1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Аеаинноь пгостглнство и измегений [гл, н 116 Очевидно, в нашем рзссужлении ничего по существу не изменится, есле мы будем склалывать любые тензоры, но обязательно одинакового строения. В результате получается вполне определенный гентор тово же строения. Ясно также, что если вместо лвух тензоров складывать несколько гензоров одинакового строения, то все сказанное остается справедливым. Поисним еще инвариантный характер операции сложения на примере.
Лопустим, по складываются два одновалентных контравариа!юных тензора х', у', в результате чего получается тензор того же строения г'! (28.6) Инвариз!лный характер операции сложения означает, жо г' дают нам координаты вполне определенного тензора, независимо от того, в какой координатной системе они вычислены. Истолкуем !еперь х', у' как координаты фиксированных векторов, х, у, что, как мы знаем, всегда возмоя<но. Поскольку г' †координа вполне опрелеленного тензора, то и их можно истолковать как координаты некоторого фиксированного вектора г.
Тогда равенство (28.6) выражает геометрический факт, независимый от выбора координатной системы, именно, что вектор г есть сумма векторов х и у. Аналогичным образом и в более сложных случаях инварнантность тензорных операций означает по сущее~ау рассмотрение геометрических и физических фактов вне зависимости от случайностей выбора координатной системы. й 29. Умножение теизоров В отличие от сло кения перемножать можно любые тензоры (не требуя, чтобы они были одинакового строении), но при этом обязательно указывать порядок множителей, так как результат будет зависеть не только от самих множителей, но и от их порядка. Рассмотрим для примера перемножение тепзоров а',, б'„ заданных в порядке их записи. В каждой координатной системе каждую координату первого тензора множим на каждую координату второго тензора и получение!е произведения а, 'б', принимаем за координаты нового тензора с" „, причем нумеруем эти координаты так; внизу выписываем сначала нижние индексв! первого множителя, а затем нижние индексв! второго мнолсителя, сохриняя в обоих случаях их.
прежний порядок. и аналогично поступаем с верхними индексами. Полученный тензор с„", мы будем называть произведением тензоров алч, б,', э 29) умножении тензогоя Если бы множителей было несколько, то мы совершенно таким же образом перенесли бы поочерелно индексы 1-го, 2-го, ... и т.
д. множителей на координату произведения. Однако мы должны еще, конечно, доказать, что определенные в каждой координатной системе числа с" „=-а,', Ь„' (29, 1) действительно явлшотся координатами тензора. С этой целшо выпишем закон преобразования для координат множителей: а„° = А, А„,А .агп К =А,'А,'К. Перемножая эти равенства почленно и принимая во внимание, что в новой (как и во всякой) координатной системе имеет место равенство (29.1), так что получим окончательно сл,~ =Аг А! Аг А„А',, слд,, (29,2) Эгот результат показывает нам, что в какой бы координатной системе мы ни вычисляли величины с„'„согласно (29.1), они являются всегда координатачи одного и голо же гелзора. Таким образом, операция умножения гензоров действительно определяет некоторый новый тензор. Очевидно, все сказанное дословно повторяется н прн перемножении любых тензоров в любом числе.
Заметим, что если мы сганем перемножать те же тензоры в другом порядке, то получим другой результат. А именно, хотя координаты произведения будут, конечно, тс же, но они будут иначе занумерованы индексами. Так, при изменении порядка множителей в нашем примере получаем: с" г =б' и',„. (29.3) Сравнивая это выражение с (29.1), убеждаемся, что соогветствуюп(пе (т. е. занумерованные одинаковыми индексами иа одинаковых местах) координаты тензоров с'„'„ и с„"„, не совпадают, хотя совокрлносгь координат у этих тензоров одна и та же. Так как в понятие тензора входит и способ нумерации его координат при помощи индексов, то мы должны признать полученные тензоры различными.
Более подробно см. об этом в Э 3 1. Отметим простой частный случай, когда из двух перемножаемых теизоров один — нулевой валентности, т. е. попросту инвариант а. 118 АФФннное НРостРАнсгзо л измеРений (гл. н Тогда дело сводится к умножению всех координат другого миожителя, например Ь", на этот инвариант, в результате чего получается тензор того же строения: с" = аЬ" и Между прочим, в связи с этим мы не рассматриваем особо операцию вычитания тензоров (одного строения), поскольку ее всегда можно представить как сложение уменьшаемого с вычитаемым, умноженным на — 1.
