1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3 и, и. гммсы хвя 66 теизогы В тгехмегном ьаклидовом пгостганстзе [Гл. щения частиц тела. Следовательно, ускорении частиц тела выражаются в зависимости от их перемещений, что и приводит к основным дифференциальным уравнениям теории упругости. Итак, речь идет о зависимости тензора напряжений Уу (э 14) от тензора деформаций Б, ($ 13). В первом приближении (как это большей частью и делается в теории упругости] эту зависимость можно считать линейной. Для однородных и изотропных тел она имеет вид 7, =) 06г +2)Ыу, (15.1) Здесь Х и )г — коэффициенты Ламе, постоянные для данного тела, а 0 — относительное объемное расширение (13.7): 0 — ~~лбы.
(! 5.2) Разумеется> 0 †инвариа преобразования координатной системы и по своему геометрическому смыслу, и как след аффинора )В. Обратим внимание на инвариантный характер зависимости (15.1): в какой бы координатной системе ни вычислять,~г по этой формуле, они всегда будут служить координатами одного и того же тензора. В самом деле, г, получаются сложением координат двух тензоров, из которых одйн — единичный тензор 6г, умноженный на инвариант ХО, а другой — тензор деформаций Ь,|, умноженный на инвариант (и даже константу) 2[а.
Операция носит, таким образом, тензорный характер. Легко заметить, что три взаимно ортогональных собственных направления являются общими для тензора деформаций н для тензора напряжений (главные оси деформаций и напряжений), В них картина деформапий н напряжений становится особенно простой. На обосновании формулы (15.1) мы останавливаться не будем, отсылая за этим к курсам теории упругости. Несколько иной вид принимает зависимость (15.1) в случае жидкости (вообще говоря, вязкой). Аффинор напряжений $ состоит здесь из двух слагаемых $"', ям', первое из которых представляет собой реакцию жидкости на изменение ее формы. Его мы сейчас н рассмотрим. Жидкость не оказывает сопротивления изменению ее формы, если это изменение уже произошло, однако оказывает сопротивление в самом процессе изменения, что и выражается в силах внутреннего трения.
Поэтому та часть тензора напряжений, которая связана с силами внутреннего трения, будет зависеть не от аффинора деформаций х), а от аффннора скоростей деформации 03 (12.7) с координатами (15.3) 15) зависимость тензотов нлптяжений и даьотияций 67 Здесь, как и в $ 12, а, †координа вектора поля скоростей а (Л4). При этом нужно учитывать лаже не весь аффинор скоростей деформации х), а только ту его часть е)'", которая отвечает изменению формы элемента жидкости,. откинув другую часть х)'", отвечающую лишь изменению объема.
Говоря точнее, мы разлагаем аффинор 6 на два слагаемых: )() й)(1> ( Ц(Э (15.4) таким образом, чтобы х)'" имело вид Я)ы' = ЬЕ (15, о) ф Е+е9'" =(1+еЬ) Е, (15.6) который означает преобразование подобия с изменением линейных размеров в отношении 1 +еЬ, Коэффициент Ь в формуле (15.5) ыы выбираем так, чтобы это преобразование подобия могло принять на себя все изменение объема элемента жидкости. Тогда оставшееся слагаемое х)"' определяет как бы чистое «изменение формы» элемента жидкости без изменения объема.
За возникновение сил внутреннего трения мы будем считать ответственным именно это первое слагаемое Э'и. Действительно, второе слагаемое й)'т' означает лишь преобразование подобия, т. е. равномерное объемное расширение (сжатие) элемента жидкости; это изменяет лишь давление р (в более детальной теории соответствующее слагаемое в р рассматривается отдельно). Подсчитаем теперь коэффициент Ь. Преобразование подобия (15.6) означает изменение объема в отношении (1+Ье)' 1+ЗЬе.
