен косым произведением других векторов агч а,,, ..., а л [а,,... а,]=[а,...
а ]ФО. (37.15) Мы имеем два равных между собой косых произведения, т. е можно сказать, отличающихся друг от друга численным множителем а=!. Такое положение вещей разбиралось в 9 35 (см. (35.18)) и приводило к тому, что а,,..., а ° и аг,..., а служили направляющими векторами одной и той же лг-мерной плоскости, а следовательно, могли разлагаться одни по другии. Таким образом, и в нашем случае ап = А;',аь (3?.16) Теперь согласно (35.12) [а, ... а„.] = [а,, а„] Ре! )А,',]. (37,1?) Сравнивая с (37.15), получаем: (37.18) Ое((А] (= 1. Эго показывает, во-первых, что реперы а„...,а и а,,...,Вм определяют на и-мерной плоскости одну и ту же ориентацию (так как Ое! (А,', ( =! ) 0) и, во-вторых, что построенные на них параллелепипеды имеют одинаковый объем.
В самом деле, отношение этих объемов согласно (37.14) равно (()е!)А, ']], т. е. единице. Итак, геометрическая характеристика данного лг-вектора действительно не зависит от способа его записи в аиде косого произведения и будет, таким образом, вполне определенной. Теперь нужно показать, что и обратно, данной геомегричлгкой характеристике отвечает только один простой «г-вектор. Пусть [ад ... а ] и [а, ... ам ] †д не равных нулю простых и-вектора с данной геометрической характеристикой. Поскольку, таким образом, как а,, ..., а„, так и а,, ..., а ° являются направляющими векторамн заданной (с точностью до параллельного сдвига) лг-мерной плоскости, то одни из ннх разлагаются по другим; мы снова получаем (37.15), а следовательно, и (37.17), Так как ориентация на лг-мерной плоское~и нам также задана, то а, ..., а и 150 лавинное пгостглнство и измхгений [гл.
и а,,, а должны иметь общую ориентацию, и таким образом Ре((А',,) ) О. (37.19) Далее, объем в лг-мерной плоскости нам также задан, так что объемы параллелепипедов, построенных на а,...,а и агч ..., а„, должны быть одинаковыми, т, е. отношение этих объемов равно единице: (37.20) )Ре()А,'.)[= 1. Сравнивая два последних соотношения, получаем: Вес[А),) = 1, откуда согласно (37,17) следует: [а, ...
а„.) =. [а,... а ), а зто мы и хотели показать. Теперь наше утверждение доказано полностью. 8 38. Теызормые поля Мы изучали до сих пор отдельные тензоры, Однако зта точка зрения по существу является только подготовительной и достаточна лишь для рассмотрения простейших вопросов.
Как правило, геометрические и физические задачи приводят нас к рассмотрению тензорных полей. Мы говорим, что в и-мерном аффинном пространстве задано поле тензора а,,'"'!„, если для каждой точки М задан определенный тен!" й эор укаэанного строения а,",,"'7!'„=- а,",",,', г1„' (М). (38.1) Тензорное поле может быть задано и не во всем пространстве, а только в некоторой его и-мерной области 7» (и даже только на некоторой пг-мерной поверхности, в частности на линии). Это значит, что точка М в (38.1) пробегает не все пространство, а только его область ») (или даже нг-мерную поверхность), а для остальных точек тензор а,", "'т,' не определен.
В дальнейшем, если не будет оговорено противное, подразумевается, что тензорное поле задано в и-мерной области»л (в частности,'во всем пространстве). Кстати, здесь уместно дать общее определение и-мерной области»л! это такое множество точек, что вместе с каждой точкой х! к нему принадлежат все точки х', для которы» ) х! — х',) к и, если только е > 0 взято достаточно малым. Для различных точек хь значения и, вообще говоря, различны.
твнзогныв поля 8 38) 181 Нетрудно было бы показать инвариантность этого определения относительно преобразования аффинной координатной системы к'. Если пространство отнесено к определенной координатной системе, то (38.1) можно переписать в виде функциональной зависимости ат,' ",„' = аг,',"„'!„' (х',..., х"), (38,2) где х', ...,х" †координа точки М. Эта функциональная зависимость предполагается достаточное (для будущих выкладок) число раз непрерывно дифференцируемой. ! еометрическое и физическое значение понятия тензорного поля заключается в том, что соответствующий геометрический объект обычно меняв~си от точки к точке (как, например, кривизна кривой или поверхности), а физический, кроме того, зависит и от момента времени. Так, например, напряженности электрического и магнитного нолей зависят от точки, где они наблюдаются, и от момента времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
