1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ей однозначно отвечает вектор ОМ, где Π†нача репера. Этот вектор мы будем называть радиусом-веяюороая данной точки; он, как и всякий вектор, обладает определеннымн координатами х', х-", ..., х" относительно нашего аффинного репера: х =- ОА1= х'е, + х'еа+... + х"еа. (23.15) Аффинными координатами точки М относительно данного репера мы будем называть аффннные координаты х', ..., х" ее радиуса-вектора ОМ относительно того же репера, Очевидно, такнч образом, что координаты данной точки М определяются однозначно. Обратно, прн задании координат х', ..., хп радиус-вектор точки М однозначно определяется со~ласно (23.15), а откладывая его затем от начала О, мы однозначно определим точку М. Таким образом, задание аффинного репера влечет построение аффинной координатной системы и для векторов и для тогек, Если точки А и В имеют соответственно координаты х' н у', то такие же координаты имеют и векторы ОА, ОВ, а так как ОВ = — ОА —,' АВ, то у'= х'+г', где г' †координа вектора АВ, и окончательно г =у — х.
3 г 3 Аффинные координатные системы наиболее естественно связаны с геометрическими свойствами рассматриваемого нами п-мерного аффннного пространства, хотя в нем возможны и другие (криволинейные) координатные системы. На протяжении этой главы мы будем рассматривать только аффннные координатные системы н под словами «координатная системаа всегда будем понимать аффинную координатную систему, й 24, Преобразование аффинного репера Естественно возникает вопрос, с какой степенью произвола можно выбирать аффинный репер н каким образом переходить от одного репера к другому, Мы займемся вопросом о преобразовании векторов репера е„ ..., е„, так как в связи с переносом его 4 П.
К. Раша«а««а 98 АФФипное пгостглистио и измвгений [гл. и е, =А,'е,+ А,'ев+ ...+А",еп, е, =- А[е,+ А,е,+...+А,еп, (24. 1) е„= А,', ет + А„' ез+... + А, "е„, ! или, объединяя эти формулы в общей записи, моя<но написать: ео =Аре, + А,'ез+ ° ° . +Але„. (24.2) В этом равенстве, как и во всех дальнейших, мы будем подразумевать, что буквенному индексу, встречающемуся по одному разу в каждом одночлениом выражении, можно давать любые значения 1, 2, ..., и, т. е.
что фактически имеется в виду не одно, а и равенств (если такой индекс один). В нашем случае имеется буквенный индекс (', которому, как мы подразумеваем, по очереди придаются значения 1', 2', ..., л'. В результате (24.2) означает в краткой записи то же самое, что и (24,1), Нетрудно заметить, что при помощи знака т,' можно записать (24.2) следующим образом: еа = ~и,', А) ео 1=1 (24.3) Суммирование происходит здесь лишь по нештрихованному ипдексуг, в то время как индекс К сохраняет постоянное значение.
Таким образом, здесь и в аналогичных случаях дальше мы позволяем себе рассматривать буквенные индексы, обозначенные одной и той же буквой, но в одном случае штриховаиной, а в другом †нештрихованной (как сейчас у нас г и г'), как принимающие значения один независимо ог другого, начала О никаких вопросов ие возникает: начало О можно по желанию передвигать в любое положение. Кроме того, кзк мы увидим, в интересующих нас вопросах выбор начала О большей частью будет безразлнчеи, Дело в том, что мы будем пользоваться координатами не столько для точек, сколько для векторов, а в этом случае положение начала О совершенно не играет роли.
Пусть е1, еж, ..., е„ вЂ э 1-й, 2-й, ..., л-й векторы некоторого нового аффиниого репера, занумерованные для отличия штрнховаиными индексами. Каждый из этих векторов согласно (23,2) может быть разложен по векторам старого репера е, е„ ..., е„. Коэффициенты этих разложений мы будем обозначать буквой А с соответствующими индексами; 99 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННОГО РЕПЕРА То, что индекс суммирования 1' встречается дважды, один раз наверху, а другой раз внизу, является, как мы дальше увидим, далеко не случайным. Такого типа суммы нам будут встречаться часто, и для сокращения записи мы условимся в этих случаях опускать знак ~г Так, (24.3) мы будем записывать просто: Е, =А1ЕО (24.
4) подразумевается суммирование по ! от 1 до и. Общее правило; пусть дано вь1ражение, записанное в виде буквь1, снабженной индексалчи; пусть ари этол~ какой-либо буквенньш индекс встречается дважды, один раз вверху и один раз внизу; тогда мы буделч считать, что написанное обозначает сумму этого рода выражений для значений 1, 2, ..., л, пробегаемь1х данным индексом. Если таких (встречаюи1ихся один раз вверху и один раз внизу) индексов несколько, то подразумевается суммирование ло каждому из них. Например, выражение Ф111 мы будем понимать так: Рх 1 -1 Гн И А Ф; = ~г ч~, Фчьч, ,=1 А 1 (24.
