1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Очевидно, это элементарное преобразование, наложенное на любое собственное движение, приводит к изменению знака Ре!! А,',), т. е. к превращению этого движения в несобственное. Между любыми двумя несобственными движениями возможен непрерывный переход, что вытекает из аналогичного свойства собственных движений. Но, конечно, непрерывный переход от собственного к несобственному движению невозможен, так как Ре1(А),) не может непрерывным образом перейти от значения -1-1 к значению — 1. Если выбрать какой-нибудь репер Йа и отнести к одному классу все реперы Я', получающиеся нз него собственными движениямн, а к другому †в реперы Й", получающиеся из него несобсзвенными движениями, то все реперы распадаются на два класса, причем в пределах ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИИ [гл. ш каждого класса возможен непрерывный переход от одного репера к другому, а от одного класса к другому непрерывный переход невозможен.
Полученное разбиение на реперы данной н противоположной ориентаций аналогично рассмотренному в вещественном аффинном пространстве. Разница только в том, что сейчас нас интересуют не любые аффинные, а лишь ортонормированные реперы; это приводит и в комплеконом случае к той же картине (в то время как комплексные аффинные реперы на два класса не распадаются). й 50. Псевдоортогоиальиые преобразования ек =А'Ре, можно записать в детализированном виде, отличая единичные и мнимоединичные орты: а А Еа'=АаЕа+ АаЕА, а А ех АА еа + Аыех . (50.1) В правых частях по а и А происходит, конечно, суммирование.
Вся матрица преобразования состоит, таким образом, из четырехматриц: '.4„! А„' (~ й ~) А1, ,') == ! 1АА ) АА )(и — и (50.2) При помощи этой же магрицы преобразуются, как мы знаем, ковариантные координаты х; произвольного вектора х: а, А Ха. — Аа Ха —, Аа ХА, ХА = АА Ха + АР;Хх . (50.3) Рассмотрим теперь случай, когда (49.1) дает преобразование репера Я вЂ” И' в лсевдоевклидовом пространстве индекса )г.
Мы будем считать, что )г принииает значения 1, 2, ..., и†1. Случай в=и исключаем, как прииодящий по существу к собственно евклидову пространству (см. начало 2 44); в этом случае А,'. †то вещественная ортогональная матрица. ПУсть, как обычно, е, ..., е„ (соответственно егч ..., еь,)— мнимоединичные орты; остальные орты †единичн.
Пусть индексы а, (), у, ... пробегают у нас значения 1, 2, ..., )г, а индексы 5, )г, т, ... — аначення й + 1, ..., л. Тогда разложение 205 й 50) псеВдООРТОГОИАльные ИРеОБРАЭОВАния Но его контравариантиые координаты х преобразуются при помощи транспонированной обратной матрицы, а именно: хе = А)'х', нлн, как мы теперь можеч записать: х"'=А"„х" + АА х", (50.4) Но в любом ортонормированном репере между х' и х; существует связь (42,24), которую мы теперь можем записать в виде Хи = — Х", ХА = Х". Заменяя согласно этим формулаи ковариантные координаты через контравариантные в преобразовании (50.3), получим: х"' = А;ха — А„.х", В правых частях по а и ) по-прежнему подразумевается суммирование.
Матрица, посредством которой производится преобразование (50.6), отличается от матрицы (50.2) лишь изменением знака у элементов с разнородными индексами. Но преобразование (50.6)— зто лишь другая запись преобразования (50.4), и матрицы у нях должны совпадать: (50. 7) А к А А Таким образом, матрица (50,2) после изменения знаков элементов в правой верхней и левой нижней клетках совпадает со своей транспонированной обратной матрицей.
Такие матрицы мы будем называть псевдоортогональными матрицами индекса й. Если матрица А,'. псевдоортогональная, то, конечно, обратная матрица А), тоже псевдоортогональная того же индекса и. Это видно хотя бы из полной сииметрии формул (50.7) относительно обеих матриц. Таким образом, переход от ортов старого к ортам нового репера осуществляетсн при помощи псевдоортогональной матрицы. Обратно, всякая псевдоортогональная матрица (нндекса й) переводит любой данный ортонормированный репер (в пространстве индекса й) снова в ортонормнрованный репер.
Это следует из того, что при наличии условий (50.7) закон преобразования контравариантных координат (50.4) можно переписать в виде (50.6); далее, сравнивая закон преобразования (50.6) с (50.3) н пользуясь соот- 206 езклидово пгостРянство и измеРений (гл. ш ношениями (50.5), которые имеют место в данном ортояормированном репере, убеждаемся, что и в преобразованном репере эти соотношения также справедливы: (50 6) хы = х". х ° =- — х"', Сравнивая полученные формулы с общей формулой опускания индекса ХР = Кер ХГ, убеждаемся, что в полученном репере х,„,,= — 1, хыы=- 1, б,о =-0 (Р чи г'), т. е.
что репер ортонормированяечй. Псевдоортогональные матрицы (подобно ортогональным) можно было бы характеризовать условиями, наложенными на попарные произведения их строк, однако теперь произведение двух строк нужно понимать как сумму произведений соответствующих элементов перемножаемых строк, причем первые й произведений берутся с обратными знаками. Тогда произведение разных строк всегда давало бы нам нуль, а произведение одинаковых или — 1 (для первых й строк) или + 1 (для остальных).
