1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Будем считать для простоты, что обе эти плоскости имеют общую точку О. Здесь имеютси две возможности. Вели т-мерная плоскость — неизотропная, то и — т-мерная плоскость — тоже неизотропная; между собой эти плоскости не пересекаются *), и их направляющие векторы а, ..., а (для т-мерной плоскости), Ьт, ..., Ь„ (для и†т-мерной плоскости) можно принять в совокупности за векторы пространственного репера. Если же т-мерная плоскость †изотропн, то п — т-мерная плоскость тоже изотропная; эти плоскости пересекаются между ') То есть не имеют общих точек кроме О.
166 еаклидояо пРООТРлнстВО и измеРений (гл. щ собой, ия направляюи(ие векторы (в совокупности) линейно зависимы и, значит, не могут служить векторами пространственного репера. Для доказательства этих утверждений разберем две возможности: случай непересечения и случай пересечения наших плоскостей. В случае непересечения векторы (41.11) линейно независимы. В самом деле, если предположить линейную зависимость а'а, + ...
+а"а + ()гЬг + ... + ()" "Ь„ „ =. О, (4 1.12) то из нее вытекает существование не равного нулю вектора а'а,+... +а а„= — ргЬ,—...— ()" Ьч „, (41.!3) общего для обеих плоскостей. Отсюда вытекает существование и общей прямой, а именно проходящей через общую точку О в направлении этого общего вектора, что противоречит непересечению наших плоскостей. Следовательно, векторы (41.11) линейно независимы, и их можно принять за векторы пространственного репера, Запишем для этого репера условие невырожденности (39.16): Ре1(~;"(= — Ре1! е,е,(~0. (41. И) В нашем случае е„..., е„= а„..., а; е„„„..., е„= Ь„..., Ь„„, (41.15) причем векторы а; и Ьг ортогональны между собой (как принадлежащие ортогональным плоскостям). Матрица е,е имеет внд 1 / (41. 16) О ( Ь,Ь, а следовательно, Ре( ( е,е ( =.
Ре1(ара ( ° Ре1 ( Ь„Ь, (, (4! .17) и условие невырожденности (41.14) принимает вид РЕ1)ара (.Ре((Ь,Ь,(у'=О. (41. 18) Тем самым отличен от нуля н каждый из множителей, а значит (согласно (41.4)), обе плоскости неизотропные, В случае пересечения, т. е. в случае сущестнования у наших плоскостей, по крайней мере, одной общей прямой, ее направляющий вектор с тзкже будет для них общим. Поэтому с можно разложить как по а„..., а„, так и по Ь„..
„Ь„„. Приравнивая эти разложения, получаем линейную зависимость между направляюецими векторами обгих плоскостей в совокупности. Далее, так как вектор с при- 167 огтоногмигоньнный РепеР $42] надлежит т-мерной плоскости, то он ортогонален к и — пг-мерной плоскости, и наоборот, так как он принадлежит и — пг-мерной плоскости, то ортогонален к гв-мерной.
Итак, с принадлежит каждой нз двух плоскостей и в то же время к ней ортогонален; отсюда вытекает, что каждая из плоскостей в изотропная, В итоге из проведенного исследования случаев непересечення и пересечения видно, что первый имеет место тогда и только тогда, когда исходная пг-мерная плоскость неизотропная, а второй †ког она изотропная. Этим наши утверждения доказаны. й 42. Ортонормированиый репер х е, — — - —. у хь (42,1) Очевидно, хь е' =- — =-1 хь (42,2) т.
е. скалярный квадрат вектора ет равен единице. Такие векторы мы будем называть единичными. В случае евклидова пространства уже не все аффинные реперы равносильны по своим геометрическим свойствам, как зто было в аффинном пространстве. Среди них можно выделить теперь геометрически наиболее простые, так называемые ортонормированньш реперы, которые в случае обычного пространства соответствуют прямоугольным лекартовым координатам.
Нам понадобится следующая тривиальная лемма: в евклидовом пространстве не могут быть изотропными все векторы, т. е. не может быть, чтобы хз = 0 прн любом х. Действительно, если это допустить, lх+у~ь Гх — укь то, в частности, ~ — ) =О, ~ — ) =-0 при любых х, у, Почленно вычитая из первого равенства второе, получим ху = — 0 при любых х, у.
Оказывается, таким образом, что любой вектор ортогонален ко всем векторам, что противоречит условию невырожденяостн. Мы начнем со случал и-мерного комплексного евклидова пространства !с+. В силу леммы всегда можно найти неизотропный вектор х, так что хь ~ О. Нормируем вектор х, т. е. поделим его на его длину $' х'. Это будет, вообще говоря, комплексное число, что нас не смущает, так как мы находимся в комплексном пространстве и имеем возможность умножать и делить на кол~плексные числа.
Обозначим полученный вектор через ед. 168 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ (Гл. и! Построим теперь гиперплоскость Я„' „ ортогональную к единичному вектору е, и проходящую через фиксированную точку О. Гнперплоскость 1с;, „ как ортогональная к неизотропному вектору е,, сама будет неизотропиой (8 41) и несет на себе и†1-мерную (тоже комплексную) евклидову геометрию, Поэтому на гиперплоскости Р„', можно повторить наше построение, выбирая как-либо неизотропный вектор у, нормируи его и получая второй единичный вектор е,.
