1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Можно употреолять вместо чисел вообще злементы некоторого ал- э 22] точечно-ввктотнля лксиомлтикл пгосттлнствл 91 гебраического поля — тогда мы получим аффинное пространство над этим полем. Последнее построение нам, впрочем, не понадобится. 5'. Каждому вектору х и каждому числу а 'поставлен в соответствие определеннвчй вектор. Этот вектор мы будем обозначать ах и называть произведением вектора х на число а.
6. 1х=х. (22.1) Важнейшее значение этой аксиомы не в том, что умножение на единицу не меняет вектора, а в том, что различными произведениями векторов на числа ножно исчерпать все векторы (а не только их подмножество, как это было бы возможно, если бы аксиому 6' исключить). 7' 8' (а + р) х = ах+ ()х а(х+у) =ах+ау (22,2) (22,3) Аксиомы 7' и 8' выражают два дистрибутивных закона: один— для умножения вектора на сумму чисел, другой — для умножения суммы векторов на число. Из них немедленно следуют аналогичные правила при любом числе слагаемых. а (()х) = (ар) х, 9О (22.4) т.
е. последовательное умножение вектора на числа р и а сводится к его умножению на их произведение. Выведем некоторые следствия. Прежде всего при любом х Ох = О. (22.5) В самом деле, взяв произвольное число а, составим выражение ах+ Ох = (а + О) х = ах.
(22.6) согласно (21,13). Тем самым (22.5) доказано. Далее, отметим, что при любом а аО= О. (22. 7) Действительно, взяв произвольный вектор х, составим выражение ах+ аО =- а (х + О) = их. Мы воспользовались здесь аксиомой 7'. То, что а+Π— а, рз- зумеется, нам известно нз арифметики чисел и здесь в обосновании не нуждается. Итак, ах+ Ох = ах, т. е. Ох =- ах — ах.=- О, 92 АФФннное пРОЕТРАИЕГВО и нзмРРеннй (гл. и Мы воспользовалксь здесь сначала аксиомой 8', затем свойством (21.9). Получаем, что аО = ах — пх =- О, н (22.7) доказано. Очевидно, что установленные нами аксиомы и их следствия позволяют беспрепятственно производить по обычным правилам выкладки над векторами с участием операций сложения и умножения на число. Мы н будем в дальнейшем это делать уже без скрупулезных ссылок на аксиомы.
Но еще одну очень важную аксиому, которой нам не хватает, мы долхгны сейчас рассмотреть, Речь идет о том, что наши аксиомы справедливы для точек и векторов аффинного пространства любо~о числа измерений и = О, 1, 2, ... и дзже и =- оо, Поэтому, если мы хотим остановиться на пространстве определенного числа измерений, то нам придется ввести еще одну соответствующую аксиому. 1)о предварительно нужно сформулировать важные понятия линейной зависимости и линейной независимости векторов. О п р е д е л е н и е. Пусть дано некоторое число векторов хт, х, ..., х . Зги векторы называются линейно зависимыми, если можно подобрать числа ат, а,, а так, чтобч1 имело место соотношение ахт+а х +...
+а,х„=О, (22.8) причем среди чисел и, ат... ам хоть одно не равно нулю. Если же такик чисел подобрать нельзя, то векторы х, х,„..., х,„навь1ваются линейно независимьГми. Смысл линейной зависимости векторов состоит в следующем Так как в соотношении (22.8), по крайней мере, один коэффициент отличен от ну.чя, то будем считать для определенности и ~ О. Прибавив к обеим частям равенства (22.8) вектор — а,хт, получим: Ятх2 + ' ' +22 х Я1х1 1 Умножнм полученное равенство на — — почленно; а, и2 ат — — Ха —...— — Ха-=я,, Я1 Я2 Обозначая для кра1косп1 и2 ам Р2 можно записать окон1ательно х, = рах2+...