Пример. Перемно1кением одновалентных тензоров Ь1 и с получается двухвалентный тензор / а;=Ь сГ. Тензор а',, как мы знаем (Э 27), всегда може~ быть истолкован как некоторый аффннор 8: у=йх, т. е. у'= а'.х'. 1 Как отзывается на аффиноре 111 то обстоятельство, что соответствующий тензор а'. мультипликативный (т. е, получен произве- 1 двинем одновалентных тензоров)? Пользуясь тем, что а!=-Ь'с;, перепишем: ° 1=ЬГс х'. 1 Мы знаем (Э 26), что с;х' можно всегда истолковать как неко.
торую линейную скалярную функцию ф(х) вектора х, так что у1 = Ь' 1р (х). А так как ЬГ всегда можно истолковать как координаты некоторого фиксированного вектора Ь, то окончательно у =- ЬГр(х). Таким образом, в нашем случае действие аффинора на вектор-аргумент х дает произведение постоянного вектора (Г на линейную скалярную функцию Гр(х).
Аффинор е1 в этом случае называют иногда ди адой. й 30. Свертывание теизоря Операции сложения и умножения теизоров естественно переносят в тензорную область привычные нам арифметические операции. В противоположность этому операция свертывания носит специфически тензорный характер и не имеет прообраза в более элементарных разделах математики. % ЗО) 119 саеРтыВАние тензоРА Пусть дан тензор произвольный, но имеющий, по крайней мере, один индекс внизу и, по крайней мере, один индекс наверху, например, аф. Выберем какой-нибудь инлекс наверху, например, 2-й, и какой-йибудь индекс внизу, например, 1-й. Отберем те коорлинаты теизора, для которых два выбранных индекса имеют одинаковые значения 1, 2, ..., л, и просуммируем все эти координаты при фиксированных значениях остальных индексов: вне+ ань+ + аыь адь (30.1) Мы обозначили сумму а'", так как она зависит лишь от остальных (фиксированных) индексов.
Пользуясь краткой записью суммирования, можно (30.1) переписать: адХА ана хд д (30.2) Как оказывается, числа а'А, определенные согласно (30.2) в каждой координатной системе, являются координатами одного и того же тензора, утерявшего по срзвнению с исходным тензором по одному индексу вверху и внизу. В самом деле, запишем закон преобразования координат исходного тензора: а„"' А' = А;"А' АА'А",Ад,а"". рЗд' = д / А р' д' рд' Придадим второму индексу наверху (у') и первому внизу (р') одно и то же значение х' и по х' произведем суммирование.
Получим: андр'= АРА"'АААВАда"'. а„,д, — — д „„.. д, рд. В правой части происходит суммирование по шести индексам, Мы выполним сначала суммирование по л'. В силу (24.11) Аг А"„, = ЗР, и мы получаем: агг)А' = А ~ АА Ад брань, Так как бр= ~ 1, то в сумме следует оставить лишь те члены, ГΠ— 11 для которых р =у' (общее значение р =/ обозначим через х), причем 6„ *= 1 (здесь по х суммирования не предполагается), так что множитель 3"„ можно не писать.
Получим окончательно; (ЗО.З) Заметим, что во всех случаях, когда в выражение входит множитель Ьр, причем по обоим индексам происходит суммирование, этот АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [Гл. и 120 множитель, как мы видели, следует выкинуть, а в оставшемся выражении индексам р и у' придать общее значение (и по нему суммировать). Это правило нам пригодится в дальнейших выклалках.
Пользуясь обозначениями (30.2), мы можем переписать последний результат в виде (30.4) а"А' = А ' Ах«Ад», а'ь. Эта формула показывает, что величины а'" действительно подчиняются тензорному закону преобразования и, следовательно, дзют нам вполне определенный тензор. Мьь будем говорить, «то тензор а'", составленный из тензора аф согласно (30.2), полу«ен из него свертыванием по индексам У и р, или, то«нее, по индексам второму сверху и первому снизу. В то время как сложение дает нам тензор той же валентности, как и слагаемые, умножение дает тензор, вообще говоря, высшей валентности, чем множители, свертывание приводит, наоборот, к снижению валентности на 2 единицы: пропадает один индекс вверху и один индекс внизу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
