1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. тот факт, что каждая точка М сместилась на малый вектор ва(М). Вели мы говорим все-таки о процессе смещения, то в сущности лишь условно, чтобы подогнать наши построения под предыдущяе результаты и не повторять снова почти тех же рассуждений. Строго говоря, нас интересует лишь векторное поле окончательных перемещений, которое мы будем обозначать; (13.! ) и< (Ы) = еа (<И). Разделение же я<(М) на множители е и а(Ы), как было сказано, является по существу условным. Несмотря на то, что е уже не бесконечно малая величина, мы по-прежнему будем пренебрегать малыми второго порядка относительно в.
При достаточно малых деформациях твердого тела это приближение является практическидопустимым, и на нем основывается простейшая (линейная) форма теории упругости. В таком случае результаты з 12 переносятся и на наш случай, а именно, мысленно вырезанный из твердо~о тела бесконечно малый шарик радиуса р с центром в точке М испытывае~ (помимо параллельного сдвига вместе со своим центром на вектор я<(<И)), во-первых, чистую деформацию Е+еЭ, во-нторых, поворот Е+е(К Оба аффи. нора применяются к бесконечно малым векзорам, исходящим из центра шарика.
Прн этом здесь игра<от роль лишь те малые лобавки ех), е(з,, ко <орые делшотса к едшпш<шму аффннору Е, а не Ф н (( в чистом аиде. й 13) малля двеогмация твегдого твлк Введем обозначения: Й=еа, йз=е6, чз=е(5, (13. 2) Соответственно обозначим координаты этих аффиноров: да; а .=еа..=е — ', 0 гй дх I а /даг дог о т 2 (чах, дх,/ (13.3) Мы воспользовались здесь формулами (11.12), (!1.!3). Так как еа (М) =-тв(М), а значит, еа, = тв,, то окончательно получаем: дю; а .=- — ' 'У дхт (1З.Ф) (13.5) (13,6) Так выражаются через вектор поля переэсещений тв (М) координаты аффиноров Я1, В, (з, причем чистая дефорл1ация и вращение бесконечно малого шарика с центром в точке М вызываются соответственно аффикорами Е+))з, Е+(з (воздействрюи(ими ка всевозможные бесконечно малые векторы, отлозсенньге из точки М внутри этого шарика). Аффинор Э называется аффикором деформаций н соответствующий яензор д, — тензором деформаций.
Если предположить тело упругим, то упругие силн, развивающиеся в нем, определяются в каждой точке тензором деформаций, так как аффннор Е+5 создает лишь поворот, а следовательно, не меняет взаимного расположения частиц тела в пределах вырезанного нами бесконечно малого шарика.
В формулах (13.3), (13.4) малый множитель е включен в рассматриваемые величины и в явном виде не выписывается, Поэтому нужно просто помнить, что координаты и, вектора перемещения тт дог и их частные производные †' мы считаем величинами малыми, так дх~ что их квадратами можно пренебрегать (сравнительно с 1).
Очевидно, то же относится и к координатам тензоров Ьг и ссп Отметим еше, что относительное объемное расширение будет равно в нашем слуне (согласно (12.3) и принимая во внимзние (гэ. 1 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОН ПРОСТРАНСТВЕ соотношение (13.1)): О д)т те (М), (13.7) При этом, умножая почленно (11.18) на е, мы имеем: (1З.В) й 14. Тензор напряжений Пусть упругое тело подверглось некоторой деформации, и в нем появились упругие напряжения. Это Означает следующее. Рассмотрим какую-нибудь плоскую площадку, мысленно внесенную нами внутрь упругого тела и там как-либо установленную.
Проведем нормаль к этой площадке и выберем какое-либо из двух направлений на нормали за положительное. Площадку мы в этом случае будем называть ориентированной. Вблизи данной ориентированной площадки упругое тело будет рассечено ею на две части: одна из них расположена с положительной стороны площадки (т. е. в сторону положительного направления нормали), другая — с отрицательной стороны. Наличие в теле напряжений оэначает, что первая иэ этих частей действует на вторую череэ отделяющую ик площадку с известной силой.
