1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В изображении изотропный конус выглядит как прямой круглый конус с осью ОХ, и с углом 45' между осью и образующей, Очевидно, при переходе в другую точку Оь изотропный конус переносится параллельным сдвигом на вектор ООь. Будем откладывать теперь от начала О всевозможные векторы х мнимой длины. Для этих векторов хтс.,О, а значит, координаты нх концов удовлетворяют условию — хь +х' +х' с.О, т. е.
) х'() у х' +х' . (47,71 Концы этих векторов расположены, очевидно, внутри изотропного конуса, так как в изображении их расстояния от оси конуса меньше расстояний от плоскости ОХ,Х, (з то время как для точек конуса эти расстояния равны). Напротив, концы векторов х вещественной длины (х')0) удовлетворяют условию — хел+х" +х")О, т. е. )хь)<у х"-1-х", (47.8) и располагаются вне изотропного конуса. Аналогичная картина повторяется, конечно, и при откладывании векторов х от любой точки прострзнства Оь. Таким образом, ясно, что прямые, исходящие из данной точки, распадаются на три класса: прямые, расположенные внутри изотропного конуса (длины мнимые), вне изотропного конуса (длины вещественные) н по самому конусу (длины нулевые).
Эта картина повторяется в псевдоевклидовом пространстве любого числа изв1ерений (см. рис. 11, стр. 283). В двумерном случае роль изотропного конуса играет пара нзотропных прямых. Рассмотрим теперь двумерные плоскости трехмерного псевдоевклидова пространства, причем для простоты будем проводить нх тоже через начало О. Здесь возможны три случая. 1'. Плоскость проходит, не считая точки О. целиком вне изотролного конуса. Тогдз все ее векторы х (не считая векторз х = О) 196 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ [гл. ш обладают положительным скалярным квадратом хг>0, так что плоскость обладает собственно евклидовой геометр гй (т.
е. на ней имеет место обычная планиметрия), Примером такой плоскости может служить, очевидно, координатная плоскость Х ОХ . Обратно, всякая собственно евклидова плоскость, проходящая через О, может быть принята за координатную плоскость Х,ОХ, при подходящем выборе Ортов (ет, ез строим в плоскости, е, — ортогонально к ней). 2'. Плоскость касается изотропного конуса по одной образующей. Заметим прежде всего, что касание плоскости с изотропным конусом по его образующей равносильно тому, что плоскость проходит через начало О и ортогональна к этой образующей. В самом деле, пусть п(иь, и', иг) †ради-вектор какой-либо (отличной от О) точки на образующей.
Тогда, как видно из уравнения изотропного конуса, уравнение плоскости, касательной к нему, в этой точке (а следовательно, и вдоль всей образующей) будет: „ьиь+ ятиг -[- яаке = 9. (47.9) Это уравнение можно переписать в виде (47.10 ) хи=О, где х — радиус-вектор любой точки нашей плоскости. Таким образом, (47.9) равносильно тому, что радиус-вектор любой точки плоскости ортогонален к и, т. е. что плоскость проходит через О и ортогональна к образующей. Этим наше утверждение доказано, Теперь ясно, что плоскость, касающаяся изотропного конуса по образующей, будет изогропяой (так как она содержит вектор и, ортогональный ко всем ее векторам).
Обратно, всякая изотропяая плоскость, проходящая через О, будет касаться изотропного конуса по некоторой образующей. В самом деле, прямая, ортогональная к изотропной плоскости, сама будет изотропной (вытекает нз теоремы % 41 при и= 3, ш = 2) и, следовательно, если ее провести через начало О, является образующей изотропного конуса. Таким образом, наша изотропная плоскость проходит через О и ортогональна к одной из образуюиьих изотропного конуса, а это, как мы только что видели, равносильно касанию с изотропным конусом вдоль этой образующей. 3'. Плоскость пересекается с изотропным конусом по двум образующим, Тем самым случай касания с конусом устранен, а значи~, плоскость неизотропная и несет на себе евклидову метрику. Остается выяснить, чему равен индекс этой метрики: О, 1 или 2? Собственно евклидов случай ([г = О) и сводящийся к нему (7г = 2) Отпадают, так как в этих случаях на плоскости нет изотропных прямых, в то время как наша плоскость нх содержит (а именно, две й 47! тгехмееное псгвдоевклидово пгостглнство индекса 1 197 образующие, по которыч она пересекается с изотропным конусом, и, конечно, все параллельные им прямые).
