1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Чтобы не загромождать изложения, мы ограничимся здесь, как и в других примерах этого параграфа, лишь такого рода ориентировочными рассуждениями. 2'. По-прежнему а(Я) †по скоростей стационарного движения жидкости, а р (Л4) — ее плотность. Тогда поток вектора р (Л4)а(Л) через поверхность 5 ~~ рип с~Я (1 6,3) Интегрируя затеи по всей поверхности Я и относя результат к единице времени (т.
е. деля на з), получаем (16,3). Возвращаясь к общему определению потока (16.2), отметим, что его (в целях последующих выкладок) можно переписать так: р= ~) ~яал Йо. (16.4) Здесь скалярное произведение векторов а и п записано как результат свертывания соответствующих тензоров. 5 дает массу жидкости, протекающую через 5 за единицу времени. В самом деле, подсчитывая массу жидкости, протекшую за время е через элемент поверхности с(8, мы должны умножить на плотность р соответствующий объем д)): р и'(г= арап д5'.
72 тгнзогы в тгьхмегном евклидоаои пгос!Рансгве [!'л. й 17. Поток аффинориого поля через поверхность Пусть теперь в области Рг, где выбрана поверхность Я, вместо векторного поля а(М) задано аффинорное поле Й(М), т. е. вместо поля одновалентного тензора а! — поле двухвалентного тензора а,р Мы определяем поток аффинорного поля Й (М) через поверхность 5 как взятый по этой поверхности двойной интеграл от элемента плон)ади дЯ, у,иноженного на результат действил аффинора Й на вектор единичной нормали п; р= ~ ) Р(иди.
Поток р аффннора Й(М) как результат интегрирования вектора Йп также будет вектором в отличие от потока р вектора а(М), который представлял собой число. Что же касается интегрирования вектора Йп, то, не вдаваясь в излишние разъяснении, его можно определить просто как интегрирование каждой из координат этого вектора по отдельности. Тогда формула (17.1) распадется на трн координатные формулы: р;= ~ ~ ~чР„игл дИ (ь=-1, 2, 3).
(17.2) и (т(ы выразилн здесь координаты вектора Йп согласно (3.13) при помощи тензорной операции свертывзния. В этой записи обнаруживается глубокое формальное родство понятий потока векторного поля и потока аффинорного поля. В самом деле, формула (17.2) прелставляет собой как бы повторенную в трех вариантах (при ! = 1, 2, 3) формулу (16.4). Этим родством мы в дальнейшем воспользуемся. Не нужно забывать, что величины аьо п„стоящие под знаком интеграла (17,2), меня!отса от ~очки к точке поверхности, хотя мы и не выписываем явно их аргументов.
Аналогично дело обстоит и в .случае (1 6.4). Теперь укажем важнейшее приложение понятия потока аффинора. Пусть в какой-либо сплошной среде имеются силы напряжения, характеризуемые полем аффинора напряжений $ с координатами у! Составим поток этого аффинора через какую-либо поверхность о', мысленно построенную нами в рассматриваемой среде. Тогда в силу (1 7.1) р =- ~ ') $п сЫ.
(17,3) % 18) ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО й 18. Теорема Остроградского Теорема Остроградского сводит вычисление потока векторного полн и (М) через замкнутую поверхность Ь, ограничивающую некоторое пространственное тело ьт, к тройному интегралу по этому телу от днвергенпин вектора а: ~ )г ап45 =. ~ ~ ~ б1Р аЫьт. ( 18.1) Здесь Ыю обозначает элемент объема, о — единичный век~ар внепшей нормали. Для доказательства удобно переписать (18,1) в координатной форме; 1,),) (дх ' дх.
дх У Г Г Г ! да,, да, дав~ Мы докажем сначала формулу (18.2] в частном случае, когда а, = а, =- О. Тогда она принимает вид 1 ~ а за, 43 = 1 ) 1 —,"ь й (18.3] На время можно забыть, что а — координата нектора а, а просто рассматривать ее ктк некоторую (непрерывно дифференцирусмую) функпию от коорлинат х,, к,„ х Предположим сначала, что поверхность О такова, Рис. 5.
