1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Отсюда совершенно так же, как в предыдуптем парзграфе, вытекает, что при наличии двух одинаковых множителей косое произведение обращается в нуль. *) Прн и! = 1 мы получаем престо вектор. 136 лееинное птостглнство п изывгвний (гл. в Далее, нз той же записи (35.!) виден линейный характер зависимости координат косого произведения от координат любого из множителей (например, множителя а,), лг координатзми которого образована первая строка определителя. Отсюда совершенно так же, как для бивектора, вытекает [аа,а, ... а ( =а [а,а, ... а„) (35.8) [а', + а„а, ...а„1 = [а,'а, ... а„~ + [а",а, ... а [.
(35.9) Разумеется, совершенно теми же свойствами обладает любой множитель косого произведения. Теперь докажем теорему: для линейной зависимости векторов а, ат, ..., а необходимо и достаточно обращение в нуль их косого произведения. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть а„а„..., а линейно зависимы, например, а, разлагается по остальным векторам с козффнциеитамн а„..., сс„: аз=азат+ ... +а„а .
Тогда [а,а, ... а„~ = [п,а, + ... + а а , а, ... а 1 = = сст[ата, ... а [ + ... + сх„[а а, ... а ) = О. Равенство нулю вытекзет из того, что в каждом кз полученных косых произведений имеется два одинаковых множителя. Достаточность. Пусть [а,а, ...
а [=0; иногда обращаются в нуль все определители (35.1), т. е. все миноры вт-го порядка матрицы о! оч он (35.10) а'мат ... а"м образованной координатами наших векторов. Тем самым между строками матрицы, а следовательно, и между нашими векторами имеется линейная зависимость. Из доказанной теоремы следует, между прочим, что простой п-вектор [а,а ... а„) в случае линейной независимости векторов а, а.„ ..., а„ отличен от нуля.
Следовательно, любой другой и-вектор, отличаясь от него лишь численным множителем )ч, тоже будет простым (множитель Х момсно включить, например, в а ). Заметим, кстати, что любой и — 1-вектор тоже всегда является простым. 13У Основные сВОйстВА тп-Вектоеоя й 35] Выясним теперь, как преобразуется косое произведение лт векторов а„ ..., а„ при их произвольном линейном преобразовании в векторы аеч ..., а,„: 1 ам = А, а, + А, аг +...
+ А иа =- А, ац, (35.11) а ° = А'.а,+ А,'„ае+... +А",а = А'„",а;„ при помощи квадратной матрицы А,'. порядка тл. Мы позволяем себе здесь в виде исключения сокращенную запись суммирования, несмотря на то, что индексы суммирования (ы ..., с пробегают значения 1, 2, ..., лт, а не 1, 2, ..., л. Составим косое произведение; [а,.а, ... а .] = [Атьац, А',*.а, „..., А'"а;„[ = Полученное выражение с формэльной стороны вполне аналогично (Зо.4), отличаясь от него только тем, что число множителей Аьь здесь вт, а не л, и индексы суммирования пробегают значения 1, ..., вт (а не 1, ..., л), а также тем, что верхние и нижние индексы поменались РолЯми.
Роль а' . гп игРает сейчас [ац ... а, ], также кососимметрическое по всем своим индексам. Поэтому аналогичным образом получим: [а,.а, ... а ] =- [а,а,, а„] 1)е1] А,'. ] . Итак, косое произведение тп векторов в результате их линейного преобр эования умнозсается на определитель матрицьч этого преобразования. Докажем теперь следующую важную теорему. Для того чтобы вектор а (а',аз, ..., а") разлагался по линейно независимым векторам аы аэ, ..., а, необходимо и достаточно соблюдение условия ацат ' 1=- О, (35.13) где атд ..' — кооРдинаты косого пРоизведениЯ [ата ... а ].
Разберемся прежде всего в смысле условия (35.13). В процессе альтернации мы, строго говоря, должны взять среднее арифметическое (вт+ 1)! слагаемых, полученных в результате всевозможных подстановок лт+ 1 индексов (с изменением знака в случае нечетной подстановки). Однако фактически у нас будет лишь т+1 существенно различных слагаемых, так кэк каждое слагаемое встретится нэм тп! раз.
В самом леле, те лт1 подстановок индексов в слагаемом, например, ага''* . 'м, которые затрагивают лишь последние лт (гл. и АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ индексов, дадут нам (в силу косой симметрии а[А . ' и правила изменения знака в случае нечетной подстановки) одинаковые слагаемые, В таком случае достаточно взять среднее арифметическое лишь л[ + ! существенно различных ела~Немых.
В качестве таковых можно взять слагаемое а[а[ .- [ю и те л[ слагаемых, которые получаются из него поочередной транспозицней индекса [ с ['„ ['„ ...,[„, конечно, с изменением знака (ввиду нечетностн транспозиции). Получаем развернутое выражение: пни[а ... [щ] = — [,ага[ ' .. ' — анан . 'ю — а" а[' [т —... — а[я'и['* .. []. в+1 (35.14) Для доказательства теоремы нам придется преобразовать условие (35.13). Координаты косого произведения имеют по определению вид П~ ~1 а ° [м=а, ...а Вставляя это выражение в (35.13), получаем: апа"а"... а["1' = О.