Эту силу мы будем называть силой напряжения, действующей на данную ориентированную площадку. Разумеется, вторая часть тела также действует на первую («о закону равенства действия и «ро~нводействня), но, юобы при подсчете силы напряжения не сбиваться в знаке, мы условимся рассматривать действие именно «ервой части на вторую.
Охарактеризовать напряжения, существукнцие в теле, значит уметь установить силу напряжения для любой ориентированной площадки, указанной в теде, Однако наша постановка вопроса яв.чается слишком грубой и нуждается в уточнении. Дело в том, что с«ла, действующая на площадку, большей частью непрерывно по ней распределена, н это распределение также должно быть указано. Другими словами, мы должны указать силу, приложенную к каждому элементу (к каждому бесконечно малому кусочку) нашей площадки. Это показывает нам, что нет смысла класть в основу рассмотрение конечных площадок, а нужно ограничиться площадками бесконечно малыми.
Так иы и поступим. Выберем произвольно какую-нибудь точку М в рассматриваемом теле и будем проводить через нее всевозможные ориентированные бесконечно малые площадки, Каждую из этих площадок мы будем 63 тьнзоР нхпгяжаннй характеризовать, во-первых, единичным вектором п, направленным по ее нормали в положительную сторону, и, во-вторых, ее плошадью дЯ. При этом мы представляем себе дело так, что вектор п является для данной площадки постоянным; следовательно, ортогональная к п плоскость, проходящая через М, в которой расположена площадка, тоже постоянная, но сама плон!едка в переменная и стремится стянуться в точку л4; прн этом пЯ вЂ” О, Форма площадки нас интересовать не будет.
Более коротко нашу площадку можно задать одним бесконечно малым вектором (!4. Ц по которому, очевидно, иожно определить и п, и д8 (п — как единичный вектор того же направления, а дЯ вЂ к молуль). Обозначим Г силу напряженна, действующую на площадку в. Естественно предположить, что в данной точке М и при данном и сила Г, действующая на площадку, пропорщюнальна (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка) ее плошали дЯ. Тем самым сила Г ~ е зависит от формы площадки н вполне определяется вектором площадки з, причем нри умножении з на число иа то же число умножается и Г. Итак, Г мы лолжны цскать как функцию от я: (!4.2) Г = гу (а), учитывая, что для всякого числа а гу (ая) = а$ (З). (14.3) Последнее показывает, чго лостаточно знать гу(п), чтобы определить и Я (а): Г =- Я (з) =- (у (ц по ) = Д (и) дЯ.
(1 4.4) Кроме того, отсюла видно, )у(п) выражает силу напряжения на данной площадке, отнесенную к единице площади, т. е. напряжение Р на данной площадке. Итак, (14.5) Характер зависимости у (и) выволится в курсах теории упругости из некоторых механических соображений, которые мы повторять здесь ие будем. Воспользуемся готовым результатом "), а именно, оказывается, что а произвольной координатной системе проекции напряжения Р = б (и) нз координатные оси выражаются линейно через направляюцгне косинусы положительной нормали п, т. е.
в наших ') См., например, М. М. Ф н по н е н к о- Б о род н ч, Теория упругости изд. З-е, Гостехнздат, М.— Л., 1947, $ 3, формулы (1.8). 64 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРЗНСГВЕ (ГЛ. обозначениях через координаты п„ и„, и, единичного вектора и: Р =-У,,+ЛЗ,+7;. 3, ( РЗ =зтзтп1-1 УЗЗпч-'т 3ГЗ!пз, 3 У31 !+!32 2+УЗЗ~З (14 61 3(!2 обозначили ТЗ„ 7',„ ...
