1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 44
Текст из файла (страница 44)
соответствующие определители не изменятся; матрица же )) АА ~~ вообще не изменится. А Итак, тип перехода )й — М+ останется без изменения, хотя репер Я принадлежит к другому классу, чем репер Ж. В случае комплексного енклидова и собственно евклидова пространств вопрос этим исчерпывается ввиду наличия лишь двух классов реперов. В случае псевдоевклидова пространства имеется четыре класса реперов, и нужно провести соверщенно аналогичное рассуждение, во-первых, с заменой е„ на — е„ и, во-вторых, с заменой е„ на — е„ и ет на — е, одновременно. В результате мы убеждаемся, что данйое движение в евклидовом пространстве, примененное к любому реперу, дает переход всегда одного и того же типа.
Поэтому тип этого перехода законно принять за тип самого движения. р 63В. Вложение вещественных евклидовых пространств в комплексное евклидово пространство Далеко идущая аналогия в свойствах комплексного и вещественного пространств, ранее аффинных, а теперь евклидовых, не должна, однако, вводить нас в заблуждение. Комплексное л-мерное аффннное пространство (мы начнем с него) обладает весьма своеобразной ф 53] Вложение ВещестВенных пРОстРАнстВ В комплексное 221 геометрией. Начать с того, что по существу это пространство обладает не л, а 2л измерениями. В самом деле, каждая изл комплексных координат х», определяющих положение точки, как и всякое комплексное число, может быть записана в виде х» = а" + ср», а следовательно, положение точки определяется 2п независимымн вещественными параметрами, и фактически мы имеем 2л-мерное пространство.
Может показаться, что комплексное л-мерное аффинное пространство просто эквивалентно 2п-мерному вещественному аффинному пространству, но это тоже было бы неверно. Так, например, т-мерные плоскости в комплексном аффинном пространстве будут действительно 2т-мерными плоскостями в вещественном 2л-мерном пространстве с координатами аг, ])Т, но, однако, отнюдь не любыми такнмн плоскостями.
В частности, прямые линии в комплексном пространстве 1т = 1) будут по существу двумерными плоскостями в вещественном 2п-мерном пространстве, но также не произвольными, а принадлежащими к некоторому определенному классу. Аффинные преобразования в комплексном л-мерном аффинном пространстве зависят от ла+ л комплексных параметров, т. е. от 2 (па+ л) вещественных параметров. Между тем аффинные преобразования в соответствующем 2п-мерном вещественном аффинноч пространстве зависят от (2л)т + 2л = 4ла+ 2п вещественных параметров н образуют более обширную группу. Все это показывает, то формальное сходство между комплексным и вещественным аффинными пространствами не затрагивает самую геометрическую основу этих пространств.
Это сказалось, между прочим, в $37 при рассмотрении объемов в аффинном пространстве, где мы сознательно ограничились вещественным случаем. Если бы захотели рассматривать объемы в комплексном пространстве, то нам не удалось бы удержаться в рамках формальной аналогии с вещественным пространством и пришлось бы прямо трактовать л-мерное комплексное пространство как 2п-мерное вещественное. Все, что было сказано, остается справедливым и при перехоле к евклидовым пространствам. Особенно следует подчеркнуть, что пара точек в вещественном евклидовом пространстве обладает одним вещественным ннвариантом )расстоянием), в то время как в компяексном евклидовом пространстве таких инвариантов даа, так как кольл»ыксное расстояние равносильно двум вещественным инвариантам, С этим связано и то, что группа движений в л-мерном комплексном евклидовом пространстве зависит от существенно меньшего числа евклидова пгостгкнство и измвгений 222 [гл.
ш параметров, чем в 2п-мерном вещественном евклидовом пространстве и (а+1) (в первом случае комплексных, а значит, и (и+ 1) вещественных параметров, во втором случае =п(2п+1) вещест2л (2л+ 1) 2 венных параметров). Мы хотим теперь показать, что и-мерное вещественное евклидова пространство всегда можно квложить» в и-мерное комплексное евклидова пространство, т. е. рассматривать как надпространство последне~о. Покажем это сначала для собственно евклидова пространства. Вььберем какой-либо ортонормированный репер Я (О, еы ..., е„) в комплексном евклидовом пространстве и рассмотрим совокупность всех точек т)( и векторов х этого пространства, координаты которых х' имеют веи(ественные значение. Мы утверждаем, что эта совокупность точек н векторов образует и-мерное собственно евклидова пространство. В самом деле, прежде всего мы получаел~ такил~ образом и-л~ерное вещественное аффинное пространство, так как зсе соответствующие аксиомы будут у нас соблюдаться.
Так, например, вектор АВ, ксоединяющий» точки А, В с вещественными координатами, сам имеет вещественные координаты; откладывание вектора х с вещественными координатами от точки А с вещественными координатами приводит нас в точку В тоже с вещественными координатами; умножение век~ора х с вещественными координатами на вещественное число а дает нам вектор ах, снова обладающий этим свойством, и т. д.
Размерность полученного веи(вственного аффинного пространства будет равна и, так как и линейно независимых векторов е, е„..., е„существует, а любой вектор х с вещественными координатами тем самым разлагается по ним с вещественными коэффициентами, г(о, кроме того, в полученном пространстве имеется и метрика (заимствованная нз вмещающего комплексного евклидова пространства) х' = х' + х' +... + х" . Так как мы ограничиваемся векторами х с вещественными координатами х', х'-', ..., х", то это есть метрика собственно евклидова пространства. Следует обрастить внимание' на то, что выделенное таким образом в и-мерном коиплексном евклидовом пространстве п-мерное собственно евклидова пространство не образует в нем плоскости, по крайней мере, в том смысле, как мы употребляем этот термин.
