1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Конформное соответствие римановых пространств...... 602 4 !22. Конформно евклидовы пространства ............ 609 Г л а в а Х. Математические основы общей теории относительности 615 $ !23. Пространство событий в общей теории относительности ., „6!5 й !24. Локально галилеевы координаты ..............
618 $ !25. Тензор энергии-импульса в обшей теории относительности .. 621 $126. Движение частицы в поле тяготения ....,....., . 625 4 127. Основная идея общей теории относительности........ 629 4 128. Приближенная теория . 632 4 129. Центрально симметрическое поле тяготения......... 639 4 130. Центрально симметрическое поле тяготения (окончание)... 644 й 131. Геодезические линии в случае центрально симметрического поля тяготения . 647 4 !32. Вращение планетных орбит . 652 4 133. Искривление световых лучей в поле тяготения ....... 654 6 !34.
Красное смещение спектральных линий. Заключение .... 657 Предметный указатель . 659 Указатель обозначений . 664 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ По своему характеру эта книга гораздо ближе к учебнику, чем к монографии, предназначенной для специалистов, Это сказывается прежде всего в выборе материала: автор стремился дать лишь действительно основное и важнейшее в рассматриваемой области, но зато в Развернутом изложении со всесторояним освещением предмета.
По характеру изложения книга должна быть вполне доступна студенту 11! курса университета. Другой характерной чертой книги являются выходы из области тензорного анализа и римановой геометрии в механику и физику; эти выходы автор старался указывать везде, где это было возможно. Как известно, наиболее замечательные приложения тензорный анализ и рнманова геометрия имеют в области теории относительности; ей посвящены 1Ч и Х главы книги.
Особую роль играет глава 1; она носит как бы пропедевтический характер и развивает тензорные методы с их приложениями к механике н физике в простейшем (даже тривиальном) случае обычного пространства в прямоугольных декартовых координатах. Эта глава по уровню изложения должна быть доступна инженеру и студенту втуза, которые пожелали бы познакомиться с элементами тензорного анализа в минимальном объеме, необходимом для технических приложений. Для читателя, знакомого с моей прежней книгой «Введение в риманову геометрию и тензорный анализа, замечу, что по сравнению с ней излагаемый материал сильно увеличился.
В настоящее время нельзя пройти мимо псевдоевклидовых и псевдоримановых пространств (кстати, необходимых для теории относительности) и пространств аффинной связности. Эти вопросы нашли место в книге. На ряде примеров даны также основные идеи теории геометрических объектов, в том числе теория спнноров в четырехмерном пространстве. Изложение дополнено также рядом частных вопросов, но зато фундаментального значения (как, например, теория кривых и гиперповерхностей в римановом пространстве и др.), Имея в виду значительный объем книги, автор отметил ряд паРаграфов звездочками, что означает возможность пропустить их ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ НЗДКННЮ без ущерба для понимания дальнейшего, Некоторые указания в атом направлении сделаны и в тексте, При всем том чисто факультативного материала книга не содержит, и почти все в ней изложенное в том или ином отношении имеет в рассматриваемой области важное значение.
В заключение мне хотелось бы выравнять благодарность редактору книги А, Ф, Лапка за его внимательное отношение к тексту н сделанные им замечания. П. К. Рашевский ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание отличается от первого лишь некоторыми небольшими добавлениями, а также редакционными изменениями, Существенно переработаны лишь Я б7 — 59 (основы теории спиноров); здесь изложение сильно упрощено и в то же время несколько дополнено. П, К. Рашевский ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Третье издание практически не отличается от второго; сделаны лишь мелкие редакционные изменения. П.
К. Рашевский р,ПАВА 1 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИЙОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В этой главе мы подойдем к понятию тензора в наиболее простом и элементарнои случае, а именно, рассматривая обычное пространство и притом в прямоугольных декартовых координатах, Мы пока!кем важнейшие применения понятия тензора в гидродинамике и теории упругости, Таким образом, эта глава по отношению ко всей книге будет носить вводный характер, но в то же время представлять собой в иавестном смысле законченное целое.
Читатель, желающий получить лишь простейшее понятие о тензорах и их приложениях, может ограничиться даже одной этой главой. Напротив, читателю, математически хорошо развитому и желающему серьезно изучить книгу, возможно, будет достаточно лишь просмотреть эту главу, так как дальнейшее изложение на ее результаты не опирается и использует их лишь в качестве иллюстраций. й 1. Одновалентиые тензоры На протяжении главы 1 мы будем рассматривать (не оговаривая этого каждый раз отдельно) исключительно прямоугольные декартовы координаты (в обычном пространстве).
