1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так, нзпример, интеграл по поверхности и, войдет, во-первых, в состав интеграла по поверхности о„ ограничивающей тело ш„ и, во-вторых, в состав интегрзла по поверхности о„ ограничивающей тело га,. Так как тела гв, и гоз примыкают к п,з с противоположных сторон, то внешние нормали к и„ будут направлены в том и другом случае в противоположные стороны, так что вектор п меняет направление на обратное, а его проекция л, меняет знак. Но вместе с л, меняет знак и интеграл 0 Итак, формула (18.3) доказана окончательно.
Но ввиду полного равноправия координатных осей она будет верна и с заменой 3.го индекса на 1-и нли 2-й. Складывая все три формулы почленно„ 78 теплоты В тгехыегном явклидовом пгостглнстзе [гл. ! р,= ) ~ (а,,л,+а;,л,+ агапа) г75= =111 ~' —,'+-: —".:+ — "".)- (18.17) Последнее .выражение получено на основании формулы (18.2). Введем понятие диаергннции аффинорного полл, а именно, сопоставим аффинорному полю Й векторное поле б1т Й, определив координаты вектора б(т Й формулами: (б(тй), =~~ —",=„'~', р,а,, (18.18) Мы видим, что координаты вектора б1т Й образуют одновалентный тензор, полученный свертыванием тензора раас по 1-му и 3-му индексам; следовательно, вектор б(т Й будет в каждой точке вполне определенным (не зависит от выбора координатной системы, в которой вычисляются его координаты; см. 2 1). Теперь (18.17) можно переписать в виде р,= ~ ~ ~ (б(тЙ)гтйа, или, что то же, р=~~~б~тЙ( . (18.19) Записав р в развернутом виде согласно (17Л), получим оконча- тельно ~~Йп Ю=~~~б( Й( .
(18.20) Мы получили теорему Остроградского для потока аффинора через замкнутую поверхность. получаем равенство (18.2), а следовательно, н (1 8.1), Докааательстао закончено. Рассмотрим еще поток аффннорного поля Й через замкнутую поверхность 5. Пользуясь координатной записью (17.2), получим: 79 9 19) ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ й 19. Основные уравнения гидродннвмикн Теперь мы можем составить основные дифференциальные уравнения гидродинамики. Они, в сущности, сводятся к записи второго закона Ньютона для элемента жидкости.
Предположим для общности, что внутри жидкости действуют (кроме снл напряженна) объемные силы, т. е. нам задано векторное поле (1(М, г), выражающее в каждой точке и в каждый момент времени силу, действующую на элемент жидкости н отнесенную к единице ее массы. й(ы рассматривали до сих пор в случае течения жидкости лишь стационарные процессы, когда все изучаемые нами величины, например, вектор поля скоростей а, плотность р, аффинор напряжений )у и т. д. зависели лишь от точки М, в которой мы их рассматривали; теперь будем считать нх, кроме того, и функциями времени; а(М, т), р (М, г), $(М, г) и т. д. Полученные ранее выводы этим затронуты не будут, так как стационарность процесса мы предполагали лишь для простоты и по существу не использовали.
Сначала составим равнодействующую сил напряжения, действующих на замкнутую поверхность Я, которая выделяет каким-либо образом часть нашей жидкоЙ среды. Относительно поверхности О сохраняем прежние предположения; п направляем по внешней нормали. Эта равнодействующая согласно (17.3) имеет вид Пользуясь теоремой Остроградского (18.20), этот результат можно переписать так: (19.1) где тройной интеграл берется по области, ограниченной поверхностью О. Далее, составим равнодействующую объемных сил (19.2) Этот интеграл также берется по области, ограниченной поверхностью о, причем па †элеме объема, р арго †элемент массы, а Яр Ив — объемная сила, действующая на этот элемент массы. 39 тензогы в тгвхмягном явклидовом пгостгхнстве [гл.