(15.7) Ь)ы откинули здесь бесконечно малые высшего порядка относительно е. Поскольку преобразование подобия (15.6) мы подбираем так, чтобы оно приняло на себя все взменение объема, нам приходится положить; ЗЬ=б)та=~бы. (15.8) Действительно, как видно из (15.7), прн нашем преобразовании подобна относительное объемное расширение за время в равно ЗЬа. и, следовательно, вызывало бы в элементе жидкости происходящее с известной скоростью преобразование подобия.
Действительно, как мы знаем из 2 12, за бесконечно малый промежуток времени е элемент жидкости подвергается деформации при помощи аффинора Е+ех); в том числе за счет х)"' получается а финор 68 тензогы в тгехмееном евклидовом пгостглнстве [гл. 1 Оно должно совпадать с имеющим место в действительности относительным объелшым расширением (12.8), откуда и получаем (15.8), Итак, мы от аффинора скоростей деформации 6 отшепляем аффи нор 8ч" = — б!ч а. Е, 3 (15.9) принимаюгггий н» себя все изменение объема элемента жидкости, а ос~зашибся аффннор ймы=) — --Й!ча Е, ! 3 ( ! 5.10) означающий лишь изменение формы без изменения объема, считаем целиком ответственным за возникновение сил внутреннего трения. В гидродинамике принимается, что в изотропной вязкой жидкости первая часть ~'г1 аффинора напряжений )(ч вызванная силами внутреннего трения, пропорциональна аффииору (В'и: Я~'" = 2)г3'" = 2р (3 — — б!та Е~, 3 (15.11) Коэффициент (г — для данной жилкости величина постоянная— называется ее коэффициентом вязкости.
Если записать (15.1!) в координатной форме, то получим: ~<,.'1= 2р, ~Агу — 6!ча 6,,~, 1 (15. 12) (15.18) данном случае нв рр где р =-р(Л!) — давление в данной точке жидкости (в после исключения снл внутреннего трения). В координатной записи: -!3! уи ' = — рбгу (15.14) окончазельиое Складывая почленно (15.11) и (15.13), получим выражение тензора напряжений: ~г =. 2п '~~ — — сйча Е~ — рЕ. ! (15. 15) где Ьг определяется ио формуле (12.7), а бг — координаты единичного аффинора Е.
Как легко проверить, пользуясь (15.8), след аффинора ф"г равен нулю. Вторая часть $п' аффннора напряжений ~, не связанная с силами внутреннего трения, принимается такой же, как и в идеальной жидкое~и, где эти силы полностью отсутствуют. В силу (1Ф,12) получаем: 69 ф 16) ПОТОК ВЕЬТОРНОГО ПОЛЯ ЧВРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ Соответственно в координатах: -2)е д" — —,г)1та б . — рб. = 1 Ы З ~У) О Уда! дпу 1 29 =Р( — + — ) — — б)та б..— Р6, (1м16) (,дхт дхг) 3 г/ ы' Так как след аффпиора )уп' равен нулю, то след гу совпадаег со следом )у'", т. е. имеег значение Зр. Отс!ода давление р в каждой точке монгно вычислить по формуле ! ч р- — з,Р Лг (16.17) В случае несжимаемой жидкости, плотность которой р (М) = сопя(, давление р(М) связывается с вектором скорости дифференциальными уравнениями ивин<ения жидкости,— ичи мы еще будем заниматься.
В случае сжимаемой жидкости р(М) связано, кроме того, с плотностью р(М)~сола! определенными соотношениями, когорыми мы заниматься не будем. й 16. Поток векторного поля через поверхность Возвратимся к общей теории векторного поля а(М), Пусть нам дана некоторая ограниченная кусочно гладкая поверхность 5. Это значит, что она склеена из конечного числа ограниченных кусков, на каждом из которых (включая границу куска) она обладает непрерывно меняющейся касательной плоскостью. Говори более точно, мы требуем, чтобы поверхность могла быть склеена из конечного числа кусков, каждый из которых при подходящем выборе координатных осей можно задать уравнением х, =.Г(хь хе), гдв у (х„ха) — функция с непрерывныии частнымн производныии 1-го порядка, определенная в некоторой области 19 на плоскости х,, х.,; прп этом й ограничена кусочно гладким (не самопересекающимся) контуром. Функция У определена на 19, включая и ее границу.
