1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В общегл случае мы будем говорить, что нам дан одновалентный контравариантный тензор, если в каждой координатной системе нам заданы и чисел а', аг, ..., а", занумерованных при помощи одного индекса и преобразующихсл при переходе от одной координатной системы к другой по закону (27.2) Числа а' мы будем называть координатами нашего тензора э 27) ОБщее пОнятие О тензоге В обозначении контравариантные тензоры отличаются от ковариантных записью индексов наверху. Этим соглашением мы фактически пояьзовались и ранее (хотя смысл его раскрывается лишь теперь) и систематически будем пользоваться в дальнейшем, Термин «контраварнантный», т, е. «протнвопреобразующийся», напоминает о том, что координаты контравариантного тензора а', а», , а" преобразуются не так, как векторы репера е„ е.„ ..., е„, а при помощи (транспонированной) обратной матрицы (о чем подробно говорилось в 2 24 в применении к координатам вектора х', х', ..., х").
Как уже отмечалось, координаты х' любого фиксированного вектора х образуют одновалентный контраварнантный тензор. Но верно и обратное: координаты любого одновалентного контравариантного тензора а' можно истолковать как координаты х' некоторого фиксированного вектора х. В самом деле, построим в какой-нибудь исходной координатной системе вектор х с координатами х = а . Тогда это равенство продолжает соблюдаться и в любой координатной системе ввиду одинакового характера законов преобразования (27,1) и (27,2), Ясно, что определение й раз контравариантного тензора аьл .. 'ь может быть теперь без труда формулировано аналогично определению й раз ковариантного тензора абп ...
б единственно с той разницей, что закон преобразования вместо (26.26) булет иметь вид (27.3) повторяя, таким образом, длн каждого из индексов закон (27.1). Мы, однако, не будем останавливаться на этом более подробно, так как общее определение тензора, обяадающего и ковариантнычи и контравариантнымн индексами в любом числе, покрывает все до сих пор перечисленные частные случаи. Начнем с примера, в дальнейшем весьма важного. Л1»» будем называть аффинором Й закон, ставящий в соответствие каждому вектору х нашего пространства определенный вектор у: у =Йх, (27.4) причел~ зависимость у от х носит линейный характер, т, е.
собмодаются условия: Й (хт+ х») Йх, + Йх, (27.5) Й (их) == ай(х (27,6) для любыл х„х, х, а (сс — число). Ас винное пгостглнстэо л 1!Зл1вгений (гл. и Йе.= а'е, —',-... +а".е =. пле,. 1, '''; и (27.7) Тогда, учитывая, что, как обычно, х = х'ео п пользуясь свойством линейности аффннора Й, мы можем написать: у = Йх =- Й(х'е;) =-х'Яел =-хга(е,. Так как, с другой стороны, у =у'е, то, сравнивая оба разложения, получим: ул = атх'. (27.8) Таким образом, координаты вектора-функции у выражаются линейно через коорд|шаты вектора-аргуллента х с коэффициентами а! .
Эти коэффициенты а( мы будем называть координатами аффи нора Я. Выясним теперь закон их преобразования, Запицлелл (27.7) в новой системе координат: Яеп =- а~ге, . Пользуясь формулами (27.9) а также форлгулами (27.7), мы можем, с другой стороны, написатлк Яеи =- Й (Л,' е;) ==- А,' Р(ег с- и(,', а(е = Л,'. а; 'А,' ер, Сравнивая это разложение с разложением (27.9), мы можем приравнять коэффициенты прн одинаковых векторах нового репера, Г!олучаем: (27.10) Это и есть искомый закон преобразования координат аффинора, Мы видим, что нижний индекс участвует в преобразовании по схеме (26.10), т.
е. как ковариантный, а верхний индекс †схеме Рассмотрим аффииор Я в коорднна гной записи, т. е. выразим координаты у~ вектора у как функпии координат хг вектора х в какой-нибудь координатной системе. Г(ля этой цели разложим предварительно векторы Яе; (т.
е. результат действия нашего аффинора на векторы репера) по векторал1 репера. Коэффициенты разложения обозначим а'. 8 27] ОБщее пОнятие О тьнзоге (27.1), т. е как контравариантный. В связи с этим совокупность координат аффинора а';, заланную в каждой координатной системе, мы будем называть тензором один раз ковариантным и один раз контравариантным. Как мы видим, закон, преобразования для коорлинат аффинора а'; существенно отличается от закона преобразования коэффициентов билинейной функции апп хотя в обоих случаях мы имеем двухвалентный (т, е.
с двумя инлексами) тензор. Заметим, что мало того, что коорлинаты аффинора подчинены закону преобразования (27,10), но и, обратно, величины а',, подчиненные этому закону, всегда представляют собой координаты некоторого аффинора ЯЛ. Чтобы убеди~ься в этом, достаточно опрелелить е( формулами (27.8) в какой-нибудь одной исходной координатной системе. Тогда величины и'; продолжают служить координатами аффинора и в любой другой координатной системе, так как преобразуются по тому же закону (27.10), как и координаты аффинора.
