1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Удвоенный вектор и (М) называется ротором векторного поля а(М) и обозначается го1а. Итак: 36 ТЕНЗОРЫ В ГРЕХМЕРНОМ ВВКЛИЛОВОМ ПРОСГРАНСГВЕ (ГЛ. 1 Лля простоты лвиженне жилкости будем считать стационарным, т. е. поле скоростей а(М) не зависящим от времени. Спрашивается, какой кинематический смысл получает произвогный аффинор Й нашего векторного поля. Лля этой цели мы проследим, что делается с бесконечно малой «каплей» жидкости в процессе ее движения. Вырежем из жидкости шарик с цен~ром в какой-нибудь точке М н с бесконечно малым ралиусом р. С течением времени жидкость, заключенная в этом шарике, перемещается с общим потоком жидкости, одновременно вращаясь и деформируясь. Этот процесс мы и проследим.
Каждая точка, увлекаемая потоком жидкости, — мы ее булем кратко назьсвать «частппей хсндкостн» вЂ” описывает с течением времени Определенную траекторию 1 х1 (~) х' х« (~) 3 ' 3 (т)' (12.2) При этом проекции вектора скорости на координатные осп равны, дхг как известно, — 1(1 1, 2, 3). С лругой стороны, вектор скорости дг совпадает В каждой точке М с вектором поля а(М), и его проекции равны а;(М), т, е, о, (х,, х„хь).
В результате — ',' —.- а,. (х,, хя х,) (1= 1, 2, 3). (12.3) Таким образом, функции (12.2) должны удовлетворять системе обыкновенных лнффсренцпальных уравнений (12.3). Частица жидкоссн, находящаяся в данный момент в точке М, спустя бесконечно малый промежуток времени е сместится на вектор еа(М), если пренебрегать бесконечно малыми высшего порядка.
Ы самом деле, скорость движения частицы мспдкости в данный момен~ выражается вектором а(М), и если бы эта скорость оставасшсь постоянной, то за время е смещение частицы точно выразилось бы вектором еа (М). Ко так как скорость движения частицы зависит от ее положения, го в процессе лвижеиня скорость будет, вообцге говоря, меняться, Олнако за бесконе во малый промежуток времени она успевает изменгпься, начиная от значения а(М), лишь на бесконечно малую величину. В результате еа(М) дает смещение с ошибкой бесконечно малой высшего порялка (грубо говоря.
бесконечно малая ошибка в скорости умножается еще на е). Будем рассматривать смещения всех частиц жидкости за бесконечно маями' промежуток вреьсени е, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка относительно е. Тогда эти смещения можно считать равными га (М), где М вЂ” начальное положение «истицы жидкости $ 12) кинямлтичкское истолкоякння Вектогиого поля 57 Пусть М' — какая-нибудь точка в шарике бесконечно малого радиуса р с центром в М. Подвергнем все точки шарика указанному смещению; в частности, точки М, М' переходят в некоторые точки Е, А' (рис. 3), При этом, как мы знаем, МЕ ж ва (М), М'А' ж еа (М').
(12.4) Нас интересует, что произошло н результате смещения с вектором Л!М', ведущим из центра шарика М в его произвольную точку М'. Очевидно, он перейлет в вектор Ы', который можно прелставить в следующем виде: Ы' =- 7М+ ММ' + М Е ' =- ММ' + (МЕ' — МЕ) = = ММ'+ е (а (М') — а (М)), (12.5) В дальнейшем мы пренебрегаем бесконечно малыми высшего порядка не только относительно е, но и относительно р тоже. Это нужно оговорить особо, так как е и р — независимые друг от друга бесконечно малые.
Тогда можно принять согласно (11,9) а (М') — а (М) =- Ла (М) — йг, где я †кратк обозначение для ММ'. Теперь (12 5) дает: Ы.' ж я.)- ейя = (Е+ ей) г, (12.6) Итак, преобразование вектора ММ' в вектор АА' происходит (с указанной степенью точности) посредстволг аффинора Е+ вй, где й — производный аффинор векторного поля скоростей, а е— протекший бесконечно малый промежуток времени. рн. Другими словами, бесконечно малые векторы, исходящие из центра М первоначальной чкаплия (т. е, нашего шарика радиуса р), переходят в векторы, исхолящие из центра Е смещенной (и деформированной) капли, подвергаясь действию аффинора Е+ ей, Но действие такого аффннора, как мы знаем (8 8), сводится к чистой деформации, норожлаемой аффинором Е +Ю, и к повороту посредством аффннора Е + е(1. Прп зтои 6 н (à †симметрическ и кососпчиетрпческая части аффинора й.
