1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 7
Текст из файла (страница 7)
14) Исходя из инварианта Вес(а,.!), инварианты двухвалентного тензора из аг! тензор (3.19) с ностояннымн можно построить и другие а„. Дли атой пели вычтем координатами Лббн где Л— 2 П. К. Ренееекеа й(ы считаем при этом, что еы е,, е, образуют правую тройку: Объем И берется со знаком -+. в зависимости от правой или левой ориентации векторов 6 (!е,), 1((!е,), е1((1еа), на которых он построен. Если учесть, что объем куба (г = 1а, то оказывается, что изменение объема произошло в отношении Оет(а! (.
Тем самым и длв всякого тела коэффициент объемного расшйрениа (со знаком!) имеет вид 84 твнзогы в твехмегном евклндовом пгостшчнс~нн [гл. ~ произвольное число, и составим детерминант из координат нового двухвалентного тензора а„— Л а„з а„а.„— Л а, Ре! ~ а; — Лбг (=- а, а — Л зз а аз азз Мы получаем снова инвариант преобразования координатной системы.
Если развернуть определитель н собрать члены с одинаковыми степенями Л, то получится, очевидно, кубический многочлен относительно Л Ре((а;т — Лб; ( Лз+1зЛз 1зЛ+1з 1з = ать+ аз -)-азз = 1 ни (6. ! 5) (6.(6) аы азз! азз азз! ! азз азз! азт азз ~ азз азз ~ ~ атз аы 1 =- Ре ! ) а;1 ( . (6,1 7) (6.!8) Так как (6.(5) представляет собой инвариант нри любом значении Л, то коэффициенты 1, 1,, 1з цо отдельности также должны являться инвариантами. При этом инвариант 1, нам уже встречался ранее (см.
(ч,!8)), а инвариант 1з был нами получен в этом параграфе. Таковы основные инварианты тензора а, . Что же касается добавка †Л, то он уже сыграл свою роль и в окончательною результате, как мы видим, не участвуе~. й 7. Симметрический аффинор хйх' = х'р(х. (7.)) Другими словами, скалярное произведение одного вектора на функцию Й от другого вектора не меняется прн перестановке этих векторов межлу собой.
(!еобкодимым и достаточным признаком симметричности аффинора слуасит симметричность матрицза гго координат, В самою деле, Для приложений тензорного исчисления исключительно важную роль играет понятие симметрического аффинора. Аффинор зг! называется симметрическим, если длн любых двух векторов х, х' имеет место соотношение СИММЕТРИЧЕСКИЙ АФЭИНОР й 7) пусть аффинор Я симметрический. Согласно (3.9) а = — еЯе, а =еЯе, (7.2) а в си.чу симметричности аффинора правые части равны и, следовательно, а .=-а (7.3) т. е. матрица координат аффинора симметрическая.
Обратно, пусть соблюдаются соотношения (?.3). Тогда в силу формул (7,2) получаем: ейе =-еЯе. (7,4) Тем самым соотношение (7.1) проверено лля ортов. Но тогда оно будет справедливым и для любых двух векторов х, х'. Чтобы убелиться в этом, достаточно помножить равенстно (7.4) почленно на х х (где х — координаты х, а х, — координаты х') и просуммировать почлейно по р и д. Так как ~~р~хче = х', ч ~~.',х е =-х, н то в результате мы получим соотношение (7.1). Важнейшее свойство симметрического аффинора — наличие у него трех взаимно ортогональных собственных направлений. Вообще собственным направлением аффинора Я (не обязательно симметрического) называется направление, все векторы которого х при действии на них аффинора Я умножаются на некоторое число Л; Ях = Лх.
(7.5) у =Лх (р=-1, 2, 3). Для того чтобы направление было собственным, достаточно, чтобы хоть один его вектор х обладал свойством (?.5); тогда и все векторы этого направления обладают этии свойством, причем Л имеет для всех них одно и то же значение. Для проверки этого достаточно умножить (7.5) почленно на произвольное число а ~ 0 и внести а в левой части равенства под знак Я. Тогда оказывается, что вектор их, т. е.
любой вектор, коллинеарный с х, также обладает свойством (7.5). Число и могкет быть и отрицательным: собственное направление всегда рассматривается с точностью до замены на обратное. Коэффициент Л называется собственным значением аффинора Я для данного собственного направления. Запишем условие (7.5) в координатах, обозначая через у координаты Ях; Р 36 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛНДОВОЫ ПРОСТРАНС'!'ВЕ [ГЛ. ! Пользуясь формулами (3,13], получим: '~' а х = )х (р = 1, 2, 3). (7.6) Выписывая каждое нз трех равенств отдельно в развернутом виде н перенося все члены налево, получим: (а„— 7)х,+ ад,х,+ а,эх,=О, ат,хд+(а„— ))хз+ аэьхэ=О (? 7) а х + а х +(а — )с)х =О.
Для отыскания собственных направлений и собственных значений достаточно решить эту систему относительно неизвестных ?с, х„х„х,. При этом х„хз, хэ не должны одновременно обращаться в нуль (иначе вектор не укажет направления!) и ищутся онн, как вытекает и из смысла задачи и из однородного характера уравнений (7.6), с точностью до умножения на общий множитель, Чтобы система линейных однородных уравнений (7.7) относительно к,, хз, ха имела ненУлевое Решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулен (т а а„адэ а — ) а, а„а, — 7 (7.8) аад Таким образом, чтобы удовлетворить системе (7.7), необходимо брать в качестве ) корень кубического уравнения (7.8) (которое называется характеристическим уравнением аффинора Я). Обратно, если в качестве ?д взят корень уравнении (7.8), то система (7.?) имеет ненулевое решение х,, х,, х .