~ Составим, наконец, равнодействующую сил инерции для напакости, заключенной внутри 8, Скорость каждой чзстицы жидкости выражается вектором в(М, 1), ускорение же ее будет выражаю си вектором — + в(а, где Я((М, 1) — производный аффинор векторного поля а(М, У) (который составляется в каждый данный момент времени так же, ьак и в911). Лействнтельно, прослеживая движение одной частицы жидкости, мы видим, что ее координаты х; являются функциями от 1, причем в каждой точке М и в каждый момент времени 1 скорость ее движения выражается вектором а(М, г).
Это можно записать так; дМ вЂ” = а(М, г), дг или в проекциях на осн: дхг — „г =-а, (х,, хя хх Г). (19.3) Пользуясь формулами (11.6) и (19.3), получаем окончательно; аяхг да1 даг '+ амат+ аыах+агзаз = дгг+ Ъ а;уау, (19хр) / где аг — координаты производного аффинора Й. Обозначая вектор г/ ахм ускорения ††, можно перейти теперь от координазной записи Жх к векторной: дгМ да дР дг (1 9.5) Умнонсая ускорение на элемент массы рдю, интегрируя по области, ограниченной 5, и беря результат с обратным знаком, мы получаем равнодействующую сил инерции — Я ~ дг + Еа) р с( . (19.6) Сумма всех сил, действующих на рассматриваемую часть жидкости, включая силы инерции, должна равняться нулю.
Складывая Чтобы найти проекции ускорения, дифференцируем по г еще раз. Получаем: пах; даг . даг ах, да; ах, да; ахх дР д1 дх, дГ дх, Ж дх, И~ !9) ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ 81 выражения (19.1), (19.2), (19.6) и приравнивая результат нулю, получаем: Я ( — б!У$ (-Я вЂ” — ',— Яа) рс(а=0. (19.7) Так как этот тройной интеграл равен нулю для любой области, вырезанной в нашей жидкоЙ среде, то подынтегральное выражение должно равняться нулю тождественно. Мы получаем: — + 6(а = Ь) 4- — йу бг.
да ., 1 с д1' р (19.8) Прн этом, пользуясь формулами (18.18) и (15.16), мы можем вычислить координаты вектора Жт $: А~~ д. 1 дх1 дта, 29 дд!У а др =р~' — +9~, ' — — ~' 61.— > — 61. Хчм дх~ ы дх, дх, 3 А.ы дх, Н 2ы дх1 1 ! 1 [о!У $]1= РЛаг+ Р дд!Уа 2р,дйта др дх; 3 дх; дхг !г дйуа др =- РЛИ1+ —— 3 дх! дх; (19.9) В векторной форме это же равенство принимает вид !г б!Усу=!!ЛИ+ 3 агабб!Уа — агаб,. (19.10) Вставляя полученное выразкение в (19.8), имеем окончательно: да, гг (г ' . ! — + 1!(а =-Я+ — Ьа+ — пгаб б!Уа — — дгабр.
(19,1!) д! ' р Зр р Это уравнение Навье-Стокса в инвариантной форме. Здесь фигурируют неизвестные функции а(М, 1), р(уИ, 1) и р(1)(, Г). Производный аффинор я( самостоятельного значения не имеет — его координаты выражаются через координаты а (Л1,1) по д" д-, дт Так кйг — + — + — = Ь есть оператор Лаиласа, то первый дх~ дхз дх~ ! Ф 3 д член дает ЙЛа; во втором члене операцию — можно вынести за 1 дх; знак суммы, а сумма дает тогда б!Уа; в последних двух слагаемых от суммы фактически остается по одному члену, именно, тому, где у=г (остальные обращаются в нуль).
Окончательно получим: 82 тензогы В тгехмегном евк.типовом пгостгхнстве [гл,! формулам (11.8): да~ а,. =.—. дхГ' Следует отметить еще, что оператор Лапласа Л (в применении к скалярному или векторному полю безразлично) носит инвариантный характер. Действительно, д~а х. ~ дх; дх; г дта есть результат свертывания тензора д д, полученного двойным дхг дхг ' дифференцированием скалярного поля а (х, х, х ), н, следовательно, представляет собой инвариан~. Аналогично д'а (хмхм х ) .~м дх; дхг др да+ б(ч (ра) = О, (19.12) выражающее закон сохранения массы.
