1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В связи с этим свертывание является важным источником получения инвариантов: повторяя его достаточное число раз, мы можем уничтожить все индексы у тензора, если у того сначала было одинаковое число индексов внизу и вверху. Полученный в и~оге тензор нулевой валентности представляет собой, как мы знаем, инвариант. Например, тензор а', отвечающий, как всегда можно считать, некоторому аффинору г[, порождает посредством свертывания инвариант а=а;'=а',+а";+...+а„", (30.

5) который называешься следом аффинора и[. Особенно часто применяется свертывание к тензорам, полученньш перемножением данных тензоров. Например, запись линейной скалярной функции гр (х) (2 26) ьр (х) = ьрдх' (30. 6) мы люжем теперь истолковать как получение инварианта ~р(х) путем свертывания тензора ьр,хл (прелставляющего собой произведение тензоров ьрд и хг). Совершенно аналогично этому и запись билинейной скалярной функции др(х, у) гр, ху нужно понимать как результат двукратного свертывания тензора др1 хгу» по индексам г, р и /, а. В подобных случаях мы для краткости будем говорить, что «тензоР ьР;у свеРтываетсн с тензоРами х', Урз, вместо того, чтобы э 31) Опезация полстлнОВКВ индексОВ 121 говорить: «тензор !рд перемножается с тензорами ме, уе и в полученном результате производится свертывание по индексам 1, р и !', д».

После введения операции свертывания раскрывается полностью и смысл нашего сокращенного обозначения суммирования по индексу, встречающел1уся один раз наверху и один раз внизу. Это обозначение ниенна потому и имеет право на существование, что оно выражает валкную и часто встречающуюся операцию свертывания. И действительно, во всех случаях, когда мы его применялп, оно имело именно этот смысл, хотя операция свертывания и была нам неизвес~на.

Искл1очительно этот смысл оно будет иметь н в дальнейшем. ф 31. Операция подстановки индексов Пусть нал! дан какой-либо тензор, напрнл1ер, а" „. Мы можем составить из него новый тензор того же строения Ьц„, не меняя его координат самих по себе, а лишь иначе нумеруя их посредством индексов.

Условимся каждую координату нумеровать теперь так, чтзбы прежний первый индекс снизу стал писаться на втором месте, второй в на третьем, а третий † первом. Формулой это можно выразить так: лы !! дртт =- адом (31.1) Так как в определение тензора входит и способ нумерации его координа~ посредством 1-го, 2-го,... и т.

д. индексов внизу, и то же самое наверху, то фе, мы должны признать за тензор, отличный от а"„. Мы дудел! говорить, что тензор ф „получен из а'! „лодстановкой его индексов (в данном случае круговой подстановкоЙ трех нижних индексов при неизменных верхних). В общем случае можно задаться любой подстановкой нижних индексов и одновременно любой подстзновкой верхних индексов (причем, как и в нашем примере, имеются в виду подстановки пе численных значений индексов, а мест ик написания при координате тензора).

То, что в результате снова получзется тензор н притом того же строения, легко следует нз одинзкового поведения всех нижних индексов при тензорном законе преобразования и равным образом из одинакового поведения всех верхних индексов. Ио, разумеется, подстановки, при которых верхние индексы могли бы переходить в нижние и наоборот, не рассматриваются, так как они не являются инвариантными операциями. Ввиду различного поведения верхних и нижних индексов при преобразовании коордннзтной системы мы при такой подстзновке не получили бы вновь тензора. АФФинное пРосзРАнстзо л измеРений [гл.

и Операция подстановки индексов производит впечатление формальной и мало содержательной и действительно является такой, если ее рассматривать изолированно, Но основное ее значение сказывается в тех операциях, где она комбинируется со сложением и вычитанием, особенно в операциях симметрировиния и альтврнации. Операция симметрирования производится следующим образом. Из одноименных (например, нижних) индексов данного тензора произвольно выбирается некоторое их число Аг, над этими индексами производятся АГ! всевозможных подстановок и берется среднее арифметическое всех полученных при этом А!! тензоров.

Результат симметрирования обозначается тем, что участвующие в симметрировании индексы берутся в круглые скобочки. В случае А!=- ! симметрировзние тривиально и не меняет тензора; подстановка только одна †тождественн. В случае М= 2 рассмотрим тензор а», где явно выписаны лишь индексы, участвующие в симметрирований; остальные индексы, которых может быть сколько угодно (а может н совсем не быть), лишь подразумеваются. Подстановок здесь буде~ лишь две: тождественная и транспозиция 1-го и 2-го индексов. Результат симметрирования; ! аы, — — — (а; + а;).

(31,2) В случае М= 3 рассмотрим тензор а! » с той же о~аваркой, что он может иметь и другие индексы, хотя симметрированию подлежат лип!ь явно выписанные. Делая все шесть подстановок и беря среднее арифметическое, получим: 1 аоу»>- — — (ау» -[- ау»г+ а»», + ау»+ а!»у+ а»,,). (31.3) Аналогично производим симметрированве и при любом числе симметрируемых индексов.

