1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 4
Текст из файла (страница 4)
яч Но согласно (1.10) е =чРА„;ео е'='~~А е, а следовательно, ар — — '~~~чРАр,Ач еЙе =~ч~~чРА,.А .ад (Р п=1 2 3) х=2,х е, (3.10) у =- ~з~у е (3.11) и подействуем на (3.10) аффииором Й. Получим, ш>льзуясь линейными свойствами аффннора и формулами (3.8): Ях=й~х е = ~~Р~х !Ле = 2,"!хДар ер. ч ч (3.12) Так как (3.11) и (3.12) дают разложение одного и того же вектора у, то коэффициенты при ортах ер должны быть одинаковы. Следовательно; (3.13) Итак, координата! вектора у Йх получаются из координат вектора х линейным преобразованием, матрица которого совпадает с матрицей а координат аффинора (в то время как в преобразо- Ря Полученный закон преобразования совпадает с (2А), и это показывает, что координаты аффинора аН образуют двухвалгнтнь!й тензор.
Нетрудно проверить и обратное: координаты всякого двухвалгнтного тензора ат могут быть истолкованы как координаты некоторого аффинора Й. Для этого достаточно построить зффинор Й с данными координатами в какой-либо одной координатной системе. В силу одинакового закона преобразования (2А) для координат двухвалеитного тензора и координат аффинора равенство между этими координатами сохранится и при переходе в любую другую координатную систему. Дадим, наконец, координатную запись аффинора Й, выразив координаты вектора у =Йх через координаты вектора-аргумента х.
Запишем разложения: 19 автхзхлвштный тензог как хееиног 6 3) ванин (3.7) мы пользовались тРанспоннРозанной матРицей). Заметим опте что для вырождении аффинора Й, т. е, для компланарности векторов (3.7), необходимо и достаточно обРащение в нУль опРе„ лителя ) а ), В этом н только в этом случае преобразование (3.13) Р'т необРатимо. ргметим частный случай аффинора ч(, когда он сводится к умножению каждого вектора х на одно и то же число Х: у=йх=)х. (3.14) Очевидно, в этом случае Ур=)хр (р= 1, 2, 3). (3.16) Сравнивая с (3.13) убеждаемся, что матрица координат нашего аффинора в любой координатной системе имеет вид ~Х 0 0 О ХО О ОХ !)аг ((= (3.16) 100 010 001 '1)ае ((= (3. 17) также называется единичным.
Для координат единичного тензора пРинЯто обозначение ббн пРичем во всех кооРдниатных системах ( 1 (7 /) ( 0 (1~1) (3.18) Пользуясь обозначениями (3.18), можно переписать (3.16) (при любом Х) в следующем виде: аг = )6;у. (3.19) Следовательно, соответствующий лвухвалентный тензор (3,16) обладает тем замечательным свойством, что его координаты остаются постоянными во всех координатных системах, Центроаффинное преобразование, отвечающее аффинору в нашем случае, есть преобразование подобия (при Х Ф 0). При Х=. 1 аффинор (3.14) называется единичным и дает, очевидно, тождественное преобразование. Мы будем обозначать единичный аффинор через Е, так что Ех=х. Соответствующий ему тензор 20 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [Гп.! й 4.
Многовалентные тензоры. Теизориая алгебра По аналогии с двухзалентным тензором можно ввести, понятие о тензоре любой валентности. Мы говорим, что нам дан тензор валентности о, если в каждой из координатных систем нам заданы ЗР чисел а;,;,...;„ занумерованных о индексами 1ы 1,..., 1«, каждый из которых независимо от других пробегает значения 1, 2, 3 1и которые в записи различаются друг от друга 1-м, 2-л,...,о-м местом записи при букве а), причем при повороге координатных осей зги числа преобразуются по закону: а' =-~л~~~...~ч~~~АргА»,...Ас, а;; ...;. (4.1) ы Здесь предполагается, что поворот осей задается, как и прежде, формулами (1.10). Закон преобразования (4.!) получается, очевидно, повторением закона преобразования одновалентного тензора (1.11) для каждого из индексов многовалентного тензора.