напряжения Хз, Хт..., на плон!алках, параллельных координатным осям. В данной координатной системе и в данной точке М это будут постоянные величины. Запишем (14.6) в наших кратких обозначениях ТЗ« = ~чР Т"Гхп,. (14 7) ! Умножим эти равенства почленно иа дЯ. Тогда вектор Р согласно (14.5) превратится в Г, а вектор и в силу формулы (14.1) В 5, Н МЫ Пояуинм: «=х г«т р (14.8) « Таким образол«, для всевозможных бесконе«но малых ориентированных площадок, проведеннь!х через данную точку М, координаты вектора силы Г линейно выражаются через координаты вектора площадки 5, а следовательно, сила Г получается из вектора площадки 5 действием на него некоторого аффинора )у с координатами ЛТ: Г = «Та. (!4 1)! п1=-1, и =и =О, и формулы (14.6) да!от 731 =-Л1 71 ."«21 Тз= Тю.
(14 10) )Т(ы получаем координаты нанрюкении р !ш площадке, ортогональной к е,. В самом деле, из линейного характера формул (14.8) сейчас же следует, что для функциональной зависимости Г=«т(5] соблюлаетсн свойство )у(а!+з,) =(у(51)+$(5,), что в сочетании с (14.8) и означает, что эта зависимость является некоторым аффинором (см, Э 8). Этот аффинор «~ называется аффинором напряжений, а соответствующий ему тензор 7« — тензором напряжений В каждой точке М будет свой тензор напряжений, так что в деформированном упругом теле возникает поле тензора напряжЕний.
Чтобы уяснить себе смысл координат тензора напряжений в данной точке М, достаточно, например, положить и =- е1. Тогда й 15) злвисимость твнзогов нлпгяжений п дееогмлций 65 Таким обРазом, ггг выРажает г-ю кооРдина~У напРЯжениЯ Р на площадке, ортогональной к каму орту е (г, 7'= 1, 2, 3). Из механических соображений можно получить, далее, что тензор напряжений должен быть сиггметрическимч) уу= ур.
(14.11) Тензор напряжений возникает не только н деформированном упругом теле, но и, например, в жидкости. асан жидкость идеагьяая, т. е. силы внутреннего трения отсутствуют, то сила напряжения Г, действу.ющая на площадку, может быть лишь силой нормального давления на эту площадку, т. е. направлена по нормали п (в отрицзтельную сторону). Так как вектор площадки э тоже всегда направлен по п, то в формуле (14.9) функция Г оказывается всегда коллинеарной с аргументом в, т. е.
у аффинора б все направления собственные. Исследу.я собственные направления симметрического аффинора (Я 7), мы обнаружили, что этот случай возможен лишь тогда, когда действие аффинора сводится к умножению на некоторое определенное число. Следовательно, Г =Да= — рэ, т. е. )у- — рЕ, (14.12) где число — р означает взятое с обратным знаком давление в данной точке жидкости, Тензор напряжений имеет в этом случае вид Уг =0 (г~у'), ггг= — Р.
(14.! 3) Бслн же ягидкость вязкая, то тензор напряжений не обязан иметь столь простой внд, так как помимо нормального давления на данную площадку действуют еще силы, порождаемые трением. $ 15. Зависимость тензора напряжения от тензора деформаций Основой теории упругости является установление зависимости тензора напряжений от тензора деформаций.
В самом деле, каждый элемент деформированного упругого тела испытывает, как мы знаем, параллельный сдвиг, поворот и чистую деформацию. Только последняя вызывает появление упругих сил, а следовательно, тензор напряжений должен в каждой точке тела зависеть от тензора деформаций, который как раз и выражает чистую деформацию. г'.сли такая зависимость будет установлена, то становится ясной и основная схема теории упругости, которая в грубых чертах такова: ускорения, испытываемые частицами упругого тела, зависят от напряжений в нем, этн последние зависят от тензора деформаций, а гензор деформаций выражается уже известным нам образом через переме- ") См, там же, 4 2, форггулы (!.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
