1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(4.15) В процессе суимнровання по / н л можно сохранить лишь члены, для которых 7'= Ф; остальные члены согласно (4.14) обратятся в нуль. Обозначим общее значение индексов 7' н й через 1; прн этом бра=.бы= 1, н (4.15) принимает внд а ~~А а ~чРАр а (4.16) (4. 17) Тензорный характер результата доказывается совершенно так же, как н выше. Валентность свернутого тензора на две единицы ниже, чем у исходного. Повторяя свертыванне достаточное число раз, причем вален~- ность снижается каждый раз на 2, мы в случае тензора четной валентности прнходнм в конце концов к тензору нулевой валентности, т. е.
к ннварнанту. Таким образом свертывание есть важный нсточннк получения ннварнантов рассиатрнваемых геометрических н физических объектов. Так, для аффннора Й с коордннатамн ау можно составить путем свертывания важный инвариант =Х „, (4.18) который называется следом этого аффннора, Мы воспользовались здесь фориулой (4.10). Этим доказан тензорный закон преобразования чисел а,, так что онн действительно определяют одновалентный тензор. Совершенно так же производится свертыванне двух произвольно нзбрацных индексов в любом тензоре.
Напрнмер, свернуть 2-й н 4-й нндекс в тензоре а ы значит составить новый тензор следующим образом: ф Ц многозхлвнтные ганзены, тснзогнья Алгььгх для двухвалентного тензора (2.6) аы=х;у, †координа двух произвольных векторов, свертывание дает инвариант а = ~л.", аа --= мах~У, = хгУг -г хаУг+ хзУз = хУ. (4.19) ! 1 Мы видим, что этот инвариант есть скалярное произведение векторов х, у, которое по своему геометрическому смыслу действительно не зависит от выбора координатной системы (а зависит лишь от самих векторов х, у). Этот пример проливает свет на механизм операции свертывания. Она протекает и в общем случае как бы по образцу составления скалярного произведения из попарных произведений координат х,ум н с этим связан ее инвариантный характер.
Очень часто, как и в приведенном примере, свертываемый тензор предварительно получен перемножением двух или нескольких тензоров. В таком случае мы будем кратко говорить, что один тензор свертывается с другим нли с другими, подразумевал, что предварительно составляется произведение этих тензоров, В нашем примере: тензор х, свертывается с тензором уж 4', Подстановка индексов, Еще одна травиальная, но имеющая большое значение операция иад тензорами, может быть названа подстановкой мндексоа. Она заключается в том, что нз тензора, например агуы составляется новый тензор Ьг» той же валентности и даже с теми же координатами, но с иной йумерацией этих координат, Например, координата, которая раньше была занумерована индексами г, у, Й (индекс г †перв, г' †втор, Ь вЂ трет), теперь нумеруется теми же индексами, но в другом порядке, например, /, Ь, Ь (индекс у — первый, Ь вЂ” второй, ( — третий).
Получающийся в результате новый тензор определяется, очевидно, формулой Ьды — — аПР (4.20) То, что Ь ; представляет собой действительно тензор, т. е. тоже подчиняется тензорному закону преобразования, проверяется очевидным образом. Не следует думать, что операция подстановки индексов ничего не изменяет, и мы получаем «прежний тензор». В определение тензора входит нумерация его координат при помощи значений первого, второго и т.
д. его индексов. Поэтому изменение этой нумерации есть изменение и самого тензора. Р азумеется, аналогичным образом можно производить любую по с дстановку индексов над тензором любой валентности, 26 тензОРы В тРехмеРном еВклндОВОм пРООТРАггсгяе [Гл. г й 5.
Кососимметрические тензоры Свертывание не есть единственный источник получения инвариантов данного тензора. В этом параграфе мы встретимся с другим важным способом; но предварительно нам нужно познакомиться с кососимметрическимн тензорами. Тензор называется кососимиетринеским, если ггри транспозиции (перестановке) любых двух индексов у любой его координаты она лгеняет знак, Рассмотрим прежде всего двухвалентный кососимметрнческнй тензор с, Согласно сказанному он характеризуется свойством с;= — с; (г,у=1,2,3). (5.1) В частности, если г=)', мы получаем: си — — О, (5.2) си = — си, откуда Двухвалентный кососимметрнческнй тензор называется кратко бивекторолг.