Пусть ед, ез, еа †ор, положенные в основу нашей координатной системы (рис. 1). Совокупность ортов еы е„ еэ, отложенных из начала О, мы будем называть ортоаональным репером. Составим скалярные произведения ортов: (1,1) Рассмотрим произвольный вектор х, отложенный для простоты иа начала О. Как известно, координаты вектора х (которые мы б удем обозначать х,, х,, х,) можно определить как коэффициенты разложения х=- х е -р хдеаб х,е, тгехмвгном квклидовом пгостглиствв [гл, 1 и, что означает то же самое, как проекции вектора х на оси: х„= хед, х, = хе„х, = хе,.
(1.2) Здесь проекции записаны в виде скалярных произведений вектора х на соответствующие орты. Вектор х выражает какой-либо геометрический или физический объект, например, параллельный сдвиг твердого тела (заданный по величине и направлению), силу, Э скорость, напряженность электрического поля в данной точке и т. п, Этот объект имеет реальное существование е, независимо от того, в какой системе координат мы его рассматриваем и рассматриваем ли мы его вообще. Однако числа хы х„ х, †координаа 8 ты вектора х †завис уже не тольг ко от самого вектора х, но и от координатной системы, к которой он отнесен. Между тем, координатные оси Рис. 1.
можно выбирать со значительным про- изволом: их можно подвергать произвольным параллельным сдвигам и поворотам около начала О, Таким образом, наш способ задания векторов х координатами хм хм ха отражает между прочим и произвол выбора координатных осей. Это обстоятельство является вредным: на картину изучаемых нами векторов (а в дальнейшем н более сложных объектов) накладывается, вообще говоря, случайный выбор координатных осей. Вследствие этого изучаемая картина усложняется излишними подробностями, Мы увидим далее, что основная задача тензорного исчисления †разобрать в создавшемся положении, научиться выделять то существенное, что относится к самим изучаемым объектам, и отбрасывать то случайное, что привнесено произвольным выбором координатных осей.
Для этой цели нужно выяснить прежде всего, как меняются координаты неизменного вектора х вследствие перехода от одних координатных осей к другим. Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь поворот осей (включая и зеркальное отражение) около неподвижного начала О, Параллельных сдвигов осей мы, таким образом, не рассматриваем. Это объясняется тем, что в большинстве геометрических и физических приложений положение начзла О или вообще не играет роли (как, например, для подсчета координат вектора) илн, наоборот, естественно определяется (большей частью †э та точка, Одновьлентные тензогы $1) в бесконечно малой окрестности которой изучается геометрическая нлн физическая картина).
В обоих слУчаях нет надобности рассматр сдвиги Осей и начало О можно считать неподвижным, И ак пусть мы перешли при неподвижном начале О от старого тогонального репера еы ее, ез к такому же новому реперу е',, е', Этот переход можно задать, выразив новые орты в разлое А' женин по старым: е', = Апет+ А е, ( А е е', =. А„е, р А„е, (- А.„е,, (1.3) е', = Азте, + Аеге, -р А, е Из этих соотношений немедленно следует, что скалярное произведение е',ее равно А„и вообще А,у=е,'.е~ (1, /=1, 2, 3).
(1.4) е, = А„е, +А„е, +А„е„ е, = А„ег + Аае е, + А„е„ е =А„е,+А„е,+А„е,. (1.5) Аналогично предыдущему получим: АО = е;е1 (1, у = 1, 2, 3). (1 .6) Сравнивая (1.4) с (1.6), мы замечаем, что АО =Ач, (1.7) т. е. матрицы ЦАУЦ и ЦАОЦ вЂ” взаимно транспоннрованные, Ио, кроме того, они и взаимно обратные, так как определяют взаимно обратные преобразования (1.3) и (1.5). Итак, чтобы получить матрицу, обратную Ц А~~Ц, достаточно ее транспонировать, Матрицы с этим свойством называются ортогональными.
То, что матрицы Ц А; ((, Ц А,1 (( взаимно обратные, можно записать в виде равенства их произведения единичной матрице: ) о(у~й), ~ А,А,А = буа — — ( Другими словами, Ау совпадает со скалярным произведением 1-го нового орта на у-й старый орт, т. е. с косинусом угла между этими ортами. Выразим теперь старые орты через новые при помощи обратной матрицы А~;.
12 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОЛ| ЬВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Л или согласно (1.7) ~АТ,АА, = 6 Я (1.8) Перемножая зги же матрицы в обратном порядке, получнл1 аналогично: ~А А, =6„. (1.9) 5 Каждое из соотношений (1.8), (1.9), очевидно, равносильно ортогональности матрицы. Пользуясь формулами (1.8), легко показать, что ортогональиость матрицы ~[ А,у[[ не только необходима, но и достаточна для того, чтобы формулы (1.3) давали переход от ортогонального репера снова к ортогональному реперу, Ортогональная матрица имеет определитель л- 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