Далее предполагается, что склеивание производится так, по кусочек поверхности в окрестности каждой точки склеивания допускает взаимно однозначное и непрерывное отображение на кружок. В дальнейшем мы будем рассл1атривать только такие поверхности. Кроме того, мы будем считать, что поверхность двусторонняя и, следовательно, ее нормаль (определенная во всяком случае на каждом отдельном ее куске) может быть снабжена положительньщ направтепием так, ето единичный вектор и, идущий В этом напраи- уо ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕЭК'!НДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. ! р = ~~ аль.
(16.'2) Так как п †единичн вектор нормали, то скалярное произвеление ап выражает как раз проекцию вектора поля а на положительное направление нормзли к поверхности. Двойной интеграл по поверхности слелует понимать как сумму соответствующих интегралов по гладким кускам, составляющим поверхность. Значение введенного нами понятия выясняется из следу.юигих примеров.
Рис. 4. 1', Пусть а (М) — поле скоростей стационарного движения жидкости Я 12). Тогда поток р выражает объем жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность с отрицательной ее стороны на положвтельную (еслн жидкость сжимаемая, то объем каждой «капли» жидкости мы оцениваем в момент ее протекания через поверхность 5). Разумеетсв, если течение жилкости происходит в обратном направлении, то поток засчитывается с отрицательным знаком, В самом леле, за бесконечно малый промежуток времени е частицы жидкости, находящиеся на элементе поверхности до', сместятся на вектор еа (рис, 4). В результате этого через площадку до вытеснится некоторый объем жилкости, заключенный в наклонном цилинлре с осноззнием дд и с образующей, которая совпадает с вектором еа. В!от объем д[т мы найдем, умногкая площадь осно- пении, указывает в местах склейки «в олпу и ту же сторону» от поверхности, независимо от того, какому из скяеиваемых кусков он принадлежит.
Конечно, предполагается, что в прелелах кажлого отлельного куска вектор п меняется от точки к точке непрерывно. Если поверхность ограничивает неко~орое пространственное тело, то вектор и мы будем направлять по внешней нормали, если же нет, то предполагаем, что выбор и произведен каким-нибудь одним из лвух возможных способов.
Поверхность $ мы будем называть в этом случае ориентированной и только такие поверхности будем рассматривать. Если поверхность 5 помещена в той облзсти 1», в которой залано векторное поле а(М), то для этой поверхности можно опрелелить важное понятие щ>тока векторного поля. Потоком векторного поля а (М) через даккуго поверхность 5 называется взятый по этой гговерхкости двойкой интеграл от элемента площади дЯ, умноженного на кормильную составлвощую вектора поля а (М); э 16) поток вхктогного поля чяехз повхгхность 71 вания цилиндра И5 на его высоту Ь, которая равна проекции образующей еа на перпендикуляр к основанию сЮ, т.
е. на нормаль к поверхности: Ь =- аап, с( И = Ы5 = еап сЫ. Интегрируя полученный элементарный объем по всей поверхности 5, мы видим, что полный объем жидкости, протекающий через Л за время е, равен е ~~апИ5, а за единицу времени он, следовательно, равен потоку р, как видно из (!6.2). Рассуждение, которое мы сейчас провели, нельзя, разумеется, считать доказательством, так как оно было проведено чрезвычайно грубо; мы путали маленький кусочек кривой поверхности т)Я с кусочком плоскости, переменный вектор а (Л4) считали в пределах с(5 постоянным, а в заключение суммирование по кусочкам поверхности подменили двойным интегрированием. Однако это грубое рассуждение содержит правильную идею, и, уточняя его, можно было бы показать, что все допущенные нами ошибки исчезают при предельном переходе к интегралу, так что окончательный результат является правильным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