Отметим еще важный частный случай, когда аффинор означает тождественное преобразование, т. е. когла у =йх==х, а следовательно, ут= хт, Сравнивая этн формулы с (27 8), мы замечаем, что в нашем случае в любой координатной системе . (27,11) Таким образом, мы получаем пример тенчора один раз ковариантного и один раз контравариантного, имеющего в любой координатной системе одни и те же координаты 6';. Этот тензор мы будем называть единичным То, что числа Ь'; действительно подчиняются закону преобразования (27.10), оставаясь в то же время неизменными, легко проверить и непосредственно. В самом деле, вычисляя правую часть (27.10), получим: Мы сначала применили соотношение (27,11) и сохранили в сумме лишь члены, где с =7' (обозначив нх общее значение через й), а затем использовали (24.10).
Дадим, наконец, общее определение тензора. Мы говорим, что нам дан и + 1-валентный тензор, и раз ковариантный и 1 рпз контрпеариантный, если в каждой координатной АФФинное НРОСЕРАнство и измеРений (гл. и системе нам заданы пь+! чисел а!.!1 .
д, занумерованных й индек!и.. и сами внизу и 1 индексами наверху и преобразуюи/ихся при переходе от одной координатной системь! к другой по закону / а ' ' ! =А 'А '... А 'А/)А"..., А" а!'!-"''!', (27.12) / / / / ! / 1 ь Индексы янизу отличаются друг от дру~а 1-и, 2-м, ..., /ь-ь! местом написания; аналогично отличаются друг от друга и верхние индексы. Все индексы пробегают значения 1, 2, ..., и независимо друг от друга. Числа а!" Й мы будем называть координатами тенг« вора в соответствующей координатной системе.
Смысл закона преобразования (27.12) состоит, очевидно, в том, что каждый нижний индекс участвует в преобразовании один раз по схеме ковариантного тензора а каждый верхний †од раз по схеме контравариантного тензора а/' = А' а'. / Общее число индексов /г+1 будем называть валентностью тензора. Числу нижних индексов /г и числу верхних индексов 1 можно придавать любые значения О, 1, 2, ..., одному независиью от другого.
Если /«=1=0, то, как мы будем считать, тензор имеет тишь одну координату а, совсем лишенную индексов, и сводится к инеарианту, т, е. координата а имеет одно и то же численное значение в любой координатной системе. Кстати, в случае й = 1= 0 имеем пь+' = 1. Особое внимание следует обратить на то обстоятельство, что в правой части (27.12) происходит суммирование по всем /г + 1 нештрихованным индексам, н, таким образом, каждая координата тензора в вовой координатной системе зависит от всех его координат в старой системе. Это означает, что в конечном счете тензор не сводится просто к совокупное~и отдельных чисел в его координат, — а представляет собой единое целое. Последнее связано с тем, что каждый тензор, как мы видели на примерах, отражает какой-либо цельный геометрический или физический объект и «распадается» на свои координаты лишь условно, т.
е. по отношению к той или иной координатной системе. й 28. Сложение тензоров В ближайших параграфах мы займемся тензорной алгеброй, т. е. рассмотрим основные инвариантные операции, позволяющие по тензорам составлять новые тензоры. Этих операций четыре: сложение, умножение, свертывание тензоров и подстановка индексов у тензора, 28] 115 ело!Кение тенэогов Инвариантность тензорных операций нужно понимать в том смысле, что, примененные к данным тензорам, они дают в результате вполне опрелеленный тснзор, не эависяи(ий от того, в какой координатной системе происходит выкладка. Теа! самым тензорные операции отражают по существу те операции над геометрическими и физическими объектами (заданными посредством тензоров), ко~орые имеют гео.
метрический или физический смысл и совершаются независимо от выбора координатной системы. В этом параграфе мы рассмотрим сложение тензоров. 11усть нам даны два тензора одинакового строения, т. в. с одинаковым числом верхних индексов и с одинаковым числом нижних индексов. Пусть, для примера, эти тензоры будут трижды коварнантнычн и дважды контравариантнымн: ао Рчг лу" В каждой координатной системе каждую координату первого тензора сложим с соответствующей (т. е. занумерованной теми же индсксамн на тех же местах) координатой второго тензора, н результат примем за координату нового тензора 06!ьо ору арчг Г гчг.
(28.1) Координату нового тензора нумеруем, конечно, теми же индексами на тех же местах. Однако нужно еще проверить, что счч„ действительно прелставляют собой координаты одного и того же тензора, независимо от того, в какой координатной системе мы их вычислили. Другими словамн, нужно убедиться, что с" г подчиняются тензорному закону преобразования: срч, —— — А! А! Ар Ач А, срч,. Р'чт' я'Кн ычч" (28.2) Здесь (28.3) т. е. сЯ!',, вычисляются в новой (как и вооб!це в любой) коорлнр'ын натной системе по схеме (28.1), Но равенство (28.2) легко вытекает из справедливости тензорного закона преобразования для а','.', „, Ь!! „; а„чч.= А, А; Ар А, А,'агм (28А) (28.5) Действительно, складывая эти равенства почленно, вынося общие множители в правой части за скобки и принимая во внимание (28.1) и (28.3), мы сейчас же получаем равенс~во (28.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