В самом деле, плоскость строи~ся у нас на основе каких-то и» к и линейно независимых направляющих векторов, из которых составляются всевозможные линейные комбинации с комплексными коэффициентами (поскольку прас~ране~во комплексное); полученные векторы й 54] нзмвгьннв овъвмов в ввпдвстввнном пгостехнстзв 223 откладываются от фиксированной точки 0*. Мы же вместо этого взяли все и ортов е„, ..., е„, но, составляя их линейные комбинании, искусственно ограничились лишь вещественными коэффициентами. Почти столь жс просто можно выдели~ь в п-мерном комплексном евклидовом пространстве и псевдоевклидово пространство, тоже и-мерное и обладающее любым индексом й = О, 1, ..., п.
Для э~ого достаточно взять за основу вместо какого-нибудь ортонормированного репера Ж (О, е, ..., е„) репер Я(0, )е„..., деы е ьы ..., е„), (53.!) т. е. помножить первые й векторов на д (это вполне возможно, так как мы находимся в комплексном пространстве). Нетрудно заметить, что тем самым эти векторы из единичных превратятся в мнимоединичные. Рассмотрим теперь совокупность точек и векторов, имеющих вещественные координаты х' относительно репера й!. Совершенно так же, как и ранее, убеждаемся, что мы получили вещественное и-мерное аффинное пространство. Кроме того, зто пространство снабжено петрикой ха = — х' —...
— х + ха+ д -)-... + х", так как вектор х с вещественными координатами х' относительно репера Ж имеет разложение к = дх'ед+... + дх ел+ хь" 'е,+, +... +х"е„, (53,3) откуда легко получается (53.2) почленным возведением в скалярный квадрат. Мы действительно выделили псевдоевклидово пространство индекса й. В ряде случаев бывает полезным трактовать этим путем вещественные евклидовы пространства как подпространства комплексного евклидова пространства того же (в комплексном смысле!) числа измерений и.
Конечно, такое выделение вещественных евклидовых пространств совершается бесчисленным количеством способов †п любом выборе репера Й. $ 54. Измерение объемов в вещественном евклидовом пространстве Мы выражали объем какой-либо и-мерной области .0 в и-мерном вещественном аффинном пространстве посредством интеграла ввклидово пгостглнство л измагвний [гл. ш вычисленного в какой-либо аффинной координатной системе ($ 37). Этот интеграл не имеет, конечно, определенного численного значения и является (знакопостояиным) относительным инвариантом веса — 1, т. е.
он преобразуется по закону Ро =- 1'р ! Ое1 ! А1, ! ) (54.2) В случае евклидова пространства мы сужаем определение объема, а именно, объемом области Ел мы называем интеграл (тр, вычисленный в любой ортонормированной координатной системе. Объем в евклидовои смысле будет уже инвариантом, так как при переходе от одного ортонормированного репера к другому всегда Ое1)А1,~=~1, а следовательно, (54.2) дает "'р= ~п.
(54.3) Таким образом, теперь объем данной области 7:1 имеет вполне определенное численное значение, При этом следует иметь в виду, что задание объема а евклидовом смысле влечет его задание и в аффинном смысле: раз для данной области 0 известен интеграл )тр, вычисленный в ортонормированных координатах, то он будет известен и в любых аффинных координатах †достаточ воспользоваться законом преобразования (54.2), — а это и означает задание объема в аффинном смысле.
Обратно, если в евклидовом пространстве нам задан объем некоторой области с) в аффинном смысле, т. е. известен интеграл )тр, вычисленный в любых аффннных и, в частности, ортонормировайных координатах, то, значит, известен объем и в евклидовом смысле. В дальнейшем будем заниматься свойствами объемов в евклидовом смысле; будем обозначать эти объемы (Рр, Объем составной области О=-й,+7)„где 21, и Оа — неперекрывающиеся составляющие области, по элементарному свойству кратного интеграла будет равен сумме объемов эгих областей: 1"о= (Ро,+ (7о.
(54.4) Далее, если О и 71» — конгруэнтные области, т. е. переводятся одна в другую движением евклидова пространства,то их объеиы одинаковы (54.5) В самом деле, будем вычислять интеграл (54.1) для областей О и Р , причем в первом случае берем координаты х', ...,х" относительно какого-либо ортонормированного репера Я, а во втором слу. чае †относитель репера Й», полученного из М тем движением, у 54) измерение ОбъемОВ В ВещгстВенном пространстве 225 л= Ое1)дг !. (54.6) Действительно, согласно (39.17) при переходе из одной аффинной координатной системы в другую л' = (Ре1(А), ~ )' е. (54.7) Очевидно, Л и д имеют всегда одинаковые знаки: мы находимся в вещественном евклидовом пространстве, так что (Ре1( А';,~)а > О.
Чтобы получить теперь относительный инвариащ веса 1, достаточно взять »' л, причем, чтобы не иметь дела с мнимостями, мы предпочтем взять )Г) ф~. Беря обе части (54.7) по модулю и извлекая из них квадратные корни (со знаком + ), получаем: )/тд ) — ) ОЕ1 (АР'П У(у(. (54.8» Таким образом, ф' (р( есть знакопостоянный относительный инвариант веса + 1, и перемножая (54.2) и (54.8) почленно, получаем: (54.9» т. е. произведение ф' ~ф ° $/О есть инвариант преобразования аффнн- ных координат. Этот инвариант совпадает с )р'и. (Рр )' (ф (Рп 1РГ ~ ф ~ ~ Ихт сгх (54.10) В П, К. РешеееееВ которое переводит Рв Р». Координаты х' каждой точки области Р» относительно Йе будут такими же, как координаты соответствующей точки области .0 относительно Я, так что переменные под знаком интеграла пробега1от в обоих случаях одну и ту же область измененив, и интегралы будут равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