Для верхних индексов все происходит, разумеется, точно таким же образом. Мы называем тензор симметрическим по нескольким данным (обязательно одноименным) индексам, если он не меняется при транспозиции л!обых двух из этих индексов, а следовательно, и при любой их подстановке. Таков, например, дважды ковариантный тензор, координаты которого образуют симметрическую »|атриду а; =ар (31А) В результате симметрирования получается, очевидно, тензор симметрический по тем индексам, которые участвовали в симметрировании.

1!ереходим теперь к операции альтернаиии. Она производится тзк. Из одноименных индексов данного тензора произвольно выби. рвется некоторое их число А[, над этими индексами производятся Аг! всевозможных подстановок, результаты четных подстановок берутся ~ 31) Опегация подстановки индексов !23 со своим знаком, а у результатов нече~ных подстановок знак меняется на обратный, и берется, наконец, среднее арифметическое всех полученных при этом д(! тензоров. Результат альтернации обозначается тем, что участвующие в альтернзции индексы берутся в прямые скобочки.

В случае М= 1 подстановка лишь одна, тождественнав, альтернирование тривиально и не меняет тензора. В случае Х= 2 альтернация имеет вид ! а!О! = — (аг — а,), В случае й1=- 3 получаем: (3!.5) ! а!ВА1= — (а,.~,+луж+лему — а~я — аз,— аы.), (3! 6) Кроме индексов, учзствующих в альзернации, у рассматриваемых тензоров могут быть н другие, явно не выписзнные индексы, Мы нззываем тензор кососимметричлским по нескольким данным (обяззтельно одноименным) индексам, если он умножается яа — 1 при транспозиции любых двух из этих индексов (и, следовательно, умножается на — 1 при любой нечетной подстановке и не меняется при четной подстановке этих индексов).

Таков, например, двахщы ковариантный тензор, координаты которого образуют кососимметрическую матрицу а, = — а,, (3!.7) или трижды ковариантный тензор, обладающий свойством а," =азы= аз,д== — а М вЂ”вЂ” — аа,с= — а, (31.8) В результате альтернации всегда получается, как легко проверить, тензор кососимметрический по тем индексам, которые участвовали в альтернации. Если тензор кососимметричен по данным индексам, то альтернация по этим индексам его ие меняет. Действительно, если, например, аг кососимметричен по трем своим инлексам, т. е.

обладает свойством (31.8), то в скобках (31.6) все шесть слагаемых равны между собой, и мы получаем; а!Ом! = а, Отметим также, что если из тех индексов, по которым тензор кососимметричен, хотя бы два имеют одинаковые значения, то соответствующая координата обращаетсн в нуль. Действительно, при транспозиции этих двух индексов координата должна изменить знак в силу косой симметрии; с другой же стороны, она не изменится в силу равенствз индексов, Следовательно, она равна нулю. лавинное пространство и ггзмврвннй (гл. и (24 й 32. Степень произвола в выборе теизора данного строения Мы установили основы тензорной алгебры, оперируя с произвольными тензорами, однако мы, строго говоря, до сих пор не знаем, существуют ли тензоры любого строения (т.

е. с любым числом индексов наверху и внизу), н если существуют, то с кзкой степенью произвола определяются. Ясно одно, что если координаты тензора заданы в одной координатной системе, то в силу тензорного закона преобразовзния они определятся и в любой координатной системе. Но всегда ли можно построить тензор, задавшись произвольно его координатами в какой-либо одной координатной системе? На этот вопрос мы отвечаем утвердительно и на основе вот каких соображений.

Зададимся произвольно координатами искомого тензора, например, арч, в какой-нибудь одной координатной системе 8, Если искомый тснзор существует, то его координзты в любой другой координатной системе Е' будут определяться по тензорному закону преобразования: (32.) ) Однако это еще не значит, что искомый тензор уже построен.

Нужно еще убедиться, что тензорный закон преобразования действует не только при переходе от данной и любой координатной системе, но и при переходе от любой и любой координатной системе. Для этой цели рассмо1рим еще одну произвольную координатную систему о". Для нее аналогично (32Л ) получаем: (32.2) Очевидно, по смыслу нзшнх обозначений (32. 3) откуда легко следует (подстановкой цз первого равенства во второе и сравнением с третьим), что А', =А,':,А,',, (32. 4) т.

е, матраца, преобразующая е; в е,, есть произведение матриц, преобразующих ег в ер и ер в е, Аналогично для обратных преобразований имеем: А';" = А' А;':. (32.5) Заменяя теперь в формуле (32.2) А',", АРр,, Агг, их значениями согласно (32.4) и (32.5), приведем ее к виду а',".„,.

Характеристики

Список файлов книги