1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Сравнивая разложения (24.12) и (24.13), мы должны приравнять коэффициенты при ен ввкду единственности разложения вектора к по векторам репера. Получим: х' =-.. А,' х', (24.14) где по ! происходит суммирование, так что в подробной записи хг = А',х'+ Аах'+... -]- Аах". (24.15) 102 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ (гл. и Совершенно аналогично при помощи Обратного преобразования выразятся старые координаты через новые: х =А,'.х". (24.16) Весьма важно для дальнейшего сравнить формулы преобразовавания гекторов репера е...,, е„и координат инвариантного гектора хт, ..., х".
Для определенности рассматриваем в обоих случаях переход именно от старого репера к новому и сравниваем формулы (24.4) и (24.14). Мы видим, что матрицы этих преобразований различны, а именно матрица преобразования (24.14) есть транспонированная обратная матраца преобразования (24.4) (такие преобразования называются коншрагредиентнылги). Действительно, матрица преобразования (24.14) (как особенно ясно видно из записи (24.15)) имеет вид А', А, '... А,', (24.17) А" А" ... А", 1 л рованием (поворотом на 180' т. е. получается транспони вокруг главной диагонали) матрицы (24,8), а эта последняя матрица — взаимно обратная с матрицей (24,6) преобразования (24.4). формулы преобразования векторов репера и координат инвариантного гектора при переходе от старого репера к новому (24.18) х" =.Агх' (24.! 9) являются фундаментальными для тензорного исчисления, Они лежат в основе всех остальных тензорных законов преобразования.
Таким образом, преобразование гекторов репера совершается при помощи произвольной неособенной матрицы (ОЕ11А1г(~=0), а преобразование координат вектора — прн помощи транспонированной обратной матрицы. Мы занимались до сих пор преобразованиями координат вектора, а не точки. Если меняются лишь векторы репера, а начало О остается неподвнжнылл, то координаты каждой точки М меняются так же, как и координаты ее (неизменного в этом случае) радиуса- вектора ОМ, т. е. по закону (24.19). Если же, кроме того, и начало О испытывает сдвиг на вектор а, то радиусы-векторы всех точек М изменяются вследствие этого на вектор †и тем самым координаты х' всех точек М увеличиваются на А", где А"— координаты вектора †.
В результате окончательная формула для преобразования координат хг неподвижной точки М имеет внл х" =А,'хг+Ан, (24,20) 108 5 25) зьдьчл танзогного исчисления 2 25. Задача теизорного исчисления Прежде чем приступить к построению тензорного аппарата,— а к этому мы уже вплотную подошли, — постараемся уяснить себе в общих чертах его цели. Исходным пунктом нашего построения и-мерного аффинного про.
странства послужила аксиоматика векторного исчисления (в его аффинной части). Векторное исчисление представляет собой важнейший пример прямого геометрического исчисления: и объекты его и операции носят непосредственно геометрический характер. Всякое вычисление, проводимое в векторах, может быть истолковано как геометрическое построение. Вместе с тем большую и часто ведущую роль в геометрии играет координатный метод, Здесь геометрические образы изучаются не непосредственно геометрически, а методами алгебры (аналитическая геометрия), а затем и анализа (дифференциальная геометрия).
Огромная сила этого метода основана на том, что он применяет к геометрии сильный, хорошо развитый вычислительный аппарат алгебры и анализа. В результате удается ставить и решать вопросы, лишь малая часть которых укладываемся в сравнительно узкие рамки прямых геометрических методов. Однако эти успехи достаются недаром. В основе координатного метода всегда лежит условность, заключающаяся в приписывании каждой точке (или вектору и т. п.) координат, например, аффинных координат х', хь, ..., х", как сделали мы в втой главе для точек и векторов л-мерного аффинного пространства.
Но сама точка (или вектор) никоим образом не порождает эти и чисел; чтобы получить такой результат, нужно, как мы видели, задаться некоторым репером, т. е. некоторой аффиниой координатной системой, а аффинный репер можно выбирать с большим произволом, вне связи с изучаемыми геометрическими образами. Аналогичным образом дело обстоит и во всех случаях применения координатного метода: на изучаемую геометрическую картину накладывается случайный выбор координатной системы, и те акалитические данные, которые мы получаем, отражают не только то, что нас интересует (геометрическую картину), но и то, что нас вовсе не интересует (произвольный выбор координатной системы) и что без надобности усложняет результаты ').
