1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1«!ы будем обозна шть дтш краткости ди« -л ~т «л' (10.9) дх, т ыл' л) Смысл термина «абсолюп«ый» выяснится позже, когда абсолютный двфференпиал будет рассматриваться в криволинейных координатах (зоо«ще говоря, в простравстве аффнпной связности. в частности, а евклидовом пространстве). В силу (1О. !) и (!0,2) координаты тензора агу меняются как сложные функппи от т; пх лнфференпналы при нашем бесконечно малом смещении ЯМ' вычисляются по формулам ди; ь (10.5) Тензор с ноординита,«щ «(а,. мы брт)ем называть абсо.тютнь«л« дифференции.«ом тензори полл а; „и).
Абсолютный дифференпиал «1а, зависит, очевидно, и от точки М и от данного бесконечно малого смещения из М в Я'. То, что это действительно тензор, легко проверить. В самом деле, при переходе к новой координатной системе е„=- тпА,ет (!0.6) 50 тензоты В ттехмегном гяклидовом пгоотглнстае [гл.! х,=~~Анх,. ь (10.10) Вычислим теперь величины (10.9) в новой координатной системе: Ртс (1О. 11) Последнее выражение получено по правилу дифференцирования функции от функции (можно считать а' функциями от х,, х,, х,, Рг причем эти переменные сами являются функциями от х', х, х,' 1' 2 3 в силу (10.10)). Так как согласно (!0.10) ах, —, = Асн ах, и согласно (10.7) (А г †величи постоянные), то окончательно (10.11) принимает вид т),ары —— ,)'~ ~~~~~~~ ~АыА,-А А„т),ад.
(1О 12) / ь Мы видим, что (),а,,ь преобразуются как координаты четырехваленгного тензора (при третвалентном исходном тензоре а, „), Наши рассуждения дословно повторяются и при любой валентности исходного тензора. Таким образом, пояучаем следующий результат. Совокупность всех частных производных 1-го порядка (нипример, р,аг„) от координат тензора поля по координатам х, той точки, где этот тензор в данный момент рассмитривается, об. разует снова тензор на единицу вьюгией валентности, а именно, в качестве добавочного индекса появляется индекс той координаты, по которой берется производная. Новый тензор д,а,. моькно построгпь в любой точке М области ьг, так что по существу мы нз тензорного поля аг ь получили новое тензорное поле Ч,а;.ы Тензор поля т),иг называется абсолютной производной тензори полл Выясним, по какому закону будет происходить преобразование этих величин при переходе к новой координатной системе (10.6) Как мы знаем, при этом переходе старые координаты точки М выражаются через новые согласно (1.13): и 10) днььы ьнцитование твнзоть поля Формулу (!0.5) теперь можно переписать в виде йаг =- ~~~ Рйхг7га (10.13) и понимать в том смысле, что тензор йаг.
есть результат свертывания двух тензоров йхг и 7,ас В качестве простейшего случая рассмотрим дифференцирование скалярного поля а =. а (М)-.=- а(х,, х,, х,). (10. !ч) Абсолютная производная есть одновалентный тензор 7;а= —. да дхг ' (10.15) Как и всякий одновалентный тензор, 7га может быть истопка. ваи как вектор с теми же координатами. Этот вектор называется градиентом скалярного поля угад а == ~~'., 7са ен (10. 16) Формула (10.13] принимает вид Ыа -=~,йхг 7,а =йй( ягзй а. г (10.17) Г=-дгаб а. (10.18) Функция а (М) называется потенциальной функцией данного силового поля и лишь знакои отличаетсн от его потенциала. Физический смысл формулы (10.17) состоит в том, что приращение потенциальной функции при бесконечно малом смегцении ММ' Последняя запись в виде скалярного произведения легко получается при помощи формул (10.4) и (!0.16).
Итак, дифференциал скаляра а (М) при бесконечно малом слгещепии ММ' равен скалярному ггроизведению дифференциала радиуса- сектора д% па градиент скалярного поля. Градиент скалярного поля определяется, разумеется, н каждой точке области ьг, в которой скалярное иоле задано, и образует векторное поле. Приведем примеры. 1'. Силовое иоле Г(М) (где Г(М) — напряженность поля, т. е. сила, лействующая в точке М на единицу заряда (массы)) называется потенциальным, если Г(М) в каждой точке есть градиент некоторого скалярного поля а (М): 52 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (!Т!.! равно работе, производимой силой полл при этол! же смещении над единицей заряда (массы).
Правда, в формуле (10,17) выписаны не сани названные величины, а их главные линейные части,но если (10.17) почленно проинтегрировать по какому-либо пути, то наше утьерждение оправдается, и притом лля любого конечного пути (з не только для бесконечно малого). 2'. Рассматриваем скалярное поле а (М), гле а (М) вырзжас! давление в произвольной точке идеальной жплкосэи, заполняющей некоторую облас~ь Й.
Тогда агади имеет следующий физический смысл: вектор Г = — егад а дз! (10.19) Г= — )ей!ад а (10.20) выражает плотность теплового потока, идущего от более теплых, к более холодным месим тела; а — коэффнциен! теплопроволносги. Более подробно, роль нектаре Г состои~ в том, что тепловой поток в каждой точке идет по его направлению, причем !ерез ортогональный к Г элемент плошали до за единнну времени проходит количество тепла, равное ! Г( ао. й 11. Дифференцирование одновалентиого тензора Пусть в некоторой области О нам дано олновалентиое тензорное поле а, = аг (М) = а, (х„хм хз) (11.1) или, чго то же самое, векторное поле в=а (М) =а!(М) ео (11.2) Его дифференпирование, которым мы сейчас тельно важно лля приложений.
