1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. мы снова получим (7.15). Если )ы 7в, )з все различны, то аффинор не имеет собственных направлений кроме трех найденных. Действительно, из формул (7.1о) легко следует, что всякий вектор, не направленный по одной из осей, под действием аффинора уклоняется в сторону от своего первоначального направления. Если )вв =- )вз ~ )зз, то всякий вектор в плоскости Х,Х, (т. е. при х, = О) под действием аффинора, как видно из (7.15), умно>кается на 3 ( = ),, =- ).,): У1 = ) хз, Ув = 7"хв Уз = О. (7.17) Поэтому двойному собственному значению л(= в.в = )в ) будет отве- чать целая собственная плоскость Х,Х„ любое направление которой будет собственным, Направления, не принадлежащие ни этой плоскости, ии оси Х'„, очевилно, собственными быть не могут, Если л, =)в=)сз =)», то (7.15) принимаю~ вид уз =" )~хо ув = )вхз уз =- )хз.
т. е. лля любого вектора х Йх =-7х, и аффинор ЯХ вообще сводится к умножению на данное число 7. Любое направление являезся собственным. в точку (у„у„у,) по формулам: Уз = )"тхз Уз = )вхз Уз = "зхв. (7. 15) Если среди 7.в, ).в, )вз нет нулей, то получающееся таким образом специального вида центроаффинное преобразование пространства называется чистоа деформацией. При отрицательном знаке, например у )в„ в растяжение (сжатие) по оси Х, нужно включить и ее «перепрокидывание» в обратную сторону (т.
е. зеркальное отражение пространства относительно плоскости Х,Х,.), В случае, когда, например, )вв = О, преобразование (7.15) вырождается: все точки пространства переходят в точки плоскости Х,Х,. Строго формально соотношения (7.!5) можно получить так. Сравнивая (7.14) с (3.7), мы видим, что в новой коорлинатной системе координаты нашего аффинора имеют вид 40 ТЕНЗОРЫ В ТРЬХМЕРНОИ ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ, ! Мы разобрали все возможные случаи расположения собственных направлений.
Нам нужно показать, наконец, что корни уравнения (7.8) (с учетом их кратности) совпадают с на<ними собственными значениями )<т, )<ю Ха. Прежде всего в осих Х„ Х„ Х„ уравнение (7.8) принимает вид (согласно (7.16)): Л,— 7. О О О Лз — А О --. О О О Аа — а откуда, действительно, видно, что в этом случае его корни совпадают с собственными значениями ).ы ).а, )<а, а так как коэффициенты уравнения (7.8) суть инварианты преобразования координатной системы (см. (6.18)), то корни этого уравнения суть тоже инварианты и, следовательно, вычисленные в любых координатных осях дан<< наши собственные значения )ы "г,, !<а.
П р и и е р. Танзер моментов инерции. Дано твердое тело, враща<ощееся около закрепленной точки О. Эту точку мы примем за начало координат. Будем для простоты записи считать, что тело состоит из конечного числа и материальных точек, жестко скрепленных между собой. Массы этих точек обозначим еп', ем', .,.,е'"', а координаты их (в данный момент) через х~'~, х! ~,..., х<тп (< =1, 2, 8). Составим матрицу а. = —,",", е<а!л!"'х<,"'+ 8. ~ е<'<х<а!'.
а=1 а=! (7.1Ч! Нетрудно убедиться, что эта матрица, построенная в любой координатной системе, дает координаты одного и того же симметрического тензора. В самом деле, в первом слагаемом прн умножении тензора х) ~ на АЗВ~ (т. е. на себя) получается симметрический двухвалентный тензор; дальнейшее умножение на инвариан~ е<а< и сложение полученных результатов дают тензор той же валентности.
Второе слагаемое ПРедставлЯет собой единичный тензоР ббч Умноженный на ПНВПРИаит; ДЕйСтВИтЕЛЬНО, КаК Е<а<, таК И <ар <а), <ар, <ай (7.8 П т, е. квадрат расстояния данной точки от начала О, суть инварианты преобразования координатной системы. Полученный симметрический тепзор ПО называется тснао<том молентоа имер«ии данного твердого тела. Физический смысл этого тенаора следующий. Пусть через точку О проведена некоторая ось с единичным направляющим вектором 1 (<„lя, !В).
Вычислим инва- Рлзло(кение Авеинога рнант ~ ~„ За, цр полученный в результате полного свертывания т тензора а; с двая(ды нзятым тензорон 1,: ~ч(';~;а;,Цу=-"- У т( >'~,х(,."7, ~",х(г((17+оп~~'~',6(12 ~~ ьч(ьчк(и( ° л=! Так как 6(.= ), то ~(~(6(71(1 =-1г+(,+7,=1; кр!»(е ) 0 ((' че. у ) ' того. мтнх( 1(=х(ю1, и мь! получаем: (щ я ~ч', ~ч', а 2,2. =- ~ л((а( ( — (х(со1)'+ х(а(*). (7,21) Выражение, стоящее в фигурных скобках, дает квадрат расс~ояния гочки с массой л(К!( до выбранной нами оси, и мы получаем момент инерции относительно этой оси. Момент инерции динного твердого тела относительно произвольной оси вращения, проходящей через точку О, получается путем свертывания тензора л(омента инерции с дважды взятым тензорам 1( (направляющие косинусы оои), Собственные направления аффинора (2( с координатами а,, параллельны так называеиым главным осям инерции.