Приведем элементарный пример: в обычном пространстве в прямоугольных декартовых координатах вектор, соединяющий точки М,(1, — 2, 3) и М,(2, — 2, 5), имеет координаты (1, О, 2). В этом результате то обстоятельство, что вторая координата вектора равна *) Конечно, иногда возможно вполне естественным образом приспособить выбор координатной системы к самой геометрической задаче; но, как правило, ьто не имеет места, (гл. и АФФНННОЕ ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ 104 й 26.
Понятие о ковариаитном тензоре Мы рассмотрим сначала одновилентный ковариантный тензор. Он появляется наиболее естественным образом в связи с линейной скалярной функцией вектора. Пусть каждому вектору х поставлено в соответствие чиоло тр р ш(х) (26. 1) таким образом, что для любых двух векторов х, хг ф(хт+Х,) =ф(хт)+Ц~(Х,) и для любого числа сс (26.2) ~р (ах) =- аф (х). (26.3) Тогда ф.(х) называется линейной функцией вектора х.
Будем рассматривать ф (х) в какой-нибудь координатной системе, т. е. будем задавать аргумент х его координатами хт, хг. ..,, х" и выражать ф (х) как функцию этих координат. Так как х=х'е,+... тхьею нулю, является случайным, зависящим от выбора координатной системы. Напротив, выражение 1' + Ог-)- 2' не случайно дает б.
И в любой другой прямоугольной системе координат мы получим тот же результат, хотя координаты вектора будут уже другие. Первое обс~оятельство не имеет геометрического смысла для вектора самого по себе, второе †име (получается квадрат длины). Возникает потребность и в сложных построениях научиться отделять геометрически суа1ественно важное от случайно привнесенного выбором координатной системы.
Решением этой задачи и занимается тензорное исчисление. Общая схема его построения такова. Строятся прежде всего тензоры, т. е. системы величин, отражающие определенные геометрические (или физические) конструкции и преобразующиеся по некоторому простому закону при переходе от одной координатной системы к другой. Далее, между тензорамн вводятся операции и соотношения инвариантного характера, т. е, сохраняющие свой вид при переходе в шобую другую координатную систему. Таким образом, все соотношения пишутся в форме, годной не только в избранной, но и в любой координатной системе, а значит, Эти соотношения отражают геометрические (или физические) факты, независимые от выбора определенной координатной системы; искажающее влияние случайного выбора этой системы устраняешься.
Из дальнейшего будет видно, каким образом целый ряд геометрических и физических вопросов поддается именно этой трактовке, 8 26) 105 ПОНЯТИЕ О КОВЛРНЛНТНОМ ТЕНЗОРЕ то, пользуясь свойствамн (26.2), (26.3), легко получаем: !р (х) = !р (х'е, + ...
+ хпе„).= х'!р (ет) + ... +х"ср(е„), Обозначим для краткости ср! = !р (е!) . Тогда окончательно !р (х) = !у!се!, (26.4) (26.5) гр (х) =- !рнхе. (26.6) Функция !р (х) остается прежней, но так как х! — координаты вектора-аргумента †прим преобразованные значения х", то должны преобразоваться и коэффициенты гр! линейной формы (26,5). Спрашивается, по какому закону происходит это преобразование.
Применим формулу (26,4) в новой координатной системе: ср, = !р(ен), (26,7) Согласно (24.4) (26.8) Пользуясь свойствами (26.2), (26.3), можно переписать (26.7) в виде <рт* = ср (А,'е +... + Айе„) = А,',!р (е ) +... +.4,"'<р (е„). Вспоминая (26.4), получаем окончательно Тр! = А,'«рп (26.9) Сравнивая (26.9) с (26.8), мь! замечаем, что закон преобразования коэффициентов !р! в точности совпадает с законом преобразования векторов репера еп Итак, когда нам задана линейная функция вектора !р(х), то в каждой координатной системе у нас возникает и чисел !р, ТР„..., йю НРеобРазУющнхсЯ по томУ же законУ, что и вектоРы соответствующего репера.
Мы пришли к понятию одновалентного ковариантного тензора. Ме! говорин, что нам дан одновалентнь!й ковариантный тензор, если в каждой координатной системе нам задано и чисел'ач, заку. мерованных при помощи одного индекса (пробегающего значения 1, 2, ..., и) и преобразующихсл при переходе от одной коорди.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
