1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 27
Текст из файла (страница 27)
К. Р а ш е в с к и Й, Геометрическая теория уравнений с частными производными, Р(. — Л., Гостехвздат, 1947, гл. 11. $ 36) ОРиентАцня В и меРЙОм АФФннном НРостРАнстве 141 странстве характеризуется и — т-ковектором, заданным с точностью до численного множителя. Так, например (при еп = и†1), и†1-мерное направление характеризуется 1-ковектором а,, а именно, это есть направление гиперплоскости, уравнение которой а гсвг =- О. 3 36.
Ориентация в и-мерном аффиниом пространстве Будем рассматривать в и-мерном вещественном аффинном пространстве») всевозможные реперы (О', егч ..., е„). Легко заметить, что они распадаются на два класса аналогично «правым» н «левым» реперам в обычном трехмерном пространстве. А именно, выбрав произвольно некоторый начальный репер (О, е„ ..., е„), мы распределим все вообще реперы (О', езч ..., е„ ) на два класса по следующему принципу. Запишем разложение векторов произвольного репера по векторам начального репера еп =А',е . г г' Вели ))е(!А', ~ ) О, то мы относим произвольно взятый репер к первому классу, если же 1)е1)А),~ < О, то — ко второму классу.
Начальный репер попадет, очевидно, в первый класс (матрица А,', будет в этом случае единичной). Покажем теперь, что это распадение реперов на два класса не зависит от выбора начально~о репера (если не считать нумерации этих классов, которая, конечно, определяется выбором начального репера). Для этого достаточно показать, что любые два репера одного класса связаны между собой преобразованием с положительным определителем, а в случае разных классов — с отрицательным определителем.
Тогда действительно, исходя нз любого начального репера, мы получим разбиение реперов на те же два класса (с точностью до нх нумерации). Возьмем два произвольных репера (О', егч ..., е„,) и (О", е,-, ..., е„-). Пусть они связаны с исходным репером и между собой преобразованиями: (36.1) Очевидно, третье преобразование есть результат наложения первых двух, так что его матрица есть произведение матриц; А,'. = А1:А)ч (36.2) *) Результаты главы П, за исключением Я 36, 37, одинаково применимы н к вещественным и к комплексным аффннным пространствам.
142 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ (гл. и а значит, Ре1 ) А;'- ) = Ре( ) А,". ) - Ре( ) А'„, ) . (36.3) Если взятые реперы одного класса, т. е. Ре() А,'„) и Рег) А';,( одного знака, то отсюда следует Ре1) АР.) > О, если же разных классов и, следовательно, указанные определители разных знаков, то Ре1) АР,) < О. Этим наше утверждение доказано. Мы условимся говорить, что два репера имеют одинаковую ориентацию или рвали«ные ориентации в зависимости от того, принадлежат ли они к одному классу или к различным классам.
В случае и =-1 (прямая линия) репер (О, е ) имев~ одну ориентацию, если вектор е, направлен в данную сторону, н другую, если он направлен в противоположную сторону. Таким образом, выбор ориентации сводится к выбору определенного направления на прямой. В случае двумерного аффинного пространства, т. е. в сущности в случае обычной плоскости, рассматриваемой в пределах ее аффинных свойств, ориентацию можно представлять себе наглядно в виде определенным образом заданного направления вращения на плоскости (против или по часовой стрелке).
Тогда реперами (О, е„ е,) данной ориентации будут те, для которых направление вектора е,, вращаясь около О в заданную сторону, приходит в совпадение с направлением вектора е, в течение первого полуоборота. Нужно пояснить, что в этой формулировке мы не выходим за пределы аффинных свойств, так как вращаются не целые фигуры, а лишь направления, исходящие из данной точки. В случае и.= 3 распадение реперов на два класса вполне аналогично нх распадению на «правые» и «левые» в обычном пространстве.
Мы говорим, что л-мерное аффинное пространство ориентировано, если нз двух возможных ориентаций избрана одна определенная (т. е. избран один из двух классов реперов). Все сказанное о~носится и к лг-мерным плоскостям и-мерного пространства, так как они по своей геометрии являются также аффинными пространствамн. Соответствующий лг-мерный репер, ориентация которого будет рассматриваться, образуется какой-нибудь точкой Он и направляющими векторами в,, ..., а данной лг-мерной плоскости.
