1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 24
Текст из файла (страница 24)
=А" А,",АР. Ар„'Аа, А»: аР . 125 % 33) ОБ гл негных плоскостях Пользуясь (32.!), получим окон штельно а'"... — — - А';: А,",.' Ачт.' а",. (32.3) т. е, действительно тензорный закон преобразования имеет место и при переходе от любой координатной систеьгы к любой другой. Этим наше доказательство закончено. Основа его заключается просто в том, что наложению двух линейных преобразований над векторами репера е„ ..., е„ отвечает наложение соответствуюших (и, очевидно, тоже линейных) преобразований нзд координатами тензора 4 33. Об т-мерных плоскостях в и-мерном аффннном пространстве Мы изложили в основных чертах тензорную алгебру и сейчас должны пополнить паши сведении по геометрии л-мерного аффннного пространства. 1!регкде всего мы рассмотрим в этом пространстве плоскости различных измерений. Мы будем назьгвать плоскостью лнножество точек, обладаюгцее следующим свойством.
Пусть А, В, С вЂ” произво,гьные точки этого множества. Построим вектор АВ, у,нножим его на произвольное гасло а и отложилг от точки С, так что по.гучится вектор С,О = ссАВ. (33.! ) Тогда ~очка ТУ должна тоже принадлежать нашему лгножеству. Всякггй вектор АВ, где А н В принадлежаг данной плоскости, мы будем называть вектором этой плоскости. Из определения плоскости видно, что при умножении на любое число м вектор данной плоскости (например, АВ) переходит в вектор той же плоскости (т, е. СТУ), п при отклздыванин вектора данной плоскости из любой ее точки мы приходим в точку той же плоскости (вытекает нз определения при и =- 1).
Теперь ясно, что все наши аксиомы 1' — 9' имеют мес~о аля точек и векторов плоскости. Что же касается аксиомы размерности 1О', то она видоизменится: максимально возможное число гн линейно неззвисимых векторов на плоскости будет, вообще говоря, меньше и. Число гл мы будем называт~ размерностью данной плоскости. Мьг видим, что т-лгерная плоскость в и-мерном аффинном пространстве по свойствам своих точек и векторов предсгавляет собой т-лгерное аффинное пространство. хввинное пгостглнство и измегишй [гл. и 126 Пользуясь этим обстоятельством, на плоскости всегда можно выбрать аффннный репер, т. е. некоторую точку Оя и т линейно независимых векторов а„ ..., а„ Тогда радиус-вектор ОчМ любой точки М на этой плоскости рззлагается по векторам репера О'М =- Ва, им ...
+ 1" а„, где Р, ..., г" — коэффициенты разложения, которые пробегают всевозможные численные значения, когда точка М описывает нашу плоскость. Одним словом, мы повторяем построение аффинной координатной системы для ш-мерно!о аффинного пространства, каким и является наша я!-мерная плоскость.
При этом (Он, а„..., а ( будет репером, а !г, ..., (и — соответствующими координатами. Отсюда вытекает, что всякая ш-мерная плоскость может быть построена следующим образом. Берется некоторая точка Ов и т линейно независимых векторов а, аю ..., ам и строится множество всех точек М, для которых вектор О~М допускает разложение ло аы аю ..., а Последний вопрос, который нам нужно выясни~ь,— получим ли мы этим путем ш-г!ерную плоскость при любом выборе ~очки О' и гл линейно независимых векторов. Легко проверить, что ответ будет утвердительным. В самом деле, вектор АВ, соединяющий любые две точки А, В из построенного нами множества, может быть записан в виде (33.2) АВ =- О' — ОчА и вместе с векторами ОЯВ и ОЯА допускает разложение по а..., ..., а; то же остается верным и для вектора аАВ; откладывая этот вектор от произвольной точки С нашего множества, получаем вектор СО= аАВ; так как ОьО=- ОяС+СО, то ОнО вместе с Онс и СО разлагается по аы ..., а„, а следовательно, точка принадлежит построенному множеству.