Разумеется, все сказанное справедливо и для столбцов. Нетрудно обнаружить, что, как и для ортогональных матриц, Ре1(А;',(= ~ 1. (50.9) В самом деле, изменение знаков в правой верхней и левой нижней клетках матрицы (50.2) не меняет ее определителя, так как сводится к умножению на — 1 первых й ее строк и первых й ее столбцов (а определитель умножается при этом иа ( — 1)'" 1). В то же время это изменение знаков означает согласно (50,7)переход к транспоннрованной обратной матрице, а значит, и определитель меняет свое значение на обратное.
Таким образом, Ре1(А',',) равен своей обратной величине, а это влечет равенство (50.9). Однако в случае псевдоортогональных матриц их классификация по значению определителя ~ 1 оказывается слишком грубой, фактически псевдоортогональные матрицы данного порядка и и данного индекса й распадаются не на два, а на четыре класса (аналогнчно простейшему случаю псевдоевклидовой плоскости, когда п=-2, й=!). В самом деле, заметим, прежде всего, что в матрице (50,2) девая верхняя и правая нижняя клетки содержат неособенные матрицы (порядков й и и — й соответственно): Ре1( А,",ы ~ь О, Ре1( АР„' ( =~ О. (50.
1О) 207 й 50) псввдоогтогонлл ьныв пгвоввхзовлния Чтобы показать это, допустим противное, например, (уе! ( А<",. ( =- О. Тогда между строками матрицы А„" (а' — номер строки) существует линейная зависимость, которую можно написать в виде а"'А„".=0 (а=1, 2, ..., (г); (50.! 1) по а' происходит суммирование. Умножая верхнее равенство (50.1) на а"' н суммируя по а' = 1', ..., *', получаем (учитывая (50.11)): ~л.", ан'еа = Х гг"'А„'.ех.
Так как коэффициенты линейной зависимости а"' не обращаются в нуль одновременно, то скалярный квадрат левой части равенства будет отрицательным (так как е„'. = — 1, е„.ея. = О), а скалярный квадрат правой части будет положительным, в крайнем случае нулем (так как ег' = 1, ехен = 0). Полученное противоречие показывает справедливость нашего утверждения (50.10). В результате для определителей (50,10) возможны следующие четыре комбинации знаков, соответственно чему распадаются на четыре класса и двмяоенил ортонормированного репера И (как мы будем кратко называть переход от одного ортонормированного репера Я к другому Я'). ( Ое! )Азы ( Тнп движения (50.12) Собственное движение Несобственное движение 1-го рода Несобственное движение 2-го рода Несобственное движение З.го рода Простейшими примерами движений каждого из четырех типов служат: 1'.
Тождественное преобразование. 2', е переходит в — е„ Р остальные орты » » — ет и начало Оне меняются, 4'. е„е„ » » — е„— е„ Так как рассматриваемые определители не могут принимать нулевых значений, то при неизменном Я и непрерывном изменении Я' движение всегда остается в пределах одного из указанных четырех типов.
Можно было бы показать также (этого мы делать не будем), что в пределах одного типа всегда возможен непрерывный переход 208 евклидова пгостгянство и измегвний (гл. ш от одного движения И вЂ” Я' к любому другому И Я" в смысле непрерывного перехода репера Я' в Я". В результате движения каждого типа можно характеризовать тем, что они могут быть получены непрерывным переходом от простейшего движения этого же типа. В частности, собственные движения Я вЂ” Я' характеризуются тем, что их можно получить непрерывным переходом от тождественного преобразования, т.
е. Я' получается непрерывным изменением Я. Отсюда вытекает также, что последовательное выполнение двух собственных движений Я- Я', Я'- Я" дает снова собственное движение Я И". В сагюм деле, поскольку переход от Я к И' и от И' к И" происходит в результате непрерывного изменения репера, то тем же свойством обладает и переход от И к Я". Нетрудно было бы составить таблицу, которая указывала бы, какой тип движения мы получим в результате наложения движений двух данных типов. За образец можно принять простейшие движения каждого из четырех типов; наложение их дает всегда одно из этих же простейших движений. Если перейти теперь от простейших движений к произвольным движениям этик же типов, то ввиду непрерывности такого перехода тип реаультирующего движения не изменится; таблица, составленная для простейших движений, будет пригодна во всех случаях.
Далее, так как при непрерывном изменении движения Ре((А,'.( (равный ~ 1) не меняется, то для любого движения он будет таким же, как н для простейшего движения этого же класса, т. е. Ре1)А';,)=1 для движений классов 1', 4'; (зе1)А ~ = — !»» » 2', 3'. Таким образом, наша классификация (50.12) является действительно подразделением более грубой классификации (50.9). Нетрудно уяснить себе наглядный смысл нашей классификации движений: собственное движение не меняет ориентации не только всего репера в целом, но и отдельно его частей: е„ (совокупность мнимоединичных ортов) и ех (совокупность единичных ортов); несобственное движение 1-го рода не меняет ориентации е„, но меняет ее для ех, несобственное движение 2-го рода ведет себя обратным образом; наконец, несобственное движение 3-го рода меняет ориентацию н для е„, и для ех, но не меняет ее для репера в целом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
