1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 9
Текст из файла (страница 9)
собственные направлекия аффинора Е + е!л) совпадают с собственными направлениями аффинора 8), и соответствующие собствепкые значения равны 1+ в)!Т, 1 + ВЛ„1+ е)! . Таковы булут коэффициенты бесконечно малого растяжения (сжатия), производимого аффинором Е-(-ЕВ по трем взаимно ортогональным собственным направлениям. Теперь рассмотрим противоположныЙ частный случай, котла в (8.7) отсутствует Ж, так что реч ° идет об аффиноре Е+ е(А, где (А кососимметричен Согласно (5.6) для любого х тех = [цх[, где и — некоторый постоянный вектор. Следовательно, (Е+е1а)х=х+е [их[. (8.11) Легко заметить, что соответствующее цсптроаффинное преобразовзние х — (Е+е(т) х =: х+е [цх[ (8.1'2) означает поворот около оси, проходящей через О и направленной по ц, ка беоконечно малый угол в[ ц 1 В самом деле, рассмотрим вращение пространства как твердого тела около точки О с постоянш !м вектором угловой скорое~и и.
Это значит, что вращение совершается вокруг оси, направленной по и, причем за единицу времени происходвт поворот на угол ~ и[ (против часовой стрелки, если смотреть от конца к началу вектора и), Как иавестно из кинематики твердого тела, линейная скорость дан!кения каждой точки М выра!кается при этом вектором ч =- [цх[, где х = ОМ вЂ” радиус-вектор точки М. За бесконечно малый промежуток времени в точка М смести~си на вектор еч = е [цх1, если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка.
Следовательно, радиус-вектор смещенной точки М' будет; ОМ'=х+зт=-х+е [их[=- (Е-', е(1) х. Итак, переход ОМ вЂ” ОМ', 45 РАЗЛОЖЕНИЕ АФФИНОРА й 8) нлн, что ТО же а на полученный вектор подействуем аффннором Е+егч. Получим: (Е+ еьь) (Е+ еа) х = х + егьх + ех)х + е%9х. Пос.чедний член мы отбросим, пренебрегая бесконечно малыми 2-го порядка, и, пользуясь (8.8), получим окончательно: (Е+ е44) (Е+ еМО) х (Е+ ее() х. (8.14) Этот результат показывает, что если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка, аффинор Е+ ег( представляет собой результат наложения аффиноров Е+езг и Е+е(А, т.
е. бесконечно малой чистой деформации и бесконечно малого лоеорота. Изменение формы и размеров тел происходит при этом за счет чистой деформации; прн повороте, Онн, конечно, не меняются. Заметим, что и пронзнольный аффинор (а не только вида Е+еВ) можно свести к последовательному выполнению чистой деформации и поворота, н притом совершенно точным образом. Однако доказательство в этом случзе будет значительно сложнее, а чистая деформапия и поворот уже не отвечают симметрической и кососимметрической частям рассмзтриваемого аффинора.
Лля дальнейшего нам будет необходим коэффициент объемного рас~нирения (6,14) в случае бесконечно малого центроаффинного преобразования у = (Е+ езгг) х. Согласно (6,14) в нашем случае мы получим: 17 р — — Пег~ 5гт+ Еау ~ =- 1+ гаы еаза еатз еа„1 + еаз, еа,з еазт е'ззз 1+ еазз 1+ е (азд+ а,з+ а„). (8.15) Здесь прн раскрытии определителя мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка. Мы видим, что коэффициент объемного расширения отли шегся от 1 на след аффинора Й, умноженный на г.
х — (Е+еб) х, (8.! 3) означает поворот пространства аа бесконечно малое время е при векторе угловой скорости ц (коорлинаты которого определяются согласно (5.3) или (5.7)). Угол этого бесконечно малого поворота равен, очевидно, е ~ ц(. Этим наше утверждение доказано. Рассмотрим, наконец, общий случай аффинора (8.7). Подействуем на произвольный вектор х сначала аффинором Е+е6 (Е+ е8)) х = х+еязх, 46 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ИРОСТРАНСТВР [ГЛ, ! 9 9. Теызорные поля Начиная с этого параграфа, мы переходим из области тензорной алгебры в область тензорного анализа, но по-прежнему в самом простом частном случае: рзссматриваем трехмерное евклидово пространство и притом в прямоугольных декартовых координатах.
Следует предупредить читателя, что узость нашей точки зрения гораздо более резко будет сказываться после этого перехода. Если о тензорной алгебре и можно составить себе некоторое представление по предыдущим параграфам, то тензорный анализ в широком смысле слона при на|нем подходе настолько упрощается, что теряет почти все свое содержзнне. Смысл перехода от тензорной алгебры к тензорному анализу заключается в том, что вместо отдельных тензоров мы будем рассматривать тензорныс поля, в связи с чем гоявляется дифференцирование тензоров.
Мы говорили что нам дано тензорное поле, если в каждой точке М пространства задан некоторый тензор постоянной валентности, но в остальнолц вообще говоря, меняющийся от точки к точке. Этот тензор мы будем называть тензором поля. Он задается, следовательно, как функции точки М, причем его валснтность остается постоянной, например, 3-й: агии ='Мне (Л'1).
(9. 1) Эту формулу нузкно понимать в том смысле, что координаты тензора зависят от выбора то ~хи М (и, разумеетси, от Выбора координатной системы, преобразуясь по обычному тензорному закону). Если мы рассматриваем тензорное поле в опредеяенной координатной системе, то точкз М характеризуется своими координатами х„ х, хз, и фориула (9.1) принимает вид анцц = аццц (хт, хг хз), (9.2) т.