Как и раньше, мы будем называть числа а;;,...;„ координатами тензора в данной координатной системе. Многовалентные тензоры также выражают различные геометрические и физические объекты. В связи с этим существенно помнить, что тензор есть нечто единое и целое, а «распадение» его на КООРДИНатЫ абб...ы ПРОИСХОДИТ ЛИШЬ ПО ОТНОШЕНИЮ К ДаННОИ координатной системе. В законе преобразования (4.1) это сказывается в том, что каждая координата тензора в новой системе выра- жаетсЯ, вообще говоРЯ, чеРез все его кооРдннаты агй,...б в стаРой системе, т. е. распадение на координаты не имеет инвариантного смысла.
Над тензорамн можно производить ряд ннвариантных операций, т. е, операций, результаты которых не зависят от той координатной системы, в которой они производятся. 1 . Сложение тензоров одинаковой валентности. Пусть аоу ..., и Ьбб „;„ †д тензора одинаковой валентности. Составим в каждой координатной системе числа стй,..ы» путем сложения соответствующих координат наших тензоров сй,,= а А;,+Ьгй, сы (4.2) Мы утверждаем, что эти числа тоже являются координатами некоторого тензора валентности о. Для этого достаточно показать, что сцб...ы подчиняются закону преобразования (4.1).
Но это почти очевидно. В самом деле, для 21 многозллентные твнзогы, тьнзорнля ллгвзРА тензоров а~,;,...;„, Ь;„, г, закон преобразования (4.1) имеет место: а'р, .,, рр — — ~чР~... ~ Ар,, Ар„,. а, Р1' рр =~ '~гАРА. Арйр б ' ' 'гю' 1 ы Складываем эти равенства почленно и пользуемся формулами (4.2), учитывая, что числа с;,...;„построеиы в каждой координатной системе, в том числе и в той, которая у нас отмечена ~нтрихом. Получим: ср,, р„— ~ ..
~" Лри, .., Ары,с;,...;р„ Таким образом, закон преобразования (4.1) выполниется и для сп ...;„ так что эти числа, построенные в любой координатной системе, представляю~ собой координаты одного и того же тензора, Этот тензор называется суммой двух данных тензоров, а сама операция (4.2) — их сложением. Сложение тензоров отвечает сложению (в каком-нибудь естественном смысле) тех геометрических и физических объектов, которые данными тензорами изображаются. Так, например, сложение одновалентных тензоров по схеме (4.2) (4.3) г =мг+у~ соответствует сложению тех векторов, координаты которых образуют данные тензоры: г=х+у, Равным образом, сложение двухвалентных тензоров сгу = агу+ Ьг| (4.4) отражает сложение соответствующих им аффиноров: ~~ = 9+Я.
(4. 5) Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что для любого вектора х (зх = р(х + х)х. (4.6) Ясно, что сложение нескольких тензоров одинаковой валентности выполняется совершенно так же, как и сложение двух. 2', Умножение тензоров. Эта операция применяется к любым двум (или нескольким) тензорам, заданным в определенном порядке.
22 тензогы В тгзхмагиоь»»вклндозом пгосГРА»»сгаг [Гл. ! Лучше всего показать ее на примере; в общем случае пело будет обстоять совершенно так же. ПУсть тРебУетсЯ Умножить тРехвалентный тензоР адь на лвУхвалентный тензор Ь, . Составляем в каждой координатйой системе всевозможные пронзвелення каждой координаты а;.ь на кажлую координату Ь, . Эти произведения, ко~орые, очевкдно, будут зависеть от пяти ннлексов, мы обозначим: (4.7) с;,ы„= аыьЬ»м причем условимся писать (при букве с) сначала индексы первого множителя с сохранением нх порядка, затем индексы второго множителя с сохранением их порядка (если бы множителей было несколько, мы ~аким же образом последовательно переписали бы индексы каждого из них). Мы утверждаем, что числа с; „,, составленные нами согласно (4,7) в каждой координатной системе, суть координата» одного и того же тензора 5-й валентности.
