1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Итак, единственная существенная координата тривектора есть относительный инвариант. Это позволяет нам использовать тривекторы как источник получения инвариантов. Заметим, что в рассматриваемом нами трехмерном пространстве невозможен кососнмметрический тензор более чем З-й валентности. Говоря точнее, такой тензор всегда имеет лишь нулевые координаты.
б! попечение инвьтиьнтов с помощью твнзотов 29 В самом леле, совершенно так же, как и в (5,9), убеждаемся, что каличие двух одинаковых индексов обращает координату нашего тензора в нуль. Между тем, его координаты всегда имеют по меньшей мере два одинаковых индекса, так как индексов у них четыре или больше, а принимать они могут лишь значения 1, 2, 3. Следовательно, все координаты нашего тензора равны нулю, б б. Получение инвариантов с помощью кососимметрических тензоров Если нам задан грехвалентный тензор а „ (не обязательно косо- симметрический), то мы можем получить из йего кососимметрический тензор с; ь путем так называемой операции альтернации; а именно, каждая координата с,.ь определяется как среднее арифметическое уь шести координат тензора а „, индексы при которых получены из ест' г', у, [г всевозможными подстановками (в том числе и тождественной), причем в случае четной подстановки координата берется со своим знаком, а в случае нечетной †обратным: 1 с[уь ' б (а[ус+ [туьт [ с[му уы [тьу[ а[чу).
(6. 1) Нетрудно заметить, что с, прелставляют собой тензор, так как операция альтернирования, которой мы их получили, сводится к комбинации известных нам тензорных операций подстановки индексов и сложения (вычитания) тензоров (й 4). Кроме того, из соотношений (6.1) немедленно следует, что с[ ь меняет знак при транспозиции двух индексов, так как в правой части первая тройка членов превращается во вторую тройку со знаками -1- вместо — , а вторая тройка преврзщается в первую со знаками — вместо + .
Таким образом, альтернация по трем индексам дает нам тензор, кососимметрический по этим индексам, Когда тензор с; получен из тензора а;~ь по Форг[уле (6.1), то мь[ будем говорить, что он получен из и; ь альтернацией по индексам с', у', й; при етом л[ы будем применять взамен развернутого выражения (6.1) краткое обозначение с!уь = ссуухп (6.2) Альтернацию можно производить и пад тремя произвольно выбранными индексами многовалентного тензора, например, над первыми тремя индексами тензора а;,, Получаем тензор ст „, =а[ам[, (6.3) причем в правой части над индексаии [, у, й проделывается в точМсти то же самое, что и в правой части (6.1); индексы 1, тп переписываются при этом без изменения. Полученный в результате 3О твнзоеы в тгвхмееном евклндовом пгостгкнстве [гл.г Для четырехвалентного тензора а,в, альтернация, например, по г/ы 2-му н 4-му индексам означает составление тензора 1 1ты 2 ( !ты пзу ' Ясно, что результат альтернации н здесь будет кососимметричен по соответствующим двум индексам у, 1.
Как мы вскоре увидим, альтернация по двум индексам в своем месте играет большую роль, но для составления инвариангов (з трехмерном пространстве) является полезной лишь альтернация по трем индексам. К ней мы и возвращаемся. Ясно, что, проальтернировав трехвалентный тензор согласно (6.1), мы можем получить его относительный инвариант в анде одной существенной координаты кососнмметрического тензора 1 сззз = б (атзз+ аззт+ зтз ащз азщ атзз) (6 6) Интересно, что выражение в скобке по способу своего составления весьма напоминает определитель 3-го порядка. И действительно, оно и в самом деле обращается в определитель 3-го порядка, если, в частности, в качестве тензора а;.
взять произведение трех гуз тензоров 1-й валентности: а;, =к!у,.ез, (6.7) Эти тензоры можно всегда считать, как мы знаем, координатами некоторых определенных векторов х, у, х. Теперь (6,6) принимает вид хз хз Уз Уз Уз зз 1 ! стзз = (хзуззз +... ) б б Полученный определитель дает смешанное произведение (хух), если он вычислен в правой координатной системе, и — (хух), если тензор является кососилгметрическил! по индексам 1, у, й (т. е. по тем, по которым произведена альтернация). Альтернацию можно производить и по двум индексам, произвольно выбранным в каком-либо (по крайней мере, двухвалентном) тензоре, причем в этом случае она выглядит значительно проще и означает просто составление полуразности данной координаты и координаты, полученной из нее транспозицией избранных индексов.
