1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 20
Текст из файла (страница 20)
нотной систел<ы к другой по закону (26.10] где подразумевается суммирование по индексу !. Итак, линейная функция вектора !р(х) выражается через его координаты линейной формой. Запишем зависимость (26.5) в какой-нибудь лругой координатной системе: 106 АФФИИНОЕ ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНий (Гл.
ы Эти числа а;мы будем называть координатами теизора в соответствующей координатной системе, Термин «ковариантный», т. е. сопреобразующийся, выражает то обстоятельство, что закон преобразования а, такой же, как н для векторов репера е;. Коэффициенты ~р, линейной функции вектора доставляют нам важный пример одновалентного ковариантного тензора ап как показывает закон преобразования (26,9).
Обратно, легко убедиться, что любой одновалентный ковариантный тензор а; при желании всегда можно истолковать именно таким образом, В самом деле, олределим ~р(х) по формуле ~р(х) = агх' в некоторой исходной координатной системе, Очевидно, гр(х) будет линейно зависеть от х и, самое главное, ее коэффициенты ~; будут совпадать с аг не только в исходной координатной системе (что имеет место по определени1о), но и в любой другой тоже, так как ~р, и а, подчиняются одному и тому же закону преобразования (ср. (26.9), (26.10)). П р и м е р. Гилерллоскостью мы будем называть множество всех точек, координаты которых в какой-нибудь координатной системе удовлетворяют линейному уравнению а,х' +...
+ а„х" + а = О. (26.11) Определение это имеет инвариантный смысл: вследствие линейности закона преобразования для координат хг уравнение (26.11) остается линейным †конеч, с другими коэффициентами †в любой другой координатной системе.
Коэффициенты уравнения (26.1 1) заданы с точностью до умножения на отличное от нуля число. Чтобы уничтожить эту неопределенность, приведем свободный член к — 1 (предполагая, что гиперплоскость не проходит через начало О) и запишем уравнение гипернлоскости в виде а хт+... +а„х" — ! =О, т.
е а!хг = 1. (26.12) Будем рассматривать всевозможные координатные системы с фиксированным началом О, При переходе от одной из них к другой радиус-вектор О~И любой точки М не меняется, а следовательно, координаты точки М(х', ..., х") преобразуются как координаты инвариантного вектора по закону (24.16): х = Аихи. Е (» Г!одставляя это х' в уравнение (26.12), получим; О,Ар х' = 1.
107 к 26) ПОНЯТИЕ О КОВАРИАНТНОМ ТЕНЗОРЕ )э(ы пришли к уравнению прежней гиперплоскости, но в новых координатах хв. Если записать это уравнение аналогично уравнению (26.12)' апхп =1, (26.13) то коэффлциенты ап, очевидно, будут иметь вид а, =-А'; аг (26.14) Закон преобразования совпадает с (26.10), и следовательно, коэффициенты уравнения гиперплоскости ах'=1 ведут себя как одновалентный коеариантный тензор при всех преобразованиях координатных систем с фиксированным началом О. Рассмотрим теперь двухвалентный ковариантный тензор. К нему лучше всего подойти, рассматривая скалярную билинейную функцию двух векторов.
А именно, пусть каждой паре векторов х, у, заданных в определенном порядке, поставлено в соответствие число (26.16) р=ф(х у) причем функция <р(х, у) является линейной по каждому из двух аргументов. Таким образом, сэ (х, у) по самому определению не зависит от выбора координатной системы. Выразим теперь ср через координаты векторов х, у в какой-нибудь координатной системе.
Так как х =- х'еп у =ух е, то, пользуясь билинейным характером функции тр, получаем: ~р(х, у)=<р(х'еыутет) хгут~р(е„е ). (26.16) грт = ~у(епе ), получаем окончательно ~р (х,у) = ~р~хтут. (26,17) (26.18) Таким образом, билинейная функция двух векторов выражается билинейной формой их коорлинат. Коэффициенты фт этой билинейной формы зависят от выбора координатной системы и преобразуются по закону, который нетрудно установить. А именно, в новой координатной системе аналогично (26.17) ~рпт =ф(еи. ер), В этой записи, конечно, подразумевается двойное суммирование по 7 и /. Обозначая для краткости 106 АЬЬНННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ (гл. и а так как то В координатной записи это означает; гр;»х»у» = яр» у'х». обозначения индексов суммирования Меняя получим; в правой части, яр»»хУ = »ррУ х ° яр»» = »р(А»ем А,',е») =А,',А',,»р(е»,е») = А»,А»,»р» (26,19) Закон преобразования коэффициентов»р», который мы таким образом установили, как бы повторяет формулу (26.9) для каждого из двух индексов.