Тем самым это множество представляет собой плоскость (согласно определению последней) и притом ш-мерную, так как ш линейно независимых векторов на ней имеются по построению, но все остальные от них линейно зависимы. Векторы а,, ..., а„мы буден называть налравляюи(ими векторами данной плоскости. 127 % ЗЗ) Ов ш-ывгных плоскостях Соотношения (33.2) легко позволяют записать уравнения пг-мерной плоскости в и-мерном аффинном пространстве, Отнесем последнее к кзкому-либо аффинному реперу (О, е, ..., е„), Тогда радиус-вектор любой точки М из и-мерной плоскости может быть записан в виде ОМ = 00- — , '0 "М = ООТ + 11аг+...
+ 1мам. (33. 3) Здесь 00', а„..., а — постоянные векторы, з гт, независимые переменные (аффинные координаты на плоскости), таи что (33.3) можно рассматривать как параметрическое уравнение нашей плоскости в векторной форме. Переходя в равенстве (ЗЗ.З) от векторов к их координатам относительно аффинного репера (О, е„ ..., е„), мы получим параметрические уравнения нашей плоскости в координатной форме: хг =- ас+ ('а,'+ 1ьа,'+... + 1" а' .
(33.4) юч.т ььн1 1 1 + ьтк~1хь 1 бш'~" 1 хп =- 6, хт+... + Ь'„'1хм + о"'. ) (33.5) Здесь х1 — координаты вектора ОМ, а значит, н самой точки М, ас — постоянные координаты вектора 00", а', — постоянные координаты вектора а, и т. д. В итоге текущие координаты х' произвольной точки М нашей лт-11ерной плоскости выражаются линейными функциями гп независимь1х параметров 71, ..., 1ь, причем все гп столбцов матрицы коэффициентов линейно неэависил1ь1 между собой (что равносильно линейной независимости векторов ат, ..., а; см. % 23). Очевидно, что и обратно, уравнения вида (33.4) с условием максимального ранга ( = гп) для матрицы коэффициентов (т.
е. с условием линейной независимости столбцов этой матрицы) всегда определяют ш-мерную плоскость. Это легко проверить обратным переходом к векторной записи. Наконец, уравнения т-мерной плоскости можно дать в неявной записи. Для этого достаточно из и уравнений (33.4) исключить тп параметров 71, ..., 1", что всегда выполнимо в силу максимального ранга гп матрицы коэффициентов. Считая, что ранговый минор матрицы образован, например, первыми лт ее строками, мы можем выразить 71, ..., 1 через х', ..., х из первых т уравнений (1 = — 1, 2, ..., пт). Подставляя эти выражения в остальные уравнения (1=си+1, ..., и), мы получим: лФФинное пРОЕТРлнство и измеРений 128 (гл, и коэффициенты ьлч вырзжаются, конечно, через коэффициенты а,', но как именно †н сейчас не интересует.
Итак, тл-мерная плоскость может баять задана л — лг пезависимечми линейными уравнениями между текущими координатами х', ..., х". Независимость полученных уравнений ясна из того, что в каждом из них выражена координата, отсутствующая в остальных, То, что, обратно, уравнения вида (33,5) всегда определяют и-мерную плоскость, становится очевидным, если принять х', ..., х за независимые параметры Н, ..., Р'"; тогда мы получаем частный случай параметрического задания от-мерной плоскости. Размерность плоскости и может принимать значения О, 1, 2, ..., л. Б случае тв =- О уравнения (33.4) дают (33.6) х =а, и плоскость сводится к точке. В случае лт.= ! х' =. а'+ гта'„, (33.7) и текущие координаты суть линейные функции одного параметра.
Одномерную плоскость мы будем называть прямой линией. В векторной форме она задается начальной точкой Оя и одним направляющим вектором а, ЕЛО, В случае лт = 2 мы получаем двумерную плоскость х' = а'+ т1а', + Реа',, (33.8) для которой текущие координаты суть линейные функции двух независимых параметров, В векторной форме она зздается начальной точкой Оа и двумя линейно независимыми направляющими векторами а„ а,. Аналогично обстоит дело и при остальных значениях лт, Особо следует оть(ртить случай лт = п — 1, когда плоскость называется гиперплоскостью.