Обозначим далее Р„+, гиперплоскость в )т„ „ ортогональную к е, и проходящую через О. Гиперплоскость Я„', в й„" „ ортогональная к неизотропному вектору е, сама будет неизотропной н несет на себе и — 2-мерную комплексную евклидову геометрию. Следовательно, на ней можно е~це раз поиторить то же самое, построив единичный вектор еа и ортогональную к нему и проходящую через О гиперплоскость гс;, и т. д. Пропесс заканчивается на еодномерной плоскости» гс,", на которой мы берем какой-либо вектор яг и, нормируя его, получаем единичный вектор е„. В итоге получаем последовательность вложенных друг в друга плоскостей убывающего числа измерений (начиная с самого пространства): й„":)й;,',')... ~й,"~И~ (42. 3) и последовательность единичных векторов: е„е„., е„„е„.
(4'2.4) При этом, как видно из построения, (-й вектор ег принадлежиг й;, „, и ортогонален к й„' ь Тем самым е; ортогонален и ко всем последующим векторам е, „, ..., е„, гак как они принадлежат й„' О а так как 1 можно давать значения 1, 2, ..., л, то ясно, что все единичные векторы попарно ортогональны: е,е, = О (( ~.с'), е,'- —.- 1. кроме того, Эти формулы можно объединнтьс / 0 (г' ~/), е,е =-5;, где б; = ( 1 ((=-!). (42.5) а'е, + ... + а"е„ = О, то, умножая левую часть скалярно на е,, получим (в силу (42,5)) а, =- О. Векторы ед, ..., е„ будут линейно независимыми, что следует из способа их построения.
Впрочем, это легко обнаружить и непосредственно: если допустить линейную зависимость огтоногмигованный РепеР $ 42) 169 Совершенно аналогично убедимся в исчезновении и всех других коэффициентов, т. е. предполагаемая линейная зависимость оказалась тождеством и, следовательно, не существует. Мы можем принять теперь л единичных и взаимно ортогональныа векторове,, , е„ за векторы некоторого репера(О, е,, ...,е„). Такой репер мы будем называть ортонормированным, а соответствующую ему координатную систему †ортокормированн. Векторы ортонормированного репера мы будем называть ортами.
В ортонормированной координатной сне~сне происходит большое упрощение основных формул. Координаты метрического тензора приобретают вид (42.6) Другими словами, матрица ду оказывается единичной; обращая ей матрица ур поэтому тоже будет единичной (42,7) Исчезает разница между контравариантными и ковариантными коор- динатами вектора; действительно, х; = д;,хт =- х~, так как в процессе суммирования отличным от нуля окажется лишь член, где у= г, причем лп — — 1. На этом основании в ортонормнрованной системе мы будем пользоваться лишь одной записью координат вектора, именно хп Скалярное произведение в координатной записи примет вид ку = с; х'у~= х'у'+ х'у'+... +х"у", так как в сумме сохранятся лишь члены, где (=у, причем уп=-1.
В частности, скалярный квадрат запишется: аа =- (х')т+ (х')'+... + (х")а. Пользуясь (42.8), запишем окончательно: (42.9) (42.10) ху - х,у, + ... +х„р„. ха = х,' +... + х'. Расстояние между точками А и В мы определяли по формуле (39.5). Вели х; — координаты точки А, а х', — координаты точки В, то вектор АВ (как разность радиусов-векторов ОВ и ОА) имеет ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНнй (гл. и 1УО координаты х; — х;, так что АВВ = (х',— х,)т+ .
-(-(х,',— х„)', (42.11) и следовательно, АВ = ) (х',— х,)'+... + (х„' — х„)'. (42.12) и даже совпадают с ними в случае а=3. Однако нужно помнить, что в обычном пространстве координаты вещественные, а у нас сейчас — комплексные. Займемся теперь ортонормированным репером в вещественном евклидовом пространстве В„. Здесь мы также начинаем с выбора неизотропного вектора х (х'~ О), все~да существующего согласно лемме. Однако мы не всегда можем пронормировать его согласно (42. 1): Х 1 у „ (42.1б) Это законно, если х'~ О, причем, как и прежде, получаем: е', =- 1.
(42.17) Если же х' ( О, то знаменатель окажется чисто мнимым, и полученное выра!кение не имеет смысла, так как умножение вектора на число н вещественном пространстве определено лишь для вещественных чисел. Поэтому в этом случае мы проведем нормирование вектора х иначе: х Ет= 1 (42. 18) Теперь пол знаком корня стоит положительная величина, делитель вещественный, и операция деления является законной. Полученный вектор, как непосредственно проверяется, обладает свойством е', =- — 1 (42. 19) Векторы со скалярным квадратом — 1 мы будем называть мнимовдиничными. Не следует дуиать, что такие векторы сами являются в каком-то смысле мнимыми; это вещественные векторы веществен- Формулы эти обнаруживают близкое родство с формулами обычной векторной алгебры: ху=.хту +хтут+ 'ау х'=- х', +х";+х,*, АВ = )Г(х1 — хт)'+ (х,— х,)'+ (хт — ха) огтоногмигованный РепеР 2 42) ного псевдоевклидова пространства, обладающие тем не менее мнимой длиной (У вЂ” 1 = г, Построив единичный или мнимоединичный вектор е, мы проводим через фиксированную точку О ортогональную к нему гиперплоскость И„ ,.
Эта гнперплоскость, как ортогональная к неизотропному вектору, сама будет неизотропной и несет на себе евклндову метрику и†1 измерений. Поэтому на ней снова можно найти единичный или мнимоеднничный вектор е, и т. д. Очевидно, все построение, проведенное для комплексного случая, повторяется и для вещественного с той только разницей, что нормировка каждого из векторов е, е„ ..., е„ происходит в одном из двух вариантов (42.!6), (42.18). В результате мы получаем ортонормированкый репер (О, еы е„ ..., е„); так мы будем называть репер, в котором е,е =- 0 (1 чь у), е,' = -~ 1, (42. 20) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