чзо каждая параллель осн Хз пробивзет ее нс болсс чем в двух точках. Для краткости будем называть поверхность 8 в этом случзе правильно распо- ложенной. Проектируя 5 на плоскость Х,Х,, получим на послед- ней некоторую область й (рис. 5), Проводя параллели оси Хз через Но подынтегральнос выражение согласно (14.4) прелставляет собой силу напряжения, приложенную к элементарной площадке ТТЯ (которая предполагается ориентированной соответственно ориентапни всей поверхности 5).
Поэтому в результате интегрирования мы получаем раснодействугои(уа р всех сил напряжения, приложенных к поверхности 5. Таков смысл потока аффннора напряжений, у4 тензогы В тгехмегнои евклндозом пгостглнстви [гл. 1 точки М (хт, х ) области Р, мы отмечаем на каждой из них точки Ц, Г. пересечения с поверхностью Я, Пусть Г.т расположена «ниже» Г.з"), т. е, обладает меньшей координатой х, Когда точка М описывает область Р, Г.т описывает нижнюю часть поверхности о, которую обозначим о„а Аз — верхнюю часть, которую обознзчнм о,.
Г1ри этом и для Г.„и для Г.з координата ха меняется в зависимости от х,, х,: ха=у'т(хы х,) (для Гт); ха=А(хы хх) (для Г- ). (18 А) Уравнения, которые мы записали, определяют, таким образом, соответственно поверхности от н оа Функции у'г, гз однозначны по определению и непрерывны, как можно вывести из наших общих предположений о характере поверхности 8 (ф 16). Вычисляем теперь правую часть (!8.3), производя сначала интегрирование по х, при данных х,, х, от 1, до /„ а затем интегрирование по х„ х, в пределах области Р: 1 оп х) ') Ц вЂ” д = ) ') ') — г(х,х(х,ах,= О 1, 1х,, хд =- ~ ) (аз(хы хмЛ(хм ха)) — а,(хм хх,1;(хы х,))) х(ххххх, (18,5) о С другой стороны, рассмотрим левую часть (18.3), разбивая ее на два интеграла — по ох и по оа: ') ~ аапааЯ= ') ~ аапзао+ ~ ') аапаао.
(186) 3 3, 3„ 4о = ф' 1+(д ') + ~ — д) дх,г(х„ д)г д)г — — е, — — ее+ еа дхх дхх и— — ) ~дх ) (дх) (18.Т) (18.8) *' Илн в крайнем случае с ней совпадает (когда М лежит на границе области 0). Если функция хз —— ,1, (хы х,) облалает непрерывными частнычн производными 1-го порядка, то для соответствующей поверхности Ят элемент площади х1о' и единичный нормальный вектор и можно записать, как известно, в виде теогема остгогглдского Ь 18) Знак ~ соответствует тому или другому выбору положительного направления нз нормали. Отсюда, в частности, (18.9) Так как Я, образует нижнюю границу рассматриваемого объема, то внешняя нормаль будет направлена «вниз» (т.
е. в сторону убывания хз), н проекция л, вектора п на ось Ха будет отрицательной; в формуле (18,9) мы выбираем знак минус, Перемножая (18.7) н (18.9), получим; (! 8.10) ла зЯ= — ах,ах,, н следовательно, ~ ) аааааЯ= — ~ ~ аас(х,азха= 3, 3, =- — ) ( аа (х» хы У; (хы х )) с(х, ах,. (18.! 1) о В последней записи иы свели интеграл по поверхности Я, к двойному интегралу по переменным х, х,, которые пробегают область |>, когда точка пробегает поверхность 8,.