Остается случай )т.=- 1, т. е. наша плоскость псеедоееклидоеа. Примером такой плоскости тюжет служить, очевидно, координатнзя плоскость ХчОХы Обратно, всякая псевдоевклидова плоскость, проходящая через О, может быть прина~а за плоскость Х ОХ, при подходящем выборе ортов (егп е, — на плоскости, е, — ортогонально к ней). Заметим, что в случае и-мерного псевдоевклидова пространства индекса )т = 1 все наши рассуждения (проведенные для случая и = 3) повторяются дословно; только вместо нзотропного конуса нужно рассматривать изотропньш гиперкопус — х'+х'+... (-х" ' =О, а вместо плоскостей †гиперплоскос.
Рассмотрим теперь картину взаимно ортогональных направлений в нашем пространстве. Здесь будет более нзглядным рассматривать не взаимно ортогональные прямые, а взаимно ортогонзльные прямую и плоскость (проходящне для простоты через начало О). Пусть прямая задана направяяющим вектором и. Тогда радиусы-векторы х точек плоскости удовлетворяют условию цх = О, т. е. плоскость определяется уравнением иохч + итхт+ изхз (47,11) С точки зрения изображения зта плоскость ортогональна к вектору и'( — ич, и', иа), который представляет собой зеркальное отражение вектора и относительно плоскости Х,ОХ,. Можно сказать и так, что, проводя плоскость, ортогональную к данной прямой с точки зрения изображения, и беря ее зеркальное отражение относительно плоскости Х,ОХз (тоже с точки зрения изображения1), получаем плоскость, ортогональную к данной прямой с точки зрения псевдо- евклидовой геометрии.
Очевидно, что, когда данная прямая вращается в направлении к изотропному конусу, ортогональная плоскость вращается ей навстречу, причем, когда прямая занимает положение образующей, ортогональная плоскость становится касательной к конусу вдоль втой образующей. Рассмотрим еще изображения сфер нашего псевдоевклидова пространства, для простоты, с центром в О, Снова (как и для окружностей) рассмотрим случаи вещественного, мнимого и нулевого радиуса. Вообще уравнение сферы с центром в О, т.
е. уравнение геометрического места точек с постоянным расстоянием р от О, 198 ввклидово пгостглнство л измегвний (гл, и записывается в виде х' — — о', т. е. — -х" -1-х' -)-х' = р'. (47. 12) Если р = а (радиус вещественный), то получаем: — хв +хг +ха =от т. е. в нашем изображении сфера вещественного радиуса выглядит как однополостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХш Если р =- а) (радиус чисто мнимый), то имеем; — х +х +х =- — а, 0 г 2, я и сфера чисто мнимого радиуса выглядит в изображении как двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХ„.
В обоих случаях аснмптотнческим конусом гиперболоидов служит изотропный конус. Если же р = О, то уравнение (47,12) совпадает с (47.6), так что сфера нулевого радиуса совпадает с изотропным конусом, что ясно, конечно, и из его определения. 8 48. и-мериое псевдоевклидово пространство индекса ! Мы уже упоминали, что в л-мерном случае псевдоевклидово пространство индекса 1 будет выглядеть в основном сходно с трехмерным случаем. Действительно, мнимо единичный орт еч остается по-прежнему единственным, увеличивается лишь число единичных ортов: вместо е,, е, мы будем иметь е,, е,, ..., е„ ,.
Скалярный квадрат вектора будет теперь выражаться формулой ха ха', (48.1) виесто частного случая этой формулы х'=- — х' +х' +х'. (48.2) Нетрудно повторить все построения и выводы й 47 и для л-мерного случая. Так, изогролный гилерконус определяется уравнением — х" +х' -1-...+х' ' =О, (48.3) его внутренняя область определяется условием — х' +х' +... +х" ' (О, (48.4) а внешняя — условием — х'+х'+...+х" ' )О.
(48.5) Наименования «внешняяь и . виутренняяя можно оправдать без апелляции к наглядности тем, что внутренняя область всегда со- к 48] л-мясное псевдоевклплово пгостгхнство индекса 1 199 держит вместе с двумя какими-нибудь точками А, В и соединяющий их отрезок; внешняя область этим свойством не обладает. Таким же образом и далее можно воспроизвести почти автоматически все построения Э 47.
Разница будет лишь в том, что в трехмерном случае мы могли широко использовать наглядное представ. ление, построив в обычном пространстве изображение наше~о псевдоевклидова пространства. При этом искажались метрические свойства, но по отношению к аффинным свойствам, в часгности, к числу измерений пространства, изображение бьшо точным, Таким образом, трудность, если таковая вообще была, заключалась лишь в непривычном характере метрики. Теперь на эту трудность накладывается и другая †многомерн характер пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