Будем считать, что мы находимся в правой координатной системе. Тогда, обозначая и, =- — сзз из = — сзз из = сгз (5.3) сы сгз сгз г[г [[ О, — из, из! с„с„с,з = ~[ и„О, — иг сзг сзз сзз[[ г[ из иг, О (5.4) Как мы знаем Я 3), всякому двухвалентнолгу тензору, в частностг, нашелгу бивектору с;, отвечает некоторый аффинор с тезги же координатами. Обозначим этот аффинор через ез и выясним его характер. Для этой цели используем координатную запись аффинора (3.13), которая в нашем случае дает: у =.~~„',с кз, илн в подробной записи прн р = 1, 2, 3 уг = — кзиз+ кзиз у- "": — зи ° (5.5) Мы замечаем, что вектор у = (дх есть не что иное, как векторное произведение и на х, если обозначить через и вектор с коор- и принимая во внимание (5.1) и (5.2), мы можелг составить матрицу координат нашего бивектора: кососимметРические тензоРы дннатами ит, иы иа Итак, (ух = [пх1.
(5.6) Из этой записи видно, в частности, что вектор и будет вполне опрелеленным независимо от выбора координатной системы, В самом деле, если бы ои мог меняться, то менялась бы и зависимость вектора у от х, что невозможно, так как мы рассматриваем некоторый вполне определенный аффинор (г. Таким образом, аффинор (г, отвечающий бивектору с;, сводится к векторному умножению некоторого поотоянного вектора и на вектор-аргумент х, При этом в правых координатньгх системах координаты бивектора с и вектора п связаны формулами (5.3). В левых координатных системах, напротив, полагаем и1 = сяг ия = с21 иг = с12. (5.7) Тогда в правых частях (5.5) тоже нужно изменить знаки на обратные; мы получаем запись (по-прежнему правого) векторного произведения [пх) в левой сис~еме н снова перехолим к (5.6).
Переходим к трехвалентному кососимметрическому тензору, который носит название тривектора. Обозначим его коорлинаты с;». Для любых двух его инлексов, например 2-го и З-го, имеет место соотношение с; =- — сы. (5.8) Если среди его индексов есть хотя бы два одинаковых, например 2-й и З-й, то (5.8) принимает вил с; у - — с; ., откуда су —— О. (5.9) Итак, если мы хотим рассматривать отличные от нуля координаты тривектора, то дол1кны брать все три индекса различными, т.
е. придать им значения 1, 2, 3. Получим шесть следующих координат тривектора: с122 = с121 с 212 " с112 — с211 = с121, (5. 1О) Знаки равенства пас~валены на основании (5.8) и аналогичных соотношений для лкубой пары индексов. Так, например, чтобы проверить первый знак равенства, достаточно в с,.„переставнть 1-й и 2-индексы, а у полученной координаты переставить 2-й и 3-й ннлексы, При двойной транспозипии дважды меняется знак, и полученная в итоге коорлината смп равна ст„. Нетрудно заметить, что общий смысл (5.10) состоит в том, что при четной подстановке индексов координата тривектора не меняется, а при нечетной †меня только знак. В результате у тривектора имеется лишь одна, как говорят, существеннан коордннзта, напрнмер, сыг, Остальные координаты 23 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНО!! ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ,! или равны ей, или о~личаются от нее только знаком, или, наконец, равны нулю.
Пусть х, у, г †т произвольных вектора, х , у, е, — их координаты. Подсчитаем инвариант, полученный путем полного свертывания тензоров с;.Во х„ую еь: 7=- Р ~~~',с; хдУугь. (5.11) ! ь Сумма в правой части формально содержит 27 членов, но большинство членов равно нулю в силу (5,9), Остается лишь шесть членов, не равных нулю, а именно, те, для которых индексы д, /, й все различны (и представляют собой, следовательно, некоторую подстановку из 1, 2, 3). Эти члены имеют коэффипиенты с;ь, выражающиеся через с„, согласно (5.10). Выписывая теперь (5.11) в развернутом виде, получим окончательно: 7 =- сыз (хдузгд+ хзузгд + хзудез — хзудгз — хзУдгд — хдУзгд) =- х, х, хз ~ с„з (хуг) (в правой системе), Уд Уз Уз (5.12) гд юз ез ~ — сдзз (хуг) (в левой системе). Мы использовали то обстоятельство, что полученный определитель выражает смешанное произведение (хуг) в правой координатной системе н отличается от этого произведения лишь знаком в левой координатной системе (само смешанное произведение трех векторов мы берем всегда правое).
Из полученного результата вытекае~, в частности, что ! сд.„=- — (в правой системе), ~ (5.1 3) сыз = — — — — (в левой системе). хуг Мы предполагаем здесь, что хуг Ф О, Так как 7 и хуг инвариантны, то сдтм сохраняет одно и то же численное значение во всех правых системах и одно и то же численное значение во всех левых системах, причем эти два значения отличаются только знаком. Величина, обладающая таким свойством, называется относительным инвариантом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
