1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В связи с этим эти напряженности задаются в теории относительности тензорным полем в четырехмерном пространстве (выражающем пространственно-временную протяженность материи). Над тензорными полями мы производим все операции тензорной алгебры, установленные нами для отдельных тензоров. Это не требует особого обоснования, так как мы подразумеваем, что эти операции производятся над тензорами наших полей в каждой точке М по отдельности (а в этом случае каждое тензорное поле представлено о~дельным тензором). Так, например, сложение двух данных тензорных полей а';„(М), Уъ(М) обозначает построение нового тензорного полн ~,':„(М) = ~';~ (М) + Ь',ь (М) путем сложения в каждой точке М тех тензоров, которыми в этой точке представлены наши тензорные поля.
То же самое относится и ко всем другим операциям тензориой алгебры. Разумеется, тснзорные поля, участвующие в операциях, предполагаются определенными в одной и той же области О, которую и пробегает точка М. Но для тензорных полей возможна и еще одна инвариантная операция †абсолютн дифференцирование, вместе с которой мы переходим нз области тензорной алгебры в область тензорного анализа, Пусть в области О, где определено тензорное поле а~",,', ",,', проведена кривая, т„ е. дано геометрическое место точек М=.М(Г), или в координатной записи х' = х' (г), (38.3) 152 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ (Гл.!1 где параметр 1 пробегает определенный интервал изменения. Функции х'(г) предполагаются непрерывно дифференцируемыми, по крайней мере, олин раз.
Вдоль нашей кривой координаты тензора а,", "',",, будут являться, как видно из (38.2) н (38.3), сложными функциями параиетра 1. Вычисляеи дифференциалы этих функций да/' " /' й/ -// .й/ дх' (38А) В правой части подразумевается суммирование по г', так что написанное неравенство есть просто формула полного дифференциала. Мы утверждаем, что да', "'/ образуют тензор того же строения, что и а,", ",'„'; этот тензор мы будем называть абсолютным дифференциалом тенэора а;,'"';,' (при данном бесконечно малом смещении по данной кривой). Проверка нашего утверждения производится просто, Выпишем закон преобразования координат тензора нашего поля при переходе в новую координатную систему Конечно, А ' и т.
д.— величины постоянные, не зависящие от точки /И, ! /1 бегущей по кривой, а следовательно, и от параметра й Дифференцируя по Р, получим: да С " / А'...А ... йа/''''// .. /ь м $ /1 /ь (38.6) Этим наше утверждение доказано. Рассмотрим теперь в каждой точке Л совокупность частных производных от функций (38.2) по всем их аргументам, причем введем для них обозначения да/' '" /' х' (38.7) Мы утверждаем, что т//а,', ,'"';,', образуют тензор с тем же числом верхних индексов и на единицу бдльшим числом нижних индексов, чем у исходного тенэора, причем увеличение происходит за счет индекса дифференцирования г'.
Этот тензор мы будем называть абсолютной производной исходного тензора а/,' "'/,'. Так как абсолютная производная определена в каждой точке /И, то она в свою очередь образует тензорное поле. в 381 153 тензоеные пОля Проверку нашего утверждения проводим следующим образом.
Положение точки М можно определять как старыми координатами х', так н новыми координатами х', а потому члены равенства (38.О) можно рассматривать и как функции от х', и как функции от х'. Дифференцируя (38.5) почленно по координате х', получим: 8 ° й дн, даг'' 'и,, да!' ' Лу дх' ' ' дх' '1 ' дх' дх' В последнем выражении мы использовали правило дифференцирования сложной функции (по г происходит суммирование). Так как по общим формулам х'=А,', х, то для г —, == А';, дх' н предыдущий результат можно переписать (пользуясь обозначением (38.7)): Мы видим, что величины (уга(, ";,', действительно пРеобРазУютсЯ по тензорному закону.
Заметим, что абсолютный дифференциал можно брать и в том случае, когда поле тензора задано котя бы только вдоль той кривой, вдоль которой этот дифференциал вычисляется. Но для вычисления абсолютной производной нужно, чтобы поле тензора было задано в и-мерной области, по крайней мере, в некоторой окрестности данной точки.
глдйл ри ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО гг ИЗМЕРЕНИЙ 9 39. Понятие о евклндовом пространстве Мы уже упоминали о том, что аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства. Однако мы идем обратным путем: аффинную геометрию мы построили на основе самостоятельной аксиоматики, а переход к евклидовой геометрии совершим путем дополнительного включения метрических свойств. Это проще всего сделать, введя в а-мерном аффинном пространстве скалярное произведение векторов, что повлечет за собой и все другие метрические свойства и будет означать превращение нашего пространства в евклидова.