2 20. Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях Мы будем рассматривать малые колебания однородного изотропного упругого тела под действием объемных сил, которые (аналогично 9 19) заданы переменным векторным полем Я (М, г). Вектор О выражает объемную силу, отнесенную к единице массы, в данной точке М и в данный момент времени г. Искомым является переменное векторное поле ж(М, 1), выражающее перемещение каждой точки упругого тела (сравнительно с положением равновесия) в каждый момент времени. Мы не будем ставить задачу в полном виде и ограничимся ннварнантной записью дифференциальных уравнений, накладываемых на тт (М, г). Тензор деформаций выражается формулой (13.5): дааа есть результат свертывания тензора ЧгЧ,аь = д д по индексам 1 и у дх; дх; и представляет собой, следовательно, снова тензор.
Тем самым вектор Ьа, обладающий, очевидно, координатами Лаю будет инвариантно определенным еектором. К уравнению (19.11) нужно присоединить так называемое уравнение неразрывности э 20) диэевгенцихльные гглвнения теогии кнгггости 83 (20.2) Выделим нз упругого тела произвольный кусок га, ограниченный некоторой поверхностью 5. Подсчитаем равнодействующую р сил напряжения, действующих на ю через его поверхность Я. Совершенно аналогично (19.1) получаем: р= — ) ') ) б1ч8 Ао, (20.3) где (у — аффинор напряжений, координаты которого имеют вид (20.2).
Далее, равнодействующая объемных сил тоже совершенно аналологнчно (19.2) имеет вид (20.4) где р †плотнос упругого тела. Заметим, что ввиду малости перемещений ж мы позволяем себе брать все интегралы по той области г», которую занимает выделенный кусок упругого тела в состоянии равновесия (а не по той переменной области, которую он занимает в процессе колебаний).
По той же причине считаем, что плотность р не меняется в процессе колебаний, Теперь составим равнодействующую сил инерции: (20.5) Я (бш ~+ (?р — р —,, ) ~~ = О. Поскольку равен нулю интеграл, взятый в любой момент времени по любому куску ю нашего упругого тела, то это значит, что подынтегральная функция в любой момент времени и в любой точке равна нулю.
Поделив на р, получаем: 1, я~м — бш)у+Я вЂ” —, = О. р ' д1т а тензор напряжений — согласно (15.1): У,=)В5,,+2РЬ,, В=~зБп. г дав (м, г) Действительно...' выражает в момент рение точки, которая в положении равновесия а рс(ю дает элемент массы. Равнодействующая вующих на ю, должна равняться нулю. Складывая (20,4) и (20 5) и приравнивая нулю, получаем; времени 1 ускосовпадала с М, всех сил, дейст- выражения (20,3), 84 твнзогы в тгехмегном евклидозом пгостглнствв [гл. г Пользуясь формулами (18.18) и (20.2), вычисляем координаты б!ч$: (Й!ч с!')г — — ~ ' ~' г д 8!т-' ,~~~' 2)г Так как 62 равно 1, если 1=-/, и О, если (~у', то в первой дВ нз двух сумм остается лишь один член ).
—; во второй сумме продхг ' изводим замену, используя формулу (20.1). Получим; дО дхмг дам (д!ч '0.); = Х вЂ” + (х ~ †,' + (х ~~~' т . (20 У) дх д '. дх дх ! г 1 Согласно (20.2), (20.1) дм; О=-~д..= э — '-"=й!ч — 2 п=2.дх,= ! (20.8) б!чб-= () +)х) дгабО+)гЛтч. (20.10) Вставляя это выражение в (20.6), получаем дифференциальньге уравнения упругих колебаний в перемЕщениях (Лах~е), записанные в инвариантной форме: 1 дем — (),+р) пгабО+ — Лгч+(4 — —, =О, где О=-б!чтч. (20.11) Р Р д!г Таким образом, неизвестной функцией является здесь лишь тч(Л4, !). Функция 0(Я, 1) и константа р предполагаются заданными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