При этом не нужно забывать, что ориентация репера в той же мере зависит от нумерации его векторов, как и от выбора 143 % 37) ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ самих этих векторов. Составим направляющий т-вектор [а, ... а 1 данной т-мерной плоскости. Если мы перейдем в ней к другому реперу а,ч .,., в посредством линейного преобразования с матрицей т-го порядка [)А1Р)! ае = А;*,ао то согласно (35.12) [а,.а, ... а 1 — — [а,а,... а„1 Ре(( А,',1. й 37. Измерение объемов Пусть в вещественном л.мерном аффинном пространстве дано некоторое тело Р, Отнесем пространство к какой-нибудь аффинной координатной системе (х', ..., х") н составим л-кратный интеграл (х, = ~ йх йх ... йх", о (37. 1) распространенный по области Р. Мы будем рассматривать лишь такие области Р (например, ограниченные кусочно гладкими гиперповерхностями), для которых существование этого интеграла не вызывает сомнений. При переходе в другую координатную систему (х", ..., х"') получаем в силу (24.20) хе = Аех'-)- А', (37.2) Если новый репер имеет ту же ориентацию, что и старый, то определитель, на который множится направлнющий т-вектор, будет, как мы видим, положительным; в противном случае — отрицательным.
Мы получаем следующий результат. Все направляющие т-векторы данной пь-мерной плоскости, отвечающие т-мерным реперам одинаковой ориентации. отличаются лишь положительными численными множителями; при изменении ориентации репера на обратную направляющий т-вектор приобретает отрицательный численный множитель. Отсюда вытекает, что если направляющий т-вектор задан нам с точностью до положительного численного множителя, то у нас определено не только т-мерное направление в пространстве, но и определенная ориентация на каждой т-мерной плоскости этого направления (т. е.
из двух классов реперов на ней избран один определенный). (гл. и АФФИИНОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ 144 Аналогичный интеграл имеет внд )то = ) дх'дх» .. с(хы= ' ' „' ~дхддха .. дх = » ) ~ д(хд, ..., х") о ~ (Ре1(А' )(дхд ... дх" =-(Род(А' (~ ) дхд... с(х» == = (Ре1) А," )( ° Ъ'о. (37.3) Мы воспользовались здесь формулой преобразования переменных под знаком кратного интеграла, причем якобиан преобразованик совпадает с Ре1( А';.'(, так как из преобразования (37.2) следует, что дхе —. = А,'. дх' Итак, интегралы (то длл всех областей Р умножаютсл при переходе в новую координатную систему на общий множитель (Ре1 ~ А" ,~ (. Другими словами, интеграл )то лля данного тела Р можно рассматривать как относительный инвариант веса — 1 с той только разницей, что его преобразование сводится к умножению не н Ре1(А' ), а на )Ре1)А",!) (ср.
(35.6)). Чтобы отметить зто, мы будем называть )то знакопостолнным относительным инвариантом веса — 1; впрочем, прилагательное кзнакопостоянный» мы будем для краткости большей частью опускать. Относительный инвариант )то мы будем называть объемом тела Р. Таким образом, в аффинной геометрии объем данного тела не выражается каким-либо определенным числом и меняется вместе с координатной системой. Тем не менее между объемами существуют соотношения, вполне аналогичные обычным н в отличие от самого объема инвариантные относительно выбора координатной системы.
1. Равенство объемов двух тел Ко, =. (Ро, (37,4) сохраняется при переходе в любую другую координатную систему 2. Если объем тела 77 равен сумме объемов тел Рд и Р )то= (то, + (то, (37.3) в одной координатной системе, то зто верно и в любой другой, ~ 37) ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ 3. Отношение объемов двух тел О н О' — =- Ф Ур, (37.6) Но прн этом х1=х1+а', где а' — постоянные координаты вектора сдвига а. Преобразуя интеграл Уб к переменным х', получим, ОЧЕВИДНО: УО=1мх1 ° ° .йх=')пХ1...дХ=УБР(377) О о Далее, для тела О, составленного из (неперекрывающихся) тел О, и Ох, объем будет равен сумме объемов этих тел: Р'л = " и, + У о „ так как, очевидно ~ йх1 ... йх"' = 3 дх' ...
йх"+ ) пхт ... йх". (37,8) Эти и подобные им свойства объемов показывают, что хотя объем у нас — относительный инвариан~ и не выражается определенным числом, тем не менее он характеризует пространственную протяженность тела независимо от его формы и места расположения подобно численно выраженному объему в обычном пространстве. Рассмотрим, в частности, п-мерный параллелепипед, построенный на и линейно независимых векторах ах, а„ ..., а„, исходящих из данной точки О. Так мы будем называть множество точек М, для которых ралнус-вектор ОМ разлагается по векторам а, ..., а с коэффициентами, меняющимися от 0 до 1; ОМ= Па,+...
+ 1"а„, есть инвариант преобразования координатной системы. Все эти утверждения очевидным образом следуют из одинакового для всех Ь'р закона преобразования (37.3). Введенное нами понятие объема, вернее, те инвариантные соотношения, к которым оно приводит, хорошо согласуются с нашим обычным представлением об объеме. Так, при параллельном сдвиге тела О на вектор а в положение 15 его объем, как мы и ожидаем, не изменится. Действительно, 146 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ [Гл. и где (37.9) 0(11(1, ..., 0<(" -.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