Длн втой цели зададимся в и-мерном аффинном пространстве некоторой билинейной скалярной функцией ~р(х,у) двух векторных аргументов х, у (9 26). Мы потребуем, чтобы зта функция удовлетворяла условию симметрии (39.1) ф (х,у) = гр (у,х) и условию нееырожденности, которое заключается в том, что для каждого вектора х~= О можно найти такой вектор у, что (39.2) <р(х,у) Ф О. В остальном функцию гр(х,у) мы выбираем произвольно, но затем уже раз навсегда присваиваем ее нашему пространству и в дальнейшем менять не будем.
Ееклидоеым пространством и измерений мы будем называть и-мерное аффинное пространство, е котором задана раз навсегда фиксированная билинейная скалярная функция двух векторных аргументов х, у, удоелетеоряюилая условиям симметрии и невырожденности. Эту функцию векторов х, у мы будем называть их скалярным произведением и обозначать прас~о ху или (х,у) (вместо ~р (х,у)). 155 з 39) понятие о евклидовом пгостгкнства Скалярный квадрат вектора х определяется формулой х'= хх.
(39. 3) Два вектора х, у будут называться ортогокальными, если нх скалярное произведение равно нулю: ху =- О. (39А) Длиной вектора х мы будем называть ) х' и обозначать ее будем ) х): ) х ) = р' хх. (39.5) Расстоянием между двумя точками А, В мы будем называть длину вектора АВ: АВ= к'х', где х=АВ. (39.6) Вообще, как мы увидим, из факта существования скалярного произведения векторов можно вывести метрические свойства и-мерного евклидова пространства, причем в одном час~нам случае мы получим в точности обычное пространство.
Скалярное произведение, как и всякая билинейная функция двух векторов, обладает свойствами (х, + х,,у) = (х„у) + (хюу), (пх,у) = а (х,у), которыми мы будем широко пользоваться. Конечно, относительно второго аргумента оно обладает такими же свойствами. Ввклидовы пространства распадаются на два болыпих класса: вещественные и комплексныг. В самом деле, евклидово пространство можно строить как на базе вещественного аффинного пространства, так и комплексного.
Соответствующие обозначении: И„н В„+, где л-размерность. В первом случае мы сохраняем прежнее соглашение, по которому в ~сории вещественного аффинного пространства все рассматрнваеиые числа считаются вещественнымн. В частности, и скалярное произведение ху двух векторов х, у, как мы будем подразумевать, принимает лишь вещественные численные значения.
Полученное при этом евклидово пространство также будет называться вещественным. Вещесгвгнкыг евклидовы пространства в свою очередь разделяются на два класса: собственно гвклидовы, в которых для любого вектора х ~ Рк хя) О, (39. 7) и псевдоегклидовы, в которых хх может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Собственно евклидовы пространства по своей геометрии вполне аналогичны обычному пространству и отличаются от него лишь числом ЕВКЛИЛОВО ПРОСТРАНСТВО И ИЗМЕРГНнй [гл.
ш 155 измерений: при и = 3 мы получаем в точности обычную стереометрию, равно как при и = 2 †обычн планиметрию, а при и =- 1 †геометр на обычной прямой. Псевдоевклиловы пространства по характеру своей метрики обладают весьма своеобразными чертами, не имеющими аналогов в обычной геометрии. Укажем уже сейчас, что, хотя подкоренное выражение х' в (39.5) и вещественное, но может принимать в псевдоевклидовом случае и положительные, и отрицательные, и нулевые значения, а значит, длина вектора [х[ может быть и вещественной, и чисто мнимой, и нулем. Мы условимся, между прочим, в первом случае брать [х[ положительной, а во втором случае †положительным коэффициентом при г.
Тогда умножение вектора х на лоложительное число означает умножение [х[ на то же число. Таким образом, отрезки АВ в псевдоевклидовом пространстве будут трех сортов: вещественной, чисто мнимой и нулевой длины (причем последний случай, как мы увидим, возможен и без совпадения точек А, В). Заметим, что наличие мнимых ллин (расстояний) в псевдоевклиловом пространстве будет являться единственным нарушением наше~о общего соглашения о том, что в вещественном пространстве рассматриваются лишь вещественные численные значения. Псевдоевклидово пространство играет основную роль в теории относительности, причем разнотипность отрезков вещественной и чисто мнимой длины отражает разнотипность пространственных и временных «расстояний».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