+ ()ат . (22.9) ч 22) точвчно-вяктогнля ьксиомлтикь пгостгьнствь 93 Таким образом, при .линейной зависимости векторов один из них (но, вообще говоря, не любой!) может быть выражен в виде линейной комбинации остальных, т. е., говоря коротко, разложен по ним. Обратное также верно: разложение вида (22,9) означае~, очевидно, наличие линейной зависимости между х, х„ ..., х . Обращая эту характеристику линейной зависимости, получаем, что линейная независимость векторов равносильна тому, что нп один из ннх не может быть разложен по остальным, так что все они играют, так сказать, самостоятельную роль. Теперь мы мох<ем сформулировать аксиому размерности, 10' (Аксиома размерности).
Существует и линейно независиммк векторов, но любые и+ 1 векторов линейно зависимы между собой. Целым неотрицательным числом и можно задаться произвольно, так что аксиома размерности существует в бесчисленном количестве вариантов, Мы будем называть п-мерньья аффинным пространством л~ножество точек и векторов, удовлетворлющил аксиомам 1' — 10'. Чеы больше и, тем большее многообразие векторов, а следовательно, и точек мы имеем в своем распоряжении.
Важно заметить, что аксиома !' гарантирует нам существование лиц~ь одной точки (обозначим ее А), а следовательно (совместно с 2'), и лишь одного вектора АА=О. То, что у нас имеются и другие точки и векторы, вытекает исключительно из первой половины аксиомы размерности и притом в случае и > О. Если же п = О, то из аксвомы размерности следует, напротив, что всякий вектор х члннейно зависимый», т.
е., попросту говоря, совпадает с О, и точка А — единственнзя; нульмерное аффинное пространство содержит лшиь одну точку А и один вектор АА = О. В дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, случай п>О. Мы получили довольно простую и легко обозриму1о акспоматпку и-мерного аффинного пространства. Это объясняется отчасти элементарностью самого предмета, отчасти тем, что мы допустилн некоторую хитрость, включив в аксиоматику операцию с участием числа. Если бы мы задались целью построить чисто геометрическую аксиоматику, то дело не обошлось бы так орос~о. Не следует рзссматрнвать нашу аксноматику как нечто особенно принципиальное и глубокое.
Мы хотели сказзть ею лишь то, что в п-мерном аффинном пространстве зюжно обращаться с точками и векторами в основном так же, как и в обычной векторной алгебре (в ее аффинной части), с тем лишь отличием, что максимальное ~исло линейно независимых векторов — не обязательно трн, а любог и. АФФНННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [гл. и И именно, чтобы сказать это, мы перечислили те основные свойства точек и векторов, из которых очевидным образом можно вывести все остальные их (аффинные) свойства.
Это перечисление и составило нашу аксиоматику. й 23, Аффяяяая координатная система Цель этого параграфа в рассмотреть в п-мерном аффинном пространстве наиболее естественные координатные системы, геометрически связанные со свойствами пространства. Указания для первой ориентации в этом направлении дает нам аксиома размерности. В самом деле, согласно ей в нашем пространстве существует и линейно независимых векторов, Выберем их каким-нибудь образом и обозначим ед, ее, ...
„ е„. Присоединяя к этим векторам любой вектор х, мы получим и + 1 уже линейно зависимых векторов согласно второй половине аксиомы. Запишем эту линейную зависимость ах+а„е,+... +п„е„=О (23.1) (начиная с этого параграфа, мы перестаем писать стрелку над вектором-нуль). Мы утверждаем, что сечь О.
Действительно, если бы а = О, то у нас осталась бы линейная зависимость между ее, ..., е„, что противоречит выбору этих векторов. Выражая теперь из нашей линейной зависимости х через остальные векторы, мы получаем его разложение (совершенно аналогично выводу (22.9) из (22.8)): х=хгет+хеее+ .. +х"е„. (23.2) Через х', хе, ..., х" обозначены коэффициенты разложения; х' = — — и т.
д. Запись индекса наверху является не случайной; а, а она, как мы увидим, будет указывать на характер преобразования этих коэффициентов. Итак, любой вектор и-мерного иффинного пространства может быть разложен по и как-либо выбранным линейно независимым векторам. В случае п=1 любой вектор х может быть записан в виде х=х'е„ (23.3) что соответствует положению вещей на прямой линии, где все векторы коллинеарны между собой.
