1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Кроме дифференциального уравнения на искомую функцию чч накладываются обычно граничные и начальные условия, но этим мы заниматься не будем. дй Поэтому последний член в (20Л) равен )с —, так что окончательдх, ' но можно напнсатго дО (ц!ч Ы = (Х+)г) — +(хлте . (20.9) Отсюда, возвращаясь к векторной записи, получаем: ГЛАВА П АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО 12 ИЗМЕРЕНИИ Исходным пунктом асех геометрических теорий являются свойстаа протяженности мачернальных тел и притом н оснояном з том виде, как они были фиксированы я старейшей геометрической теории в в геометрнм обычного трехмерного евклидова пространства. В частности, и аффинная геометрия имеет тот же источник; а именно, анализ различных геометрических свойств обычного пространства показывает, что онн не ясе равноценны по степени своей усгойчпиости, по степени той прочности, с которой они связано с геометрическими фигураьш.
Одни, как, например, о~ношение любым образом расположенных отрезков, величина угла, свойство фигуры быть кругом или шаром и т. д., сохраняются лишь прн дяиженпях пространстяа как твердого тела (и преобразованиях подобия); другие, более устойчивые, как, например, отношение параллельных отрезков, параллельность двух пргщых, свойство фигуры быть прямой линией пли плоскостью и т. д., сохраняются, кроме того, и прн всех аффинных (линейных прн записи я декартовых координатах) преобразованиях пространства. Этот, более глубоко лежащий и более прочно связанный с геометрическими фигурами класс свойств и образует аффннную геометрию, которой мы будем заниматься а втой главе, Однако при построении аффинной геометрии мы не пойдем путем выделения аффинных свойств из числа еяклидоиых, напротив, мы сформулируем самостоятельнучо систему аксиом, достаточную для вывода всех аффинных свойств, и притом не только и трехмерном, но и в многомерном пространстве.
Позже — уже я следующей главе †построим на этой базе и еяклидоао пространство путем введения добавочных аксиом, 2 21. Точечно-векторная зксиоматика аффннного пространства Основными понятиями, не подлежащими прямому логическому определению, будут служить у нас лгочка и аеклгор. (Это, конечно, не означает, что понятия точки и вектора будут лишены у нас содержания, В нашей теории они будут определены носред- АФФинное ИРостРлнство и измеРений 88 [Гл.
и ством перечисления их свойств в аксиомах. При этом мы считаем, что теория вещественных (равно как и комплексных) чисел уже построена.) Тогда нам достаточно принять следующие аксиомы. 1' Существует по тленьшей мере одна точка. 2'. Каждой паре точек А, В, заданнык в определенном порядке, ~оставлен в соответствие один и только один вектор. Этот вектор мы будем обозначать АВ, но, если понадобится, будем пользоваться обозначенном и в виде о~дельной (жирной) буквы а, х и т. и. 3, Для каждой точки А и каждого вектора х существует одна и только одна точка В такая, что АВ=х. (21,1) Знак = между векторами (как и между числами) мы будем понимать в смысле тождества, например, в данном случае = означает, что АВ и х — это просто один и тот же вектор, В связи с этим иет надобности обосновывать особыми аксиомами свойства знака =- (например, транзитивность), так как это просто свойства логического тождества.
В дальнейшем мы именно так со знаком = и будем обращаться. Следует подчеркнуть, что при наглядном истолковании нашей аксиоматики вектор выступает не в виде направленного отрезка, а в виде параллельного сдвига, которому подвергаются все точки пространства. Поэтому наглядный смысл аксиомы 2' состоит в существовании (единственного) параллельного сдвига, переводящего данную точку А в данную точку В, а аксиома 3 в сущности означает, что каждый вектор х реализуется в виде сдвига, а именно, каждой точке А ставит в соответствие определенную точку В согласно (21.1).
Конечно, очень полезно иметь в виду эти наглядные истолкования наших аксиом, ио не нужно забывать, что мы дадим аксиоматику, достаточную для развертывания аффинной геометрии и независимо от каких-либо наглядных соображений (как н полагается делать при аксиоматическом построении математической теории), 4'. (Аксиоььа параллелограмма,) Если АВ= СО, то АС'= ВО, Очевидно, наглядный смысл аксиомы 4 в основном состоит в том, что ири равенстве и параллелизме одной пары противополож ных сторон четырехугольника то же имеет место и для другой пары.
21) ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНАЯ АКСИОЫАТНКА ПРОСТРАНСТВА Перечисленные четыре аксиомы образуют в известном смысле законченную часть нашей аксиоматики: остальные аксиомы относятся к умножению вектора на число и тем самым носят иной характер. Поэтому, прежде чем перечислять остальные аксиомы, рассмотрим следствия аксиом 1' — 4'.
Т е о р е м а. Векторы АА и ВВ для любых точек А, В равны между собой: АА =. ВВ. (21. 2) Для доказательства достаточно применить зксиому 4', положив С= А, О: — В. Тогда, очевидно, справедливо равенство АВ= СТ) (так как оно сводится к АВ = АВ), а следовательно, по аксиоме 4' справедливо и АС=ВВ, т, е.
АА=.-ВВ. Определение. Вектор АА (как было показано, один и тот же при любом выборе точки А) носит название вектор-нуль и обозначается АА =- О, (21 3) Откладывая вектор О от любой точки Л4, мы получаем В ач стае результата вектор ММ. Действительно, этот последний вектор равен О, а так как отк,тадывание данного вектора происходит единственным образом (аксиома 3'), то других возможностей представиться не может. Теорема.