При этом пришлось уже явно указать, что а, берется для точек поверхности Яы т. е. аргументу х придается значение у,(х„ х,). Совершенно аналогично мы поступаем с ин~егралом по Я с той только разницей, что Я, ограничивает рассматриваемый объем сверху, вектор п будет направлен «вверх» (в сторону возрастания х,), н в формуле (18,9) мы должны будем взять знак плюс. Соответственно и в формуле (18.10) знак — заменяется на +, и мы получаем: ~ ~ а л 63 = ~ ) аа (хы ха, Уа(хы ха)) НхгИха. (18.!2) Лве последние формулы позволяют переписать (18.6) в виде ~ ~ аалз~Ы= — ~ ~ аа(х„х„,ут(х,, х,)) ~(Х,Ыхг+ 3 о + ~ ~ аа (хм ха, Уа (хы ха)) ах, ах .
о Сравнивая это выражение с (18.5), убеждаемся в справедливости формулы (18,3), которую нам и требовалось доказать, 76 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОН ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ.З При доказательство мы предположили, что ут(хт, хз) (и анало- гично Уз(хт, х,)) имеют непрерывные частные производные. В дей- ствительности это не везде соблюдается, так как поверхность Я, вообще говоря, лишь кусочно гладкая и, кроме того, на ней могут встречаться точки, особенно по линии соединения бт и Яз, в кото- рых касательная плоскость параллельна оси Хз, В таком случае доказательство равенства (18.12) (и аналогично (18,11)) следует видоизменитк сначала это равенство устанавлн- ваетса дла отдельных гладких кУсков 5,' повеРхности Ое н соот- ветствующих кусков г)о' области О, откуда почленным сложением приходим к равенству (18.12).
При доказательстве равенства для ОТДЕЛЬНОГО ГЛаДКОГО КУСКа Ое МЫ ОТНОСИМ ЕГО К ПаРаМЕтРаМ и,, и,, и) пРичем текУотие кооРДинаты хы хз, хз ЯвлЯютсЯ фУнкЦиами и, и с непрерывными частными производными 1-го порядка. Из дифференциальной геометрии известно, что тогда Ю =: 7 ЕБ — Г' йи, диз 1 г)(хо х) (18.13) где дит дхз ди, дх, д(х,, хз) ди, 3 (и,, ие) дх, диз д(и,, из) (18.!5) Отс1ода ~~азизе(8=~~ аз((д ' ' )ди,г)из — — ~~ аздх е(хе з10 В1О о1' Последний знак равенства поставлен на основании формулы преобразования переменных под знаком двойного интеграла, Этим ') См., например, П.
К. Р аш е в с к н а, Курс дифференциальной гео. петрин, изд. З.е, Гостехиздат, Л1. — Л., 1950, формулы (338), (350) и (360), В слУчае Яз мы беРем лз положительньык веРнее РеотРицатель- ным, так как лз = 0 в точках, где касательная плоскость параллельна оси Х,. Следовательно, (18,14) а значит, 77 8 18) теогвмл остгоггалского равенство (18.!2) доказано для отдельных кусков Я,, а значит, и~ и для 5х. Аналогично поступаем с Ях и его гладкими кусками 5; с той ш лишь разницей, что в формуле (18.14), а значит, н в формуле (18.15), в правой части добавляется знак минус, и мы л, приходим к (18.11). ьь Итак, формула (18.3) у нас доказана, правда, пока еь только для «правильно расположенныхэ поверхностей 5. Но она будет верна и для произвольной замкнутой по- а верхносги о, ограничиваю- х~ щей некоторое пространственное тело ы.
В самом деле, зто тело все~да можно разбить на куски шг таким обра- > зом, чтобы ограничивающие Ряс. б. их поверхности о'; были кправильно расположенными» (не вдаваясь в подробности, будем считать зто наглядно очевидным; см. рис. 6). В таком случая мы выписываем формулу (18,3) по отдельности для каждого куска ~ ~ ждая, (18.16) 5; и, и все зтн формулы складываем почленно. В правой части сумма интегралов по телам <аг даст соответствующий интеграл по го, а в левой части сумма интегралов по поверхностям 5т даст интеграл по поверхности 5. В самом деле, интегралы по дополнительным поверхностям, рассекающим тело го, берутся по дза рзза с противоположными знаками и в сумме уничтожаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