В случае и = 2 любой вектор х разлагается по двум данным линейно независимым векторам: х = х'е, + х'ез, (23Р4) 5 23] АФФИННАЯ КООРДИНАТНАЯ СИСТЕМА 95 что дает картину плоскости, аффинную геометрию которой мы в этом случае и получаем. В случае и = 3 любой вектор х можно разложить по трем данным линейно независимым векторам; х=-х'е,+хье,+х'е . Геометрия трехмерного аффинного пространства, которую мы в этол1 случае получаем, и есть геометрия нашего обычного пространства с сохранением лишь ее аффинных свойств (о чем шла речь в начале этой главы). Возвращаемся к и-мерному случаю. ]ч(ы будем называть аффинным репером совокупность какой-нибудь точки О (начало репера) и каких-нибудь п занумерованных линейно независимых векторов е,, е,, ..., е„ (которые для наглядности будем представлять себе отложенными из начала О).
Луста некоторый аффинный репер нам задан. Тогда любой вектор х разлагается по векторам репера согласно (23.2). Коэффициенты разлозсения хт, хз, ..., хь мы будем называть аффинными координатами вектора х относительно данного репера. Эти координаты определяются единственным образом. В самом деле, если бы вектор х допускал два различных разложения х=.х'е -]-... -]-х"е„=х'е,-]-...
+х"е„, где не все х' были бы равны соответствующим х', то оказалось бы, что еы ..., е„ линейно зависимы, так как (х' — х') е +... + (х" — х") е„О; но это невозможно. Обратно, вектор х однозначно определяется своими координатами согласно (23,2), так что соответствие между векторами х и совокупностями их координат (х', х'. .. х") является взаимно однозначным. В частноспй вектор-нуль имеет все координаты, равные нулго. Посмотрим, как выглядят операции над векторами с точки зрения их координатного задания. Пусть даны два вектора; х = х'е, -]- ... + х"е„, (23.6) у=у'е,+... +у"е„. (23.7) Складывая эти равенства почленно и преобразуя правую часть при помощи известных нам правил, получим: х+ у = (х'+ у') е, +...
+ (х" +у") е„. (23.8) Йто означает, что координаты суммы двух (и аналогично несколькик) векторов получаются сложением соответствуюи]их координат этик векторов. АФФннное НРостРАнсгво и нзнеРений [гл. и Далее, умножая (23.6) на какое-либо число а, мы получим: ах= ахгег -[-... -[-ах"е„. (23.0) Это означает, что при умножении вектора на число а каждая его координата умножается на это число. Объединяя операции сложения и умножения на число, рассмогрнм составление линейной комбинации данных векторов.
Пусть нам дано ль векторов: ! > т л х, =х,е,— х,еь+... +х,е„, ь ч хь == х,е, -, х,еь+ ° .. + хье„, (23.10) хм=-.. х,„е, + х„,етч ... +х есс Составим нх линейную комбинацию х с произвольными коэффициентами а, а, ..., а: х = адхг -[- аях,-[- ... + а х . (23.11) Умножая разложения (23.10) соответственно на а,, а,, ..., а„ н складывая почленно, убегкдаемся, что координаты нашей линейной комбинации х: х',х', ...,х" (23.12) образуют линейную комбинацяю строк матрицы [х,'х,'...х", (23.13) 1 2 л хх ...х С ТЕМИ жЕ КОЭффНЦИЕНтаМН а„агн ..., ам, а ИМЕННО: х' = а х', + а х', +...
+ а х„',. (23. 14) ПУсть вектоРы хы х, ..., х линейно зависимьГ. Тогда коэффициенты а„а„..., а (не обращающиеся одновременно в нуль) можно подобрать так, что будет равна нулю линейная комбинация х, а вместе с нею и все ее координаты (23.12). Это значит, что обращается в нуль линейная комбинация строк матрицы (23,13), а следовательно, между строками этой митриньл имеется линейная зависимость. Существование линейной зависимости между строками матриГ(ы (23,13) не только необходилго, но и достаточно для линейной зависимости векторов х, х, ..., х, в чем сейчас же убеждаемсн, проводя рассуждение в обратном порядке. б 24) ПРЕОВРАЗОВАНИЕ АФФНННОГО РЕПЕРА 2Т Мы ввели координаты для векторов; но это нетрудно теперь сделать и для точек, Пусть М вЂ люб точка нашего пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