Однако это не всегда означает отыскание собственного направления, так как взятый нами корень А может оказаться комплексным. До сих пор мы говорили о произвольном аффиноре 8(. ?еперь предположим, что он симметрический, а следовательно, (7.9) Р'Г ЯР' В этом случае все три корня уравнения (7.8) обязательно веидественные. Действительно, возьмем какой-нибудь корень ), уравнения (7.8), подставим его в систему (7.7) и найдем ненулевые х,,х,,хе, удовлетворягощие (?,7), а следовательно, н (7.6), При этом мы не предрешаем вопроса, будут ли значеиня ),х,,х,ха вещественными или существенно комплексными. Во всяком случае мы не ошибемся, считая нх комплексиымн, так как вещес!Еенные числа есть частный случай комплексных.
симметгический АФФиног 7) Уиножим обе части равенства (7.6) на хр, где хр комплексно сопря кено с х , и просуммируем почленно по р = 1, 2, 3, Получим: ;«~'„5',а ах,х,=-Х~х х„. (7.10) Произведения вида х х,— вещественные (и даже неотрицательные) числа. Поэтому те члены суммы в левой части, для которых р=д, будут вещественными. Те же члены, для которых р~д, чы будем рассматривать попарно, объединяя, например, члены с р = 1, д = 2 и с р = 2, а =- 1. Получим (пользуясь затем (7.9)). а „х,х, + а„х,х, = а„(х,х, + х,хт).
Выражение в скобках есть сумма двух комплексно сопряженных чисел, н следовательно, число вещественное. Тем самым левая часть (7.10) есть число вещественное, равно как и коэффициент при Х в правой части (который, кроме того, не равен нулю, так как х не обращаются в нуль одновременно). Отсюда и Х всегда оказывается числом вещее~асиным, а следовательно, ему отвечает определяемое из (7.7) собственное направление нашего симметрического аффииора Я, для которого Х, таким образом, является собственным значением, Теперь мы можем показать существование трех взаимно ортогональных собственных направ.лений. Возьмем какой-нибудь корень ), уравнения (7.8) и отвечающее ему собственное направление, представленное, например, единичным вектором е,.
Таким образом, Яе, = ь,е,. (7.11) Рассмотрим плоскость Е,, ортогональную к е,, Мы утверждаем, что аскеры этой плоскости под действием аффииора Я переходят в векторы этой же плоскости. В самом деле, пусть х †вект плоскости Ез, так что х ) е,: е,х=О.
(7. 12) Умножая скалярно обе части равенства (7.11) на х, получим: хЯе, = Хте,х = О, Пользуясь свойством (7.1), можем переписать это в виде е,в(х. О. (7. 13) Другими словами, Ях ортогонален к е, и, следовательно, тоже принадлежит плоскости Е, (точнее, может быть в ней отложен). Мы можем теперь рассматривать наш симметрический аффинор р1 на плоскости Еа, поскольку он переводит векторы этой плоскости в векторы этой же плоскости. Вводим на плоскости Е прямоуголь- 38 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (Гг!.
! ные декартовы координаты и ищем собственные направления н сооственные значения аффинора Я совершенно так же, как и ранее с тем лишь упрощением, что вместо трехмерного пространства у нас будет двумерное, и вместо трех координат х„ х„ х будут лишь две х,,х,. Матрица координат зффинора Я будет иметь теперь вид а вместо уравнения (7.8) мы получим: а„— )с а„ Мы снова обнаружим наличие собственного направления, которое зададим некоторым единичным вектором е,; соответствующее собственноезначение обозначим)са.
Так как е, принадлежитЕ, то е, ) е,. Наконец, построим единичный вектор е,„ортогональный и к е„ и к етч Так как нз (7,12) следуе~ (7.13), то Яе, тоже будет ортогонален к е, и аналогично к е,. Другими словами, Яе, оказывается коллинеарным е„ а следовательно, определяет собственное направление. Соответствующее собственное значение обозначим )з.
Итак, р нас построены три взаимно ортогональных собсзвенныл напРавлениЯ е„ е„ е, с собственными значениЯми ),т, ).з, Аа. Яе, = )!те„ Яе, =)сае„р(е,. = 7 аез. (7.14) Возникает вопрос, почему мы не построили сразу всех этих собственных направлений, используя поочередно все три корня уравнения (7.8) (подобно тому как мы построили е„ используя корень 7.
). И действительно, это было бы самым простым способом доказательства, но лишь для случая различных корней уравнения (?.8). Для случаи же, когда два или даже все трн корня равны между собой, этот способ не годится. Поэтому мы пошли другим путем, пригодным во всех случаях. Мы уже давали (й 3) истолкование аффинора как центроаффинного преобразования пространства. В случае симметрического аффинора это истолкование принимает особенно простой вид, а именно, так как Векторы е„ е„ е, взаимно ортогональны, то согласно (7.14) симметрический зффинор производит растяжение (сжатие) пространства по трем взаимно ортогональным направлениям в отношениях х,. Л„), Примем е, е, е., за орты новой координатной системы. Тогда каждан точка с координатами (х„х„х,) переходит, очевидно, симметрический аяяинор б 71 а а зз пув пзв а зз пзз пзз )в 0 0 =О)с,О оо), (7.15) Отсюда координатная запись аффинора (3.!3) принимает вид У„= ~~'„ар„хв =- ) рх„, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