Формулы (10.5), случая примут вид займемся, нсключн- (10.13) для нашего [11.3) выражает рзвнодействующую сил язвления, прнлогкенных к элементарному обьему деэ. 3'. Скалярное поле а(М) выражает температуру в различных точках однородного, но неравномерно нагре'!о!о тела. Здесь вектор з 11) диьеегенцигоньниз олновллентного тензогл 53 Абсолютная произволная представляет собой в нашем случае иоле лвухвалентного текзора, координаты которого мы обозначнгн даг аг,-— — Ягаг= д— ' (11.4) 8= — Я(М). (11.5) Итак, абсолютной производной вектора поля а (М) можно считать аффинор полл ет(М), где координаты аффиноро определяются через координаты вектора по формуле даг а дк, (1 1.6) Этот аффннор мы будем называть производнгнм аффинором векторного поля а (М).
Перепишем теперь (11.3) в зиле Наг = 'ь~', а г, Ыхн (11 7) где дифференциалы взяты при произвольном смещении из данной точки М в бесконечно близкую точку М'. Прн этом согласно (10А) дх,— координаты вектора ЫМ ж ММ', а йаг — координаты вектора йа, что легко получить, дифференцируя (11.2) ночленно: Ыа = ~~~ аагер В таком слу ~ее (11.7) можно переписать в виде (11.8) В свмом леле, (11.7) можно рассматривать согласно (3.13) как координатную запись лействия аффинора Й на вектор дМ, причем получается вектор с(а.
Итак, абсолютная производная Й (М), действуя на вектор дМ ж ММ', дает вектор с(а (М) ж Ла (М). !1ренебрегая бесконечно малыми вьюшего порядка, можно скизать, что Я((М), действул на Вводя обозначение ап для координат тензора, мы сознательно сделали так, чтобы индекс дифференцирования занимал второе место. Двухвалентному тензору ап всегла отвечает, как мы знаем, аффинор Й с теми же координатами аг, Вместе с тензором ап аффннор Й определится в каждой ~очке М, так что мы получаем аффинорное поле 54 тензоты в ггехметном ввклидовом пгостглнстве (гл.з вектор бесконечно малого смещения ММ', дает соответствующее при- ращение вектора поля а(М): в (М') — а (М) = Ьа (М) = Йх, (11.9) где х=ММ .
Аффинор Й (М) можно разложить (2 8) на симметрическую и кососимметрическую части: х((М) = к) (М) + (ч (М) (11.10) причем координаты а,; разложатся соответственно а;, = — Ьгт+ с;р Здесь 1 Уда, да,~ == — (а,"+ а;) = — ( — + — ), 2 Ы У' 2 (,дху дхг) ' 2 ' В lт) 2 (,дх дхгг) ' (11.13) с, Формула (11.8) принимает вид з(а = д) ЙМ+ (д з(М. (11.14) Действие аффинора (с можно заменить согласно (5.6) векторным умножением (слева) на определенный вектор и, координаты которого в правой координатной системе выражаются через координаты аффинора по формулам (5.3).
В нашем случае зти формулы принимают внд (после почленного умножения на 2, что будет для нас удобно в далькейшем): (11.15) формулу (11,14) можно теперь переписать следуюитим образом: сза = л) с(М + [н дМ[. (11.16) Так как вектор и определяется вместе с аффинороч чз (М) в каждой точке М области ьг, то он образует векторное поле и = и (М), порожденное, как мы видим, исходным векторным полем а (М). даз 2иг = — 2сзз = д дхз да 2и = — 2с з зг — дхз да, 2и = — 2сзз з дх, да да дхз ' (11.11) (11.12) 55 и 12) кннвмлтичвское истолковлпие ввктогного поля е, е, е, д д д дх, дх, дхг а, а, аг (11.17) Мы пользовались здесь формулами (11.15) В правильности последней записи гос а в ниде символического определителя 3-го порядка нетрудно убелиться, развертывая его по злементаи первой строки. Что касается симметрического аффннора й)(М), то он не может быть охарактеризован столь же просто, как 6(М).
Во многих приложениях играет рояь не столько он сам, сколько его след Щдгн совпадающий, между прочим, со следом аффинора Я(М), т, е. с ~чР„а,г. Действительно, Ф аы — — ~(дгг+си) = ~дн, так как сн-----О. След аффинора г((М) есть инвариант, зависящий вместе с самим аффннором от выбора точки М. След аффинора Я(М) называется дивергенцией исходного векторного поля а(М) и обозначается 61ч а: й1ч а = — ~ а н — — ~~', он — — ~~З, — ' . даг (11.
18) г Дивергенция образует, ~аким образом, скалярное поле, порожденное данным векторным полем а (М). 2 12. Кннематнческое истолкование векторного поля и его производного аффннора Построения предыдущего параграфа получают наглядный кннематическнй смысл, если исходному нектарному полю а = а (М) = х,' а г (М) е,. [12. 1) придать следующее истолкование. Пусть область ь), е которой лидино векторное пола, заполнена некоторой подвижной дгформирующейся средой, например жидкостью, и пусть вектор а (М) выражает гу скорость, с которой движется часюща жидкости, находящаяся в даикый момент г точке М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