Так, для двухвалентного тензора а; альтернацня по его индексам означает составление тензора 1 с! =- а!Н! = — „(аг — а;). (6.4) ф 61 иолу!ение янвьРиьнтов с помощь!О тензОРОЕ 61 кососимметрический как по первой, так и по второй тройке индексов. Следовательно, мы можем составить абсолютный инвариант сттаыз = и!рьь! [ррь!. (6.!0) Особенно важен частный случай, когда этот шестивалентный тензор представляет собой произведение трех одинаковых двух. валентных тензоров: а!н,!,уч!,р,= а;„,а;,у,а;,г,"). (6. 11) ПРоизведем альтеРнацию по индексам Уы Утл /. ПолУчим новый теизор а,„, анв ачб ! сб,уыддй,=а;,;...!йдт!=- а,„, вой а,,!, а ,у, а .,1, ам!, (6.12) То, что в результате получается именно такой определитель, вытекает из близкого родства процесса альтернации согласно (6.1) и процесса составления определителя, а именно, исходное для альтернации выражение (6.11) представляет собой тот член определителя, который получается произведением элементов но главной диагонали, а в процессе альтернации к нему добавляется ие что УР б ру р бб,рр !У!*У'Р(бтбгб зевки индексов у пронзьедеияя тензороз; точнее говоря, а ..
есть "роизведенне теизороз а, г, а! , а! !, в котором произведена некоторая подстановка индексов. он вычислен в левой координатной системе, Это соответствует тому, что с,ь есть относительный инвариант. Однако нри помощи кососимметрических тензоров можно составлять и абсолютные инварианты, а не только относительные, Пусть шестивалентный тензор снбу,!1!,!, будет кососнмметрическим как но индексам первой тройки, так н по индексам второй тройки. рассмотрим его единственную существенную координату' стезтть. Так как она является относительным инвариантом, если рассматривать ее в зависимости отдельно от первой или отдельно от второй тройки индексов, то нри переходе от правой координатной системы к левой (или наоборот) она дважды умножается на — 1, т.
е, не меняется. Следовательно, стаьтз есть инвариант уже абсолютный. Пусть теперь нам задан произвольный шестивалентный тензор ай!,г,гздтс ПРОЕЛЬтЕРНИРУЕЫ ЕГО КаК ПО ПЕРВОЙ, таК И ПО ВтОРОй тройке индексов, в каждом случае по схеме (6.1). Получим тензор с!,!„дб,!.,б, = а!ОЬ;,! !г,!Ьб!, (6.9) 32 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ.! а11 а12 а12 1 1 с122122 =- — а21 а22 а22 = б Ре)[а1У[.
а21 а22 азз (6.13) Таким образом, определитель, составленный из координат двух- валентного тензора, есть инвариант преобразования координатной системы. Этот результат, впрочем, можно было бы получить и совер- шенно самостоятельно следующим образом. Запишем закон преоб- разования координат двухвалентного тензора а ' =- ~к~~ ~я~~ ~А 1А уа1, 1 Тогда из правила умножения детерминантов следует, что Ре1) а' ~ Ре1[А;[ Ре1[А [ РЕ1[а1,[=.Ре([а1 [, так как Ре([А 1[ и Ре)[А;[ суть детерминанты одной н той же ортогональной матрицы и, следовательно, равны оба или -[- 1 или — 1.
Инвариант Ре1 [ аг [ имеет важный геометрический смысл, а именно, он дает то постоянное отношение, в котором изменяются объемы всех тел при центроаффинном преобразовании у =12[х, где аффинор Я имеет координаты а1 Достаточно проверить зто утверждение для кубов, так как объем любого тела можно сколь угодно точно приблизить объемом входящего тела, составленного из кубов, и выходящего тела, также иное, как остальные члены определителя.
Это легко усмотреть, вспомнив правило составления определителя, Впрочем, легко проверить равенство (6,12) и прямой выкладкой, написав результ. альтернацни в развернутом виде согласно (6.1) и убедившись, что он совпадает с разложением определителя. В отличие от (6.9) мы произвели здесь альтернацию лишь по одной тройке индексов, Но этого в данном случае достаточно, так как полученный нами тензор (6.12) будет кососимметричен не только по индексам Лы А, /2, по которым лия альтернировали, но и по индексам 11, 1, 12 тоже. В самом деле, взаимная перестановка индексов, например /1, УТ, означает перестановку первых двух столбцов определителя (6.12), а взаимная перестановка индексов, например, 1„ 1„ означает перестановку первых двух его строк, И в том н в другом случае определитель умножается на — 1, чем и доказывается требуемая кососимметричность.
Мы можем теперь составить абсолютный инвариант 5 6) нолученг!е ннВАРнАнтоз с помощьн) тензОРОН 33 составленного из кубов (имеются в виду тела с кусочно гладкой граннпей). Возьмем какой-нибудь куб, помешенный для простоты одной вершиной в начале координат О, н направим координатные оси Ос Пе,) Рнс. 2. по ребрзм куба (рис, 2). Тогла можно будет считать, что куб построен на векторах 1е„ 1е„ 1е„ где ! — ребро куба. Эти векторы согласно (3,8) перейду~ в векторы: Я (1е,) = 1(а„е, + а,е, + а,ез), Й (!е,) =1(а„е, + а„е, + аа,ее), е( (!ее) = ! (аехе, + ахае, + аезеа). Куб перейдет в построенный на этих векторах параллелепипед, объем которого )Г равен, как известно, смешанному произведению векторов, а значит, равен определителю )! = )Уег ! 1аг ) = 1'. Ре! ( а г ( р — =- (уе ! ( а;! ( (6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