Гиперплоскость может быть охарактеризована тем, что она задается одним линейным уравнением между текущими координзтами. Действительно, и †уравнений (33.5) сводятся в этом случае к одному. Наконец, наше определение плоскости допускает и случай лт = и, Но тогда, очевидно, плоскость просто заполняет все пространство. Для нас буде~ особенно важен случай, когда все рассматриваемые плоскости принадлежат одной связке в проходят через фиксированную точку О (которую мы примем за начало координат). Тогда для задания лт-мерной плоскости достаточно знать ее направляющие векторы а,, ..., в„.
в 34) визектог н задание двтмггной плоскости 129 Но та же самая плоскость может быть определена и любой другой системой направляющих векторов а,,, ..., а,— лишь бы онн тоже принадлежали плоскости и были линейно независимы. Разумеется, как здесь, так и далее индекс лл' имеет то же численное значение, что и т, и лишь в записи снабжен штрихом. Связь между старыми и новыми направляющими векторами лг-мерной плоскости— это в сущности связь между векторами старого и нового репера в лг-мерном аффинном прострзнстве, Мы можем записать ее аналогично 9 24: аг=;.А,',а,+... +А',Уа (злы = 1', 2', ..., лл') (Ое((А),(~0), (33.9) и обратное преобразование: а,=А,"а, +...
+А,'"'а, (1= 1, 2, ..., лл). (33.10) ф 34. Бивектор и задание двумерной плоскости Мы будем называть бивекторолг дважды контраварнантный косо- симметрический тензор а" -.= — а" (34, 1) Бивектор мы будем называть ггростым, если он составлен нз каких-нибудь двух векторов а„ аг с координатами а,(а'„ ..., а",), (34.2) по формуле ! а', а'( а =- — (а а,— а а') г 2 г ' г 2(ааг( г г (34.3) Другими словами, простой бивектор получается перемножением контраварнантных тензоров а',, а, 'с последующей альтернацией: аы = а(га(1. (34.4) Очевидно, порядок перемножземых тензоров, т. е.
порядок задзння векторов а, а, играет здесь важную роль: если порядок 5 и. К. яаигевеииа Неудобство здесь заключается в том, что одна и та же плоскость связки задается весьма разнообразными системами направляющих векторов. Возникает вопрос, нельзя лн систему направляющих векторов заменить чем-то другим, что было бы уже однозначно или почти однозначно связано с плоскостью данной связки. Ответом на этот вопрос является понятие простого поливектора, Игг мы займемся в Я 34, 35. лавинное пгостглнство л измееений (гл.
и 1ЗО заменить на обратный, бивектор, как легко заметить из (34.3), умножается на — 1. Простой бивектор, составленный из двух заданных в определенном порядке векторов а„а, согласно (34,3), мы будем называть косым произведением векторов а, ая н кратко обозначать [а,а,]. Выясним основные свойства косого произведения. Прежде всего при перестановке множителей оно, как уже отмечалось, меняет знак: (34.5) [а,аз] = — [а,ат]. Отсюда в случае а, = а, = а получаем: [аа] =: — [аа], т. е. [аа] =О.
(34.6) Далее, из линейной зависимости координат косого произведения [ага ] от координат одного из векторов, нзпрнмер а„очевидно, следует, что при умножении ат нз произвольное число ы бивектор умножается на то же число: [ааы а,] =-а [а,аг], (34.7) а также, что при замене а, суммой двух (или нескольких) векторов бнвектор распадается на сумму соответствующих бнвекторов: [а,'+ а,", а,] = [а,'ае] + [а,"а,]. (34.8) Теперь нетрудно заметить, что для линейной зависимости векторов аы ае необходимо и достаточно обращение в нуль их косого произведения. В самом деле, если а, и а, линейно зависамы, например аз.=- аа„ то [атаг] =- [аы иат] =-се[а,а,] =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