(/ В них тензор ьючентов пнерпни принимает вид (7.16). 6 8. Разложение аффинора на симметрическую и кососимметрическую части Рассмотрим произвольный аффинор у = 8(х. (8.1) Соответствующая координатная запись имеег вид (3.13): уз Х птахе' (8.2) Здесь а — координаты аффннора, образующие двухвалены(ый Рт тепзор. В правой части (8.2) пропсхолит тензорная операция умножения этого тснзора на тензор х с последующим свертыванием по двум последним индексам. В результате получается снова тензор, именно, у . Мы хотим теперь летальнее представить себе струкгуру аффинора Я, разложив его на симметрическую и кососииметрическую части, Для этой цели произведем альтернацию над тензором а(, т.
е. составим новый тензор г," согласно (6А): 17 1 г(т.— — — а((й = 2- (а(,—.аж). (8.3) С другой стороны, составим новый тензор Ьт, беря в формуле (8,3) полусумму вместо полуразности; ! Ь;;= аир= — (агу+ р). (8. 4) Здесь аы есть сокращенное обозначение лля выражения в правой ! части. ОпеРациЯ составлениЯ тензоРа аир — — 2(ад+ар) называетсЯ симметрированием тензора а;. по его индексам (, у (аналогично ! тому как операция составления тензора апт! =- — (ат — а т) называется альтгрнаиигй тензора агу по его индексам (, /).
В обозначениях различие состоит в том, что снмметрируемые индексы заключаются в круглые скобки, в то время как альтернируемые — в прямые скобки. То, что операция (8.4) приводит действительно к тензору, видно из того, что она сводится (не считая деления на 2) к операции сложения лвух тензоров, причем второй из них образован из первого также тензорной операцией †подстановк индексов.
Очевидно, тепзор Ьт булет сииметрическим, а сг — кососнмметрическим: ЬИ вЂ” — -Ь,.;, с, = — гтн Складывая тензоры (8.3) и (8.4) почленно, мы вилим, что первоначальный тензор а; можно представить в виде а;.=Ь; +с;-. (8.5) Итак, любой двухеалентный тгнзор а!. можно разложить на сумму симметрического тгнзора Ь, и косогимметричгского тензора ст Такого рода разложенйе будет единственным.
В самом леле, симметрнруя какое. либо разложение вила (8,5) почленпо, мы получаем, что Ьт обязательно выражается формулой (8.4), а альтернируя его, видим, по с; выражается формулой (8.3). Обозначим теперь аффиноры, координатами которых служит Ь.. ь/ и с ., соответственно через 6 и (Х. Тогла (8.5) можно переписать И в виде Я = З -(- 5 или Ях =- Фх ла (ух. (8.6) Итак, любой аффинор 8( разлагается на сумму симметрического аффинора х), выражающего чистую леформацню пространства (8?), и кососимметрического аффинора ьь (8 5), сволящегося к векторному умножению вектора аргумента х на некоторый постоянный вектор».
42 ткнзогы в текхмьеном евклидовом пгостелнстве (гл. ~ й 81 Ркзложьнне леьнногл Разложение (8 6) играет особенно важную роль в одном частном случае, а именно, когда расематриваетвл аффикор, бесконечно мало отличааи)ийсл от единичного. Будем рассматривать аффинор Е+ее(, где Š— единичный аффинор (5 3), 8( — произвольный аффинор, а е — бесконечно малый множитель. Разумеется, аффинор Е+ ее( будет переменным и стремится к единичному аффннору Е как к своему пределу при е- О.
Переход к пределу для аффинора можно определить, чтобы не вдаваться в излишние подробности, хотя бы как переход к пределу для каждой из его координат. Важное значение аффинора вила Е+ еЛ выяснится несколько позже. Разложим аффннор Я на симметрический и кососимметрическнй аффиноры согласно (8.6). Тогда Е+ ей == Е+ вВ+ вСь, (8.7) и соответствующее центроаффинное преобразование запишется в виде у =-(Е+е1г() х == х+в)Вх+ечтх, (8.8) где х — произвольный вектор. Ввиду того что рассматриваемый аффинор бесконечно близок к единичному, формула (8.8) определяет бесконечно малое центроаффинпое преобразование пространства (если понимать под х, как мы это ранее и делали, радиус-вектор произвольной точки пространства). Рассмотрим сначала частный случай, когда в (8.7) отсутствует (т, так что речь нлет об аффнноре Е+еЗ.
Вместе с Е и З этот аффинор будет симметрическим н, следовательно, дает чистую деформацию пространства, т, е. его растяжение (сжатие) по трем взаимно ортогональным направлениям. Координаты аффинора Е+з8), очевидно, равны бгу-~-еЬ;Р т. е. в подробной матричной записи имеют нид 1+ еЬ„еЬ . еЬ, еЬ„! + еЬз, еЬев еЬ„еб,г 1+ еЬ„ (8.9) (Е+ед))х=ЕХ+ед)х=х+еХ х=(1+еХд)х.
(8.10) Чтобы найти собственные направления н собственные значения для аффинора Е+ ех), достаточно найти их для аффинора д). В самом леле, пусть Х„ т', г.в †собственн значения 5 и пусть х— вектор, идущий по одному пз собственных направлений, например, первому. Тогда 44 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ ! Слеловательно, направление х будет собственным и для Š†, е9 и притом с собственным значением 1 + Р), Итак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