Если АВ= Со, го ВА=.ВС, Доказательство. Применяя аксиому 4' к АВ=-СО, получим АС = Во, или, что то же, ВО= АС, откуда снова в силу аксномы 4' следует ВА = ОС. О вреде.ч е н и е. Вектор ВА мы будем называта обратным ао отношению к вектору АВ. Вектор, обратный вектору х, обозначаем — х. Для каждого вектора х существует один н только один обратный ему вектор †.
Действительно,. представляя х в различных видах х=АВ==СО=- АФФНННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ 88 [гл. и мы тем не менее получим лишь один обратный вектор — х = ВЛ = йС = согласно ~олька что доказанной теореме. О и р е д е л е н н е. Пусть нам заданы два каких-нибудь вектора в определенном порядке, например, х, у. Выберем произвольно точку А н отложим от нее вектор АВ = х (аксиома 3'), а затем от точки В в вектор ВС= у (аксиома 3'). Точки А, С определяют вектор АС (аксиома 2'), который мы будем называть суммой х + у вектора х и вектора у (именно в этом порядке взятых).
Итак: х+ у ==ЛС, или, что то же, АВ+ ВС =- АС. (21А) Т е о р е и а. Вектор х+ у не зависит от выбора гочки А (гак что сложение векторов — операция однозначная), )Т о к а з а т е л ь с т в о. Повторим построение суммы при другом выборе точки А и, следовательно, с другими точками В и С, Новые точки будем обозначать штрихованными буквами.
Тогда аналогично (21.4) А'С' =- А'В'+ В'С', причем А'В' -= АВ=- х, В'С'=-ВС= у. Отсюда согласно аксиоме 4' следует, что А'А =- В'В=С'С. Применяя снова аксиому 4' к равенству Л'А =. С'С, получаем: А'С' =. АС, т. е. результат сложения векторов х, у не зависит от выбора начальной точки А. Те о р е м а. Сложение векторов — операция коииутитивнач; х (- у -.- у + х.
(21.8) 8 21) точечно-вектогнля лксионлтикл пеостелнствл 89 Д о к а з а т е л ь с т в о. Из произвольной точки А откладываем (аксиома 3') АВ= х, затем ВС=-у, так что АС=.х+у, (21.6) кроме того, из той же точки А отклалываем А7) =-у. Так как Ал) = ВС=у, то (аксиома 4') АВ=-7)С, т.
е. ОС= х. Можно считать, что из точки А отлолсеи сначала вектор ЛВ=у, а затем л)С х, так что по определению сложения АС.= у+ х. Сравнивая равенство (21.7) с (21.6), получаем: к+у=у+х. Т е о р е м а. Сложение векторов — операция аееониативная: (х+ у) +х =- х+(у+ в). (21. 8) Доказательство буквально такое же, как и в элементарной век~орной алгебре; повторять его мы не будем. Лссониативность сложения при любом числе слагаемых векторов является простым следствием соотношения (21.8). Короче говоря, сложение векторов, как оно у нас установлено, обладает всеми обычными свойствами. В дальнейшем мы будем обращаться с ним столь же непринужденно, как и в обычной векторной алгебре (не делая каждый раз ссылок на соответствующие теоремы). Отметим, в частности, что х+ О == х.
(21.9) Действительно, представим вектор х (аксиома 3') как АВ, а вектор Π— как ВВ, Н силу (21.4) АВ+ ВВ= — ЛВ, и тем самым х+О х, Далее, всегда справедливо равенство х+( — х) =- О. (21.10) Действительно, представим х как АВ; тогда †по определению представится как ВА; но ЛВ+ВА=АА (согласно (21.4)), а значит, х+( — х) = О. лс »инное пгостглнство п измегений (гл. и 9О О п р е д е л е н и е. Вычесть вектор у из вектора х значит найти вектор х такой, чго х+у =х. (21.11) Вектор х мы будем называть разностью х — у. Т е о р е м а. Вычитание — всегда вьтолнимая и притом однозначнал операция.
Доказательство. Допустим сначала, что разность х найдена. Добавим к обеим частям (21,!1) вектор — у. Получим: х+ у+ ( — у) = х+ ( — у). В силу ассоциативности сложения можно в левой части сложить сначала у и — у. Это дает О в силу (21,10), после чего согласно (21.9) в левой части остается просто х. !!олучаем в результате х = х -1- ( — у), т. е. если разность х существует, то она обязательно имеет такой вид. Остаемся показать, что х+( — у) действительно есть разность. Это легко проверить, складывая х+( — у) с у н убеждаясь, что в результате получается х. Итак, х — у=х+( — у). (21.!2) Отметим, в частности, что х — х = х+ ( — х) = О.
(21. 1 3) 2 22. Точечно-векторная аксиоматика аффнииого пространства (окончание) Мы переходим теперь ко второй группе аксиом, связанной с операцией умножения вектора на число. Под числами мы будем здесь понимать илн вещественные числа †тог полученное аффинное пространство называется вещественным — нлн комплексные числав тогда полученное аффинное пространство называется комплексным. В изложении мы не будем разделять эти два случая до тех пор, пока разница между ниии не начнет сказываться (а зто наступит еще не скоро).
Если мы изучаем вещественное аффинное пространство, то везде в лальнейшем изложении (а не только в формулировке аксиом] под «числами», «численнычи значениями функций» и т. п. нужно понимать вешестиенные числа; если же речь идет о комплексном аффинном пространстве, то везде имеются в внлу комплексные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
