1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В самом деле, равенства (1,8) показывают, что, умножая определитель ортогональной матрицы на себя (причем строки умножаются на строки), мы получаем определитель единичной матрицы: 10 0 О1 0 00 1 ха —— хе! (а'= 1, 2, 3), и аналогично, в новой координатной системе: х;=хе~ (1= 1, 2, 3). Умножая скалярно на х равенства (1.3) и пользуясь последними формуламн, получим: х, = Ат,х, -[-Алаха+Атзхз х, =- Аюхт+ Аааха+ Аазхз хз + Азлхл + Азаха + Аззхз Таким образом, квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1, а сам определитель равен л-1. Положительный знак означает, что новый ортогональный репер имеет ту же ориентацию, что и старый, а отрицательный — что ориентация репера меняется на обратную (правый заменяется левым, и наоборот). Посмотрим теперь, как будут меняться координаты неизменного вектора х при повороте осей.
Запишем формулы (1.2) в старой координатной системе; 13 одновллентные тензогы ф И ер — — ~~) А,е„ х =,), А;хо ! (1.10) (1.11) В пределах главы ! индекс, по которому происходит суммирование, всегда пробегает значения 1, 2, 3. Равным образом свободным буквенным индексам в формулах можно придавать любое из этих значений. Преобразования, обратные (1.10) и (1.11), запишутся аналогичным образом: еч=~ А~пер — — ~~' Агнер, и х! — — ~~У,А зх =~',А х„. (1.12) (1.13) Мы воспользовались здесь соотношением (1.7). Будем говорить, что нам дан тгнзор 1-й валентности, если в кахсдой из координатных систем нам заданы три занцмгрованньи числа хд, х, хз пргобразуюи)иксл при повороте осей по закону (1,11), Эти числа мы будем называть координатами твнзора.
Мы видим, что координаты данного вектора, рассматриваемые во всевозможных координатных системах, образуют вектор 1-й валентности. Очевидно и обратное: координаты каждого тензора 1-й валентности можно рассматривать как координаты некоторого постоянного вектора. Для этого достаточно подобрать вектор так, чтобы это имело место в одной координатной системе; в силу того что н для координат вектора, н для координат одновалентного тензора действует закон преобразования (1.11), это же будет иметь место и в любой координатной системе. Однако не нужно думать, что одновалентный тензор может иметь истолкование только лишь в виде вектора. Пусть, например, нам задана фиксированная плоскость, не проходящая через начало каор. динат О.
Уравнение этой плоскости можно записать в виде атхт+ аххз+ аахз 1. Когда мы совершаем поворот координатных осей, коэффициенты уРавнения а„а„аз подвергаются, как нетрудно подсчитать преобразованию по тому же закону (1.11) и образуют, следовательно, одновалентный тензор (как и координаты вектора), другими словами, при повороте осей координаты каждого данного вектора подвергаются тому же ортогональному преобразованию (1,3), что и орты, Эти преобразования мы будем записывать кратко: Понятие о двухзалентном и вообще многовалеитном тензоре естественно возникает прн рассмотрении уже простейших геометрических образов.
Возьмем, например, (неконическую) центральную поверхность 2-го порядка с центром в начале О. Ее уравнение можно записать в виде ~ ~, а,,х;ху — — 1. (2. 1) Как мы условились, каждый индекс суммирования пробегает значения 1, 2, 3. Матрица коэффициентов ((а, (( предполагается снмллетричной: а, =ат (2.2) Мы будем называть коэффициентами именно числа аг, хотя после приведения подобных членов з уравнении (2.1) коэффйциенты при произведениях координат будут иметь внд 2аг. (прн г'~у). Совершаем поворот координатных осей.
Новйе координаты каждого вектора (и тем самым каждой точки) выражаются через старые согласно (1.11). Обратное преобразование согласно (1,13) запишется в виде х, = ~ А;хр. л (2.3) И аналогично, х, = ~~Р ~А ух„. Р Вставляя зти выражения в (2.!), получим уравнение той же поверхности в новых координатах: ~~~'.„У,~~'., АргА та;ух„х, = 1. р р г Очевидно, коэффициенты преобразованного уравнения имеют вид а „=Я~~ А,А аг (р, ~у=1, 2, 3), (2,4) т Получается, что наша поверхность определяет в каждой координатной системе (с началом О в центре поверхности) совокупность девяти чисел а;, занумерованных двумя индексами, каждый из которых независимо от другого пробегает значения 1, 2, 3, При повороте координатных осей (1.12) эти числа преобразуются по закону (2,4), который, очевидно, повторяет закон (1.10) дла каждого нз двух индексов, имеющихся у аг .
14 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХЛЗЕРНОМ ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ.! й 2. Понятие о двухвалеитном тензоре цонятие о дзухаллентноы тензогв 15 Мы будем говорить, что нам дан тензор 2-б валентности, еоли в каждой из координатных систем нам заданы девять чисел„занумерованных двумя индексами аи аы атз ~~) аД= а„а„а„ аю аы ива ) (2.5) (2.6) ау= хгур Определенные таким образом в каждой координатной системе числа ау занумерованы двумя индексами и образуют тензор 2-й валентности.