/И (35.15) Внутреннюю альтернацию (и это общее правило) можно выкинуть, раз она покрывается внешней альтернацией. Результат от этого не изменится. В самом деле, пользуясь выражением (35.14), получаем: н н [щц ат л[+ 1 = — (и а '... а" — а" а,... ам —...— а' а, ... а„). 1 [ П, [.Л [, П [м[ [ и, Осуществляя теперь оставшиеся альтернзцин, в каждом случае по лг индексам, мы получии из каждого члена т[ слагаемых (с последующим делением на и[!). Всего мы получим (и[+1)! слагземых, составленных, очевидно, по правилу альтернации выражения а[а", ...
а " по всем его верхним индексам и с последующим лелением на л[1 (л[+ 1) = (и[+1)!. Другиин словами, (35. 16) Теперь условие (35.13) принимает вид а[ а" ,... а' = О, т. е. (аие ... а 1 = О. (35 1у) Но в таком виде наше условие по выше доказанному равносильно линейной зависимости векторов и, а„ ..., а , а так как 139 ОснОВные сВОйстВА т-ВектОРОВ 9 35] а„ а, ..., а„ линейно независимы, то рзвноснльно линейной зависимости а от аы а„ ..., а .
Теорема доказана. Рассмотрим теперь какую-либо т-мерную плоскость с направляющими (н тем самым линейно независимыми) векторами а, ..., аьс Косое произведение этих векторов [ах ... а„], очевидно, не равное нулю, мы будем называть направляющим т-вектором нашей плоскости. Лри любом выборе направляющих векторов па данной плоскости ее направляющий т-векгор с точностью до численного множителя остается прежним. Это непосредственно следует из результата (35.12), если считать, что формулы (35.11) дают переход от старых к новым направляющим векторам на данной т-мерной плоскости (при этом ()е1] Аг]Ф О). Обратно, если у двух т-мерных плоскостей направляющие т-векгоры отличаются лишь численным множителем [Ь,...
Ь„]=а [а,... а„], (35.18) го зти плоскости параллельны (т. е. получаются одна из другой сдвигом всех точек на постоянный вектор). Действительно, пусть а' 'м и И . 'м †координа направляющих т-векторов [а,... а„] и [Ь,... Ь„] первой и второй плоскости. Нам дано, что дг . ' =-аа' Согласно (35.13), для того чтобы вектор а разлагался по а,, а,„ , а„, т. е. чтобы он принадлежзл первой плоскости, необходимо и дос~аточно, чтобы его координаты удовлетворяли условию аиа' глй = О.
(35.19) Совершенно зналогично, для того чтобы а принадлежал второй плоскости, необходимо и достаточно, чтобы а1гд' . ' ' == О. (35.20) Но оба последних условия равносильны вследствие (35.18). Поэтому все векторы, принадлежащие второй плоскости, принадлежат и первой плоскости, и наоборот. В частности, векторы Ь„..., Ь„принадлежат и первой плоскости и могут служить направляющиии векторами на ней наряду с а„ , , а„, Теперь достаточно сделать параллельный сдвиг, переводящий какую-нибудь одну точку второй плоскости в какую-нибудь точку первой плоскости, чтобы обе плоскости совместились.
Тем самым наше утверждение доказано. Резюмируем: для того чтобы две т-мерные плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие АФФИИНОЕ ПРОСТРАНСТВО Н ИЗМЕРЕНИЙ [гл. и 140 лг-вгкторзп рассматриваемые с точностью до численного множителя, были одинаковы. Это можно выразить и в такой форме, что нзправляющий лг-вектор, заданный с точностью до численного множителя, характеризует аг-мерное направление в пространстве, т, е. совокупность параллельных между собой гл-мерных плоскостей, заполняющих все пространство. Если мы ограничиваемся плоскостями некоторой связки О, то параллелизм плоскостей будет означать просто их совпадение, которое и будет равносильно совпадению направляющих т-векторов. Наконец, последнее замечание. Вся алгебраическая теория, развитая здесь для кососимметрнческих контравариантных тензоров а' м (гн-векторов), повторяется, конечно, дословно и для косо- симметрических ковариантных тензоров а;„ ;„ (которые мы будем называть гн-коеекторами). Более того, можно установить своеобрззный принцип двойственности, по которому каждому т-вектору взаимно однозначно сопоставляется л — гн-ковектор, и обратно (прн условии задания неко~араго фиксированного л-вектора).)ч)ы нс будем останавливаться здесь на ятом подробнеен).
Укажем только, что совершенно аналогично (35.6) можно получить, что единственная сушественнзя координата а„ , „ л-ковектора ач;, ,„ преобразуется по закону а,,, „= ага...чРе1~А';, ~. (35.21) Тем самым, согласно (35,7), а„„представляет собой относительный инвзриант веса + 1 (определители в (35.6) и (35.21) представляют собой взаимно обратные величины как определители взаимно обратных матриц).
Отсюда вытекает, что произведение существенных координат л-векторз и л-ковектора а" .." ага представляет собой инвариант. Если, в частности, 'аы.,.и (35.22» то и-вектор и л-ковектор мы будем называть взаимно сопряженными, Ясно, что по данному л-вектору все~да можно построить сопряженный ему п-ковектор, и обратно. Что кзсается геометрического истолкования лг-ковекторов, то на нем мы останавливаться не будем. Укажем лишь, что по упомянутому принципу двойственности (кстати, имеющему непосредственное отношение к принципу двойственности в л — 1-мерной проектнвной геометрии в связке 0) каждое гн-мерное направление в про- ') См, например, П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