е. координаты тензора заданы как функции координат точки М. Мы будем предполагать, что финкции (9.2) непрерывно дифференцируемы столько раз, сколько нам будем нужно. Тензорное поле может быть задано и не во всем пространстве, а лишь в некоторой его облзсти ьг. Это значит, что тензор поля (9.1) определен как функция точки М для всевозможных положений точки М лишь В некоторой области гг (а не во всем пространстве). Рассмотрим простейшие частные случаи тензорных полей. Тензорное поле нулевой валентности называется иначе скалярным полем.
Так как тензор нулевой взлентностн есть инвариант, то скалярное поле означает задание в каькдой точке М некоторой области О определенного числа а: и = а (М), (9. 3) тензогные поля причем а(М) зависит только от выбора точки М, но не зависит от выбора координатной системы. Если зависимость (9.3) записывается в определенной координатной системе, то она принимает вид и = и (лт ля лз). (9.4) Примеры скалярных полей: температура неравномерно нагретого тела, имеющая свое значение в каждой его точке; потенциал электростатического поля как функция точки; плотность неоднородного тела, в каждой его точке имеющая свое значение; давление в газовой среде, меняющееся, вообще говоря, от точки к точке, и т.
п. Рассмотрим теперь одновалентное тензорное поле а, = а,(М). (9.5) Мы знаем, что координаты олновалентного тензора а; всегда можно истолковать как координаты некоторого инвариантно~о вектора а, причем а = ~ч~ра,.ег Поэтому задать поле одновалентного тензора (9.5) все равно, что указать в каждой точке М определенный вектор а =- ~Р ~а, (Л4) е; = а (М), (9.5) т. е. все равно, что задать векторное поле Примеры векторных полей: вектор электрического или магнитного поля; вектор скорости движения жидкой или газовой среды, имеющий в каждой ее точке свое значение; вектор плотности электрического тока в массивном проводнике и т.
п. О двухвалентных и т. д. теизорных полях мы будем говорить позже. Настоящий смысл тепзорного исчисления заключается, конечно, в изучении тензорных полей, и для приложений нужны, как правило, именно тензорные поля, а не отдельные тензоры. Поэтому на тензорную алгебру, изложенную в Я 4, 5, где рассмзтривались операции над отдельными тензорами, следует смогреть как на необходимый подготовительный материал, а именно, все операции, устаяовленные там для отдельных тензоров, автоматически переносятся и на тензорные поля, если подразумевать, что эти операции производятся над тензорами поля в каждой точке М области П. Так, например, сложение тепзоров лвух полей одинаковой валентности аг =- аг (М), Ь; „=Ьг (М) 48 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛНДОВОЫ ПРОСТРЛНСТВЕ (Г.Ч,! означае~ построение нового тензорного поля с,"„(М) == ог (М)+Ь,"„(М) пУтем сложеннв чензоРОВ а, а и Ьг „и каждой точке М области (2. Аналогично и перемножение тензоров двух полей, например, аоч(М) и Ь, (М), означае~ построение нового тензорного поля сбы„(М) =- а „~ (М) Ьсм (М) ('З.8) пУтем пеРемножениЯ тензоРов агя и Ь,„в каждой точке М области Я.
Аналогично операции свертывания и подстановки инлексов производятся над тензором поля в каждой точке М области (2. Но помимо алгебраических операций над тензорами поля можно производить еще операцию дифференцирования, которая и определяет лицо тензорного анализа.
$ 10. дифференцирование тензора поля Рассмотрим какое-нибудь тензорное поле, для примера, трехвалентное: аг,„=а, „(М)=а;,. (х,, х,, х ). (1О. 1) Нас интересует вопрос (действительно очень важный для приложений): как меняется наш тензор от точки к точке в бесконечно малой окрестности данной точки М(х,, х, хз). Для этой цели мы смещаемся из точки М в произвольную бесконечно близкую точку тИ'. Говоря более точно, это бесконечно малое смещение состоит и гом, что мы двпж мся по некоторой параметрнческп заданной кривой х, =-.х,(С), ха= — х,(г), х,=-=х,(2), (10.2) причем при данном значении Г мы находимся в М, а прп бесконечно близком значении г +ЛГ попадаем в беслонечно близкую точку Л)', Все дифференциалы, которые мы будем выписывать, предполагаются взятыми по отношению к аргументу Г.
Функции х, (2) мы считаем, конечно, непрерывно гшфференцируемымн. Радиус-вектор ОМ точки ЕИ в силу (!0.2) выражается формулой 10) ЛИФФеРенпнРОВАНПР тензОРА поля 49 а его дифференпиал, который дзег главную линейную часть вектора смешения МЯ' н который мы будем обозначать дМ, имеет внд ттМ =.Р«»тлхт(1) е, ЯЯ'. (10А) координаты тензорн а, ь пспытыватот преобразование 0» а„„= ~~ ~~~,'~ А тА А, а т т (10,7) дифференцируя почленно, получим: т(а „, = ~, ~ .«, А,АЛ А, т!от „, / (10.8) так как А т от выбора точки Я не зависят и при переходе от М к Я' ведут себя как посжтянные. Таким образом, для да.ь также ил»еет место тензориый закон »ть преобразования, Как видно пз формулы (10.5), дли хара«гтеристпки иаменения тензора айл от точки Я к любой бесконечно близкой точке М' дат в нужно знать частные производные — от координат тензора а 1ть по координатзм точки Ат.'(х,, х„ха).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