В самом деле, при повороте осей получаем согласно (1.11) хр —— ~г А;хи е~ (2.7) И аналогично У =-~А 7У . (2.8) Перемножая эти равенства почленно, получим: х у = ~~'.~ ~ А,А х;у, 1 г' (2.9) а значит, ар — -~,~А~,.А аоч ф Я (2.10) и преобразуюи)икся при повороте координатных осей по закону (2А). Сами числа а; мы будем называть координатами тензора. Условия (2.2) не являются обязательными. В тех случаях, когда они соблюдаются, тензор 2-й валентности называется симметрическим. Таким образом, коэффициенты уравнения центральной поверхности 2-го порядка с центром в начале О образуют симметрический теизор 2-й валентности. Нетрудно показать и обратное: координаты (ненулевого) симметрического тензора 2-й валентности всегда можно истолковать как коэффициенты уравнения некоторой фиксированной поверхности 2-го порядка с центром О.
Впрочем, это истолкование, как мы вскоре увидим, является не самым важным. Нетрудно получить примеры и несимметрических тензоров 2-и валентности. Возьмем два вектора х (х„ хю х,) и у (уы уя, у ) и обозначим через а;~ всевозиожные попарные произведения их координат: 16 тензОРы В тРехмеРнОм еВклидОВОМ пгостганстве (гл.~ т. е, имеет место закон преобрааования (2.4). Здесь особенно наглядно выступает то обстоятельство, что этот закон преобразования получается повторением закона преобразования (1.11) для каждого из двух индексов. В частности, если в формулах (2.6) векторы х и у равны, то тензор аг симметрический.
В 3. Двухвилентиый тензор как аффинор Важнейшее значение двухвалентного тензора а, состоит в том, что он всегда определяет некоторый аффинор. Аффинором Й называется закон, посредством которого каждому вектору х в пространстве сопоставляется некоторый вектор у, обозначаемый нами у=-Йх, (3,1) причем должны соблюдаться следующие условия: Й (х+ х') = Йх+ Йх', Й ( хх) = схйх. (3,2) (3.3) Здесь х, х' — произвольные векторы, а а — произвольное (вещественное) число, Другими словами, аффинор Й означает задание функциональной зависимости вектора у от вектора-аргумента х, причем эта зависимость должна быть линейной, т. е.
при сложении двух значений аргумента х складываются и соответствующие значения функции у (согласно (3.2)), а при умножении аргумента х на какое-либо число функция у также умножается на это число (согласно (3.3)). Рассмотрим, в частности, те Векторы Йе„йе„Йе, в которые перейдут орты ем е„еа. Если аффннор Й не задан наперед, то его всегда можно подобрать (н притом единственным образом) так, чтобы векторы Йеы Йе„Йеа имели любые наперед заданные значения, В самом деле, задавшись этими значениями, мы можем вычислить Йх для любого вектора х с координатами х„хю ха: Йх=Й(ххе,+хэез+х,еа) =х,Йе +хайе .
(3 4) Мы воспользовались здесь свойствами (3.2), (3.3) искомого аффинора Й. Таким образом, искомый аффинор, если он существует, определяется формулой (3.4), Нетрудно проверить, что эта формула действительно определяет аффинор, т, е. свойства (3.2),(3.3) всегда имеют место. Можно следующим образом наглядно представить себе действие аффинора. Для каждой точки М пространства строим ее радиус-вектор х=- ОИ (3 6) двухвллГл!тн!Зй тзнзоР клк АФФиноР и подвергаем его действию аффинора Й. Новый вектор Йх, отложенный также из началз О, укажет своим концом некоторую, вообще говоря, новую точку М': Йх = ОМ'. (3.6) В результате каждая точка М пространства перейдет в новое положение М', н тем самым пространство подвергнется некоторой деформации.
В частности, единичный кубик, построенный на ортах е„ е, е„ перейдет в параллелепипед, построенный на векторах 6ет, Йе„ Йез, если предположить, что зти векторв! некомпланарны. Лействительно, точкам кубика будут отвечать координаты хо для которых О ( х; ( 1 (7= 1, 2, 3), а тогда согласно (3.4) преобразованные точки М' заполняют указанный параллелепипед Вообще пространственная решетка, составленная из единичных (или любых других) одинаковых кубиков, растянется (сожмется) н перекосится так, что кубики превратятся в параллелепипеды, однако тоже одинаковые. В случае некомпланарности векторов Йе„, Йе„ 6ев рассматриваемая деформация пространства называется его центроаффинным преобразованием. В случае компланарности этих векторов все пространство отображаетсн в одну плоскость или в одну прямую, илн, наконец, даже в одну точку О (случай, когда Ях= — О).
Это †различн случаи вырождения аффинора Й. Переходим к координатной записи аффинора Й. Мы знаем, что аффинор Й вполне определяется заданием векторов Йео а эти последние можно задать их разложением по ортам. Запишем это разложение, обозначая коэффициенты через а РЗ' Яет = а,хе, + а„е, + а,е„ Йе, = а„е, + азяе, + а„е„ (3.7) ЕЗ ЗЗЕ! + 23Е2 ПЗЗЕЗ или в краткой записи: Йе, =~~~~За е . (3.8) Вполне определяющие аффинор Й коэффициенты а мы будем РЧ называть его координатами.
Умножая скалярно первое из уравнений (3.7), например, на е, получим в силу (1.1) езйет=аз!. Аналогичным образом и вообще а =еЙе. (3.9) Будем рассматривать один и тот же аффинор Я, но в разных координатных системах, Его координаты а будут иметь при этом РЗ каждый раз другие численные значения. Спрашивается, по какому 18 тензоты В ттзхметноь! киклидоном птосттлнствв (Гл.! закону эти численные значения будут меняться при повороте каор. дииатных осей!' Запишем формулы (3.9) в новой координатной системе: а =е Йе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