В ншпем случае их координаты 58 тензОРы В тРехмеРнОм еВклидОВОм пРОстРАнстВе (гл. ! выражаются согласно (11.12) и (11,13). так как у нас ~Л(М) — производный аффинор векторного поля а (М), В результате бесконечно малая шаровая капля жидкости за бесконечно малый промежуток врел~ени е подвергается (помимо параллельного сдвига вместе со своим центром М на вектор МЬ ж еа (М)), во-первых, бесконечно малой чистой деформации Е+е))), т. е. растяжению (сжатию) по трем взаимно ортогональным направлениям, превращаясь из шара в эллипсоид, и, во-вторых, вращению Е+е(ь:. В силу (8.!3) это вращение происходит с вектором угловой скорости и, который согласно (11.17) равен В напрем 1 случае — го1 а .
2 Вращение любой бесконечно малой капли жидкости в процессе ее движения происходит с (переменным) векторолс угловой скорости, равным в каждой точке — го1а, где а — векторное поле скоростей. 2 Аффинор 6 называется аффинором скоростей дефорл1ации, а соответствующий тензор (12.7) — тензором скоростей деформации.
Как отмечалось в 2 8, коэффициент объемного расширения при дейстнии аффинора Е+ ее( равен (соглзсно (8.18)): 1/ —,= +ВХ..т. Но в нашем случае в силу формулы (11.!8) ~Ра,, =Йча, и следовательно, — = 1+в Йча. Отсюда видно, что в процессе движения жидкости относительное объемное расширение 0 каждой ее бесконечно малой капли за бесконечно малый промежуток Времени е равно ВЙча (т. е. Происходит со скоростью Йча): р — (л '1 О ж е Йч а =- г ~~'.л Ьн 1 где 0 =: (12.8) В этом и заключается кннематнческий смысл днвергенцни векторного поля. Отметим важные частные случаи. 9 12) кинемАтическое истолкОВАние ВектОРнОГО пОля 59 Векторное поле а(М) называется соленоидальным, если д1Г а (М) = О.
(12.9) В нашем кинематическом истолковании зто означает, что объемное расширение происходит с нулевой скоростью, т. е. любая пространственная область, заполненная частицами жидкости в начальный момент, с течением времени смещается и деформируется, не меняя своего объема (строго говоря, это показано у нас лишь для бесконечно малых капель жидкости, и переход к конечному объему требовал бы еще некоторых рассуждений).
Таким образом, условие (12.9) при кинематическом истолковании векторного поля а(М) означает несжимаемость жидкости. Векторное поле а (М) называется потенциальным, если а (М) представляет собой градиент некоторого скаЛярного поля (12.10) а (М) = асад а(М), Согласно (10.16) координаты вектора а(М) выражаются формулами: аг=- — (1== 1, 2, 3). (12.11) Отсюда, н частности, вытекает, чго для потенциального полн го1а (вышсляемый по формуле (11.17)) тождественно равен нулю: го1 а = О. (12.12) Возвращаясь к кинематическому истолкованию, рассмотрим случай потенциального поля скоростей а (М).
Тогда обращение в нуль го1а означает, что вращение любой бесконечно малой капли жидкости происходит с нулевой угловой скоростью, т. е. в каждый бесконечно малый промежуток времени капля испытывает лишь смещение и чистую деформацию. Движение жидкости — незавихренное.
Условие (12,12), т. е. незавихренность движения жидкости, является и достаточным для того, чтобы поле скоростей было потенциальным, по крайней мере, в любой односвязной области ьг. Действнтелы<о, из (12.12) в силу формулы (11.17) вытекает: дах даь да, да, да да, (! 2.13) дх, дхь ' дх, дх, ' дх, дх, а при зтих условиях в односвязной области всегда можно подобрать скалярное поле а (М) такое, что аг выражаются согласно (12.11), т.
е. а(М) =игзб а(М). бб тензоРы В тгвхикгном евклидоаол< !1Ростглнстве [Гл,< ьЧ !3. Малая деформация твердого тела Все, что было сделано в $ 12 для течения жидкости, примени.ю в известном смысле и для малой деформации твердого тела. Аналою<чно предыдущему мы будем представлять себе, что п(Ы) есть поле а<оростей, но теперь уже частиц твердого тела. Однако перемещение частиц твердого тела мы будем допускать лишь в течение некоторого малого промежутка времени е, в результате чего получается малое, но конечное смещение каждой точки Ы иа вектор еа(М). Это малое смещение точек твердого тела мы н будем рассматривать.
Итак, разница по сравнению с трактовкой течения жидкости заключается в следующем. Раньше промежуток времени а был бесконечно малым, т. е. стремящейся к нулю переменной величиной. Теперь в †мал постоянная величина. Раньше за время е происходила лишь бесконечно малая доля неограниченно продолжающегося процесса течения жидкое~и. Теперь за малый промежуток времени е происходит и заканчивается весь процесс смещения частиц твердого тела. Добавим к атому, что в данном случае нас интересует не сам процесс смещения, а только его результат, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