Формулируем теперь общее определение двухвалентного ковариантного тензора, пример которого мы только что получили, в виде совокупности коэффициентов гр»». Мы говорим, что нам дан двухвалентнь»й ковариантный тензор, если в каждой координатной системе нам заданы и' чисел а», которые занумеровань» при помои(и двух индексов (»яробегаюи(их один независимо от другого значения 1, 2, ..., и) и преобразую»си при переходе от одной координатной системы к другой по закону (26.20) Числа асч мы будем называть координатами нашего тензора в соответствующей координатной системе. Двухвалентный ковариантный тензор мы будем называть более коротко дваждь» ковариантнь»м тензором.
Досланным повторением предыдущего рассуждения для одно. валентного случая мы покажем и здесь, что не только коэффициенты »р»» билинейной функции двух векторов образуют всегда дважды ковариантный тензор, но и обратно, координаты а," любого такого тензора всегда можно истолковать как коэффициенты некоторой билинейной функции, Для згого достаточно построить »р(х, у) в какой-либо исходной координатной системе по формуле »р (х,у) = а» х»у», (26.21) и тогда, поскольку, таким образом, »р» = а» в одной координатной системе, это равенство буде~ соблюдаться и в любой другой (в силу одинакового характера законов преобразования (26.19) н (26,20)), Отметим важный частный случай, когда билинейная функция яр(х,у) будет симметрической: гр (х,у) = »р(у,х). (26,22) 5 261 понятна о ковхеихнтнои тензогь 109 Так как это равенство должно соблюдаться тождественно относительно х', ут, то из него следует: (26.23) гры=фр (26.
24) агу== а.о называется симметрическим. При этом, если это условие удовлетворяется в какой-либо исходной координатной системе, то удовлетворяется и в любой другой, как без труда вытекает из закона преобразования (26.20). Впрочем это вытекае~ также и из того, что функция ф (х, у), построенная в исходной координатной системе согласно (26.21), будет в нашем случае симметрической, а это ее свойство, как мы видели, влечет за собой в любой координатной системе соотношение ср;,= — ~рто т, е.
а;,=а о Г! р и м е р. Гиперповерхность 2-го порядка, не проходящая через начало О, может быть задана уравнением вида а"х'хт+2а к+1=:0 а"=а., А !у ы ~ 1/ р (26.25) При всевозможных преобразованиях координатных систем с закрепленным началом О коэффициенты уравнения агу ведут себя как симметрический дважды коварпантный тензор, а а„— как одноковариантный тензор. Это легко показать тем же путем, как и в случае гнперплоскости. Теперь ясно, как формулировать определение ковариантного тензора в общем случае. Мы говорим, что нам дан й-валентный ковориантный тензор, если в каждан координатной системе нам заданы и чисел а; ..
а занумерованных при помощи й индексов и преобразующихся при переходе от одной координатной системы к другои по закону х (26.26) Индексы при анн , ц различаются друг от друга 1-м, 2-м, й-и местом записи и пробегают независимо друг от друга значения 1, 2, ..., и. Числа ацб ;, мы будем называть координатами нашего тензора в соответствующей координатной системе, Мы будем называть й-ввлентный ковариантный тензор также й раз ковариантным тензором. т.
е, мзтрипа коэффициентов фО является симметрической. Тензор ср, и вообще тензор а;, удовлетворяющий условию АФФинное пгостгкнсгно и изиггенпй (гл. и Совершенно так же, как в случае билинейной скалярной функции, можно показать, что всякая полилинейная (линейная относительно всех своих аргументов) скалярная функция гр(хы х„ ..., хь) с векторами-аргументами х,, х„ ..., хь допускает координатную запись гр(х„ ха, ..., хь) = (р; и „х",х',ь ... хь". (26.27) Здесь х" ,— коорлннаты векторз-зргумента х, и т.
д. Аналогично предыдущему коэффициенты ~р;,,„ ;, определяются формулами ~рпп,;ь=-гр(еы еа ..., е ) (26.28) и преобразуются по закону (26.26), т. е. обрззуют й раз коварнантный тензор. Обратно, координаты всяко~о )г раз коварнантного тензора ачб , „, могут быть при желании истолкованы как коэффициенты ср,,;, ;„ некоторой полилинейной скалярной функции р(х„ хз, ..., хь) от к векторных аргументов. Все это проверяется совершенно аналогично двухвалентному случаю, Подчеркнем, что, говоря о функции гр(хы хю ..., хь), иы, как и в предыдущих случаях, имеем в виду функцию инвариантную, т, е.
определенную независимо от выбора координатной системы, й 27. Общее понятие о теизоре Прежде чем формулировать общее понятие о тензоре, мы займемся так называемыми контравариантными тензорами. Важнейший пример одновалентного контраварнантного тензора доставляют нам координаты х' фиксированного вектора х. Поскольку вектор х фиксирован, координаты х', х', ..., х" имеют определенные численные значения в каждой координатной систете и преобразуются по закону (24.19): (27.1) х" =- А, х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