Чтобы это проверить, выпишем закон преобразования (4.1) для перемножаемых тензоров: ар .— — ~я~',~ч»"~~~А„А )А га. т й Ь,г - ~Р~~~»', АггА~,„Ьгм. Перемножим эти равенства почленно и воспользуемся формулой (4.7), учитывая, что она имеет место в любой координатной системе, в том числе и в той, которая отмечена у нас штрихом. Получим: с ~ч»,'~~чР~~чРА А А ьА Аг с (4.5) / » Ф» ь» Нетрудно видеть, что мы получили лля чисел сг „закон преобразования вила (4.1) лля случая о =- 5.
Это показывает, что числа сгтн в любой координатной системе являются координатами одного й того же тензора 5-й валентности. Полученный таким образом тензор называется произведением двух виданных (в определенном порядке) тензоров, а сама операция — умножением тензоров. По этому же образцу рассматривается и произведение любого числа тензоров любой валентности, заланиых в определенном порвдке. Валентность тензора, получаюшегося в произведении, равна, очевидно, сумме валентностей множителей; по схеме (4.7) координаты произведения снабжаются индексами, снятыми поочередно со всех множителей.
В частности, в этой же схеме можно рассматривать умножение тензора на инвариант (т. е. на число, заданное независимо от выбора $41 многовллвнтные тензогы. тензогная Алгевгл 23 координатной системы и не меняющееся при ее преобразовании). Всякий инвариант а можно рассматривать как тензор О-й валентности, т. е. тензор, лишенный индексов и имеющий потому лишь одну координату а. (В общем случае число координат тензора равно Зс, где о †е валентность; в случае о = 0 получаеи 3' = 1,) Схема перемножения (4.7) дает в этом случае (4.9) с, .=-.
ад,, т. е, просто все координаты тензора Ь, умножаготся на инвариант а и превращаются в координаты нового тензора с,„той же валентности. 3аметим, что вычитание тензора из тензорз той же валентности мы не считаем самостоятельной операцией, потому что она сводится к сложению уменьшаемого с вычитаемым, умноженным предварительно на инвариант — 1, 3, Свертывание тензоров, Пусть нам дан, какой-нибудь тензор не менее, чем 2-й валентности, например, трехвалентный, а; „,. Отметим какие-либо два его индекса, например 2-й и З-й, и сделаем с ними следующее. В каждой координатной системе отберем те координаты нашего тензора, для которых отмеченные индексы равны (это будут координаты вила ага), и составим сумму всех таких координат при каких-нибудь фиксированных остальных индексах (в нашем случае прн как-нибудь фиксированном первом индексе 1).
Эта сумма имеет вид ~ аы, н зависит только от фиксированных индексов (в нашем случае от индекса 1). Обозначим ее ар Итак, аг — — ~~'.,амр (4.10) Мы утверждаем, что числа ао составленные в каждой координатной системе согласно (4.10), образуют тензор 1-й валентности. Мы будем говорить, что этот тензор получается из исходного тензоря аг свертыванием 2-го и 3-го индекса. Для доказательства выпишем закон преобразования (4.1) в применении к исходному тензору а ', = ~ ~ЧР ~~~~' А„А~уАгаа;; . (4.11) Составим теперь числа а; в новой (штрихованной) координатной системе. Обозначая эти числа а',, получим согласно (4.!0) а . Т1а' Р кн Р53 (4.12) 24 твнзогы в трехмерном евклндовом пространства (гл.| Заменяя в преобразовании (4.11) индексы д н г через е н вставляя результат (в 4.12), получнм: а =-~~~~Р~~'РА гА,.Ат„а;ъ„ 5 / ~ ь (4.! 3) Выполним прежде всего суммирование по е. Прн этом согласно (1.9) ) 0 (7'~й) ~~',А„А,„= 6,, =- (4.14) н (4.13) принимает внд а =- ~' ~~~',~~ Аргбгаа~ ъ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