5) так что фактически это выражение будет зависеть лишь от одного индекса, именно 1, который мы будем называть свободным в отличие от индексов суммирования. В связи со сказанным обознзчения индексов суммирования не чь играют, конечно, никакой роли; так, если вместо Феы написать, например, Фььы, обозначив индексы суммирования р, д вместо 1, к, то по смыслу равенства (24.5) результат нисколько не изменится: чь Ра Фгьч = — Фьч1 Этим обстоя~ельством мы часто будем впоследствии пользоваться в процессе выкладок. Все, что было только что сказано относительно сокращенной записи суммы для вырзжений, обозначенных просто буквой с индексамп, полностью о~носится и к произведениям такого рода выражений. Пример сокращенной записи в этом случае мы имеем уже в формуле (24.4).
Позже мы узнаем принципиальный смысл суьиирования указанного типа и тогда уточним и употребление нашего сокращенного обозначения. Возвращаемся теперь к вопросу преобразования аффинного репера. Векторы нового репера е, могут быть выбраны произвольно с единственным условнеч линейной независимости. Но линейная независимость векторов е, равносильна линейной независимости АФФНННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ПЗМЕРЕНпй (Гл.
и 1ОО (24.8) е; =- А, е,. (24.9) По обшее1у соглашению здесь имеегсв в виду сутп1ирование по индексу 1', так что в подробной записи получаем: 1' Л' л' е; =-А, еп+ А, е,.+... +Аг ел. Здесь 1 ну1кно давать поочередно значения 1, 2, ..., л. То, что матрицы (24.6) и (24.8) взаимно обратньге, означает, что их произведение, в том или другом порядке, дает единичную матрицу. Элементы единичной матрицы мы будем стандартно обозначать 6'; =- О (1~У), 1 ((=-У), !' так что связь А1 и Ал можно записать так: А1',. А,' = 6,', Л;РА, = 6,'. (24.10) строк матрицы преобразования (24.1): 1 Аг $л 4л 1 л ) 1л ~г' ° ° ° Лг' (24.6) )А Ал ° .
Лл ~,' (ср. с (23.13)). Другими словами, сослветствующий определитель должен быть отличным от нуля: Ве( ( А,', ( рь О. (24.7) Это и есть единственное условие, наложенное на преобразование векторов репера (24.1). В остальном коэффициенты А,'. произвольны. Тем самым матрица (24.6) допускает обратную матрицу, элементы которой мы будем обозначать А, '(штрихованный индекс наверху!); (А' А' ... А' ,.(л,(л' '~ 1)Лл Ал ° ° ° Лл Если, обратно, выразить векторы старого репера е; через векторы нового репера ен, то придется применить преобразование, обратное преобразованию (24.1), для чего надо воспользоваться вместо лштрицы (24.6) обратной матрицей (24.8). В краткой записи, аналогичной (24.4), мы получим: э 24] 101 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННОГО РЕПЕРА По л, равно как и по м', предполагается суммирование от 1 до и по общему соглашению.
Этн формулы можно также полУчить, подставлЯЯ в (24,9) выра. жение ен согласно (24,4) (заменив лишь обозначение индекса суммирования 2 на какое-нибудь другое, например> г), получим; В правой части подразумевается двойное суммирование: по индексам /' и г', Так как разложение по векторам репера совершается единственным образом, то коэффипиенты при ет в правой части дол~ивы равняться соответствующим коэффициентам в лсвой части, т. с.
нулю, если /Фь |, и единице, если г'= !. В результате А,',А,Р = б], что дает вторую из формул (24.10). Аналогично получается и первая из формул (24.10) — подстановкой (24.9) в (24.4). При переходе к новому реперу каждый вектор х получает новые координаты, которые мы будем обозначать х', х", ..., х"' в отличие от старых х', х', ..., х". разумеется, что при этом сам вектор х остается прежним, и изменение координат идет лишь за счет изменения репера. Спрашивается, как будут выражаться новые координаты произвольного вектора я через старые, и обратно.
Г!о определеншо координат вектора мы имеем в старом репере к =.х'е, + ... + х"е„ = х'ег (24.11) и аналогично в новом репере к = х'е, +... -]-хже„= х'е; . (24.12) В правых частях мы прибегли к сокращенной записи с опусканием знака суммы. Теперь, чтобы решить нашу задачу, мы должны сравнить оба разложения, а для этого вставим в (24.1!) выражение ег согласно (24.9). Тогда (24.11) принимает внд х=х'А,'е, (24.13) Здесь происходит двойное суммированиег по с' и по г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
