1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Существенно, что все возможные усложнения в законе преобразования (не считая перехода к псевдотензорам) связаны здесь с наличием (уе1) А»,) ~1 и исчезают в случае 0е1~А»».~ = 1. 9 56) ЛИНЕЙНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ 239 Существенно иная картина наблюдается в гвклидовом пространстве, к которому мы сейчас н переходим. В евклидовом пространстве понятие линейного геометрического объекта вводится совершенно аналогично тому, как мн делали это в аффинном пространстве. При этом вместо квазиаффинной группы в многообразии аффннных реперов мы исходим из группы квазидвижгний в многообоазии ортонормировакяых реперов н задаемся каким-либо ее линейным представлением в пространстве переменных «р„..., «рля А именно, каждому квазидвижению в многообразии ортонормнрованных реперов) мы сопоставляем линейное преобразование переменных (56.
7) с таким расчетом, что наложению квазидвнженнй отвечает наложение соответствующих лннейных преобразований (56.7). Коэффициенты ВРРЧ ВР, должны по-прежнему непрерывно зависеть от коэффициентов А, 'Аг квазидвиження 00' =- Аге ц ез = А«,еп (56.8) где теперь, конечно, матрица А;', либо ортогональная комплексная, либо ортогональная вещественная, либо псевдоортогональная, в зависимости от того, в каком евклидовом пространстве мы находимся: в комплексном евклидоаом, собственно евклидовом илн псевдоевклндовом.
Задание линейного геометрического объекта в евклидовом пространстве означает сопоставление каждому ортояормированному реперу Я чисел «р,(Я), ..., «рм(Я), которые прн переходе к другому ортонормированному реперу ))() подвергаются линейному преобразованию (56.7), отвечающему квазидвиженню Я- Я'. Аналогично аффинному случаю н по тем же причинам мы ограничимся частным случаем линейного геометрического объекта, когла закон преобразования (56.7) не зависит от А', т.
е. координаты объекта не меняются при параллельном сдвиге репера. Такого частного вида объекты могут быть истолкованы как объекты в цгнтроевклидовом пространстве, т. е. евклидовом пространстве с фиксированной точкой 0 †центр пространства. В самом деле, в центроевклндовом пространстве ~руппа движений сводится к группе вращений около центра О, а в качестве реперов достаточно брать ортонормнрованные реперы с началом в центре О. Соответственно, яместо группы квазидзиженвй в многообразии ортонормированных реперов мы можем ограничиться ее подгруппой — группой квазивращгний.
Квазивращгниями мы будем называть квазидвиженнн, при которых начало каждого репера остается неподвижным (Аг=- 0), 240 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ (гл, ш так по (56,8) принимает вид ее =А,',ег, 00'=О. (56.9) Линейные геометрические объекты в цеитроевклидовом пространстве мы будем кратко называть центроевклидовыми. Их мы определяем, исходя из закона преобразования (56.7)„ где, однако, (56.7) есть линейное представление группы квазивращеиий (56.9), а не всей группы квазидвижеиий. Это аначит, что коэффициенты в (56.7) зависят только от А',, но не от А', так что г(ентроевклидовы объекты совпадают с этим частньгм случаем линейных геометрических обвектов в евклидовом пространстве. Кроме того, мы будем предполагать Вр, О.
В результате центроевклидов объект задается следующим образом: каждому ортонормироваииому реперу Я сопоставлены 7ч' чисел ~рх(Я), ..., ~рн (Я), причем мы ограничиваемся реперами й с фиксированным началом 0; эти числа при переходе от одного репера Я к другому Я' испытывают линейное преобразование Ф р„. = ~р врр, Р (56.
1О) отвечающее квазивращению Я Я' в некотором линейном представлении группы квазивращений. В качестве центроевклидовых объектов могут служить прежде всего тензоры, а в комплексном случае — и псевдотеизоры, рассматриваемые в ортонормированных реперах. Что же касается относительных теизоров, то мы не сможем их сконструировать ввиду того, что при ортогональном (псевдоортогоиальиом) преобразовании 0е1) А,',( -Ь 1 и какую-либо степень модуля этого определителя бесполезно употреблять в качестве дополнительного множителя в теизориом законе преобразования.
Единственное, что можно здесь сделать †э условиться о появлении дополнительного множителя В1пи Г)е1 ) А',. (, причем в псевдоевклидовом случае можно брать и другие множители: Вал Г1е1 ~А„" ( или а(йп Г)е1~АЕИ~ (обозиачеиия $50). Зато чрезвычайно важно, что центроевклидовы объекты ие исчерпываются тензорами. Существует более широкий класс центроевклидовых объектов †т называемые спиноры и спинтензоры, играюпхие существенную роль в современной физике. Г!раааа, при этом приходится несколько расшири~ь понятие о цеитроевклидовом объекте, допуская его чдвузиачностьа (см. ниже), В последующих параграфах мы дадим изложение основ теории спииоров в четырехмерном евклидовом пространстве.
Мы ограничимся случаем и = 4 по двум причинам. Во-первых, имеиио этот 241 9 57) СПИНОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО случай играет роль в физике; во-вторых, он допускает элементарное изложение, в то время как для общего случая потребовалось бы развивать довольно обширную теорию"). Для сокращения изложения мы будем вынуждены отказаться от наводящих соображений и прямо показать, как строятся спиноры и спинтензоры. й 57*. Спииорное пространство Мы построим теорию спиноров сначала в комплексном четы+ рехмерном евклидовом пространстве )«24. Пусть (О, е„е„еа, е«~ обозначает ортонормированный репер Я в Я4, а х', ха, ха, х«вЂ” координаты вектора относительно этого репера. Ортонормированные координатные системы в )74 характеризуются тем, что скалярный квадрат вектора х имеет вид х' = х" -(- ха' -(- ха' -1- х«".
К пространству И,+ мы вернемся в 9 58, а на протяжении этого параграфа мы будем вести подготовительные построения в четырехмерном комплексном аффинном пространстве А,, рассматриваемом параллельно с 2«2,+. Прежде всего в пространстве А, мы зададим раз навсегда начало О и пару двумерных плоскостей А, А, проходящих через О и не имеющих общих направлений. Аффинный репер в А,+ мы условимсв выбирать всегда так, чтобы начало его лежало в О, первые два вектора е,, е, принадлежали плоскости А„ а последние два, которые мы будем обозначать е- е-, — плоскости А,. 7' Таким образом, из одного репера Й(е, е„е-, е-) любой лругой будет получаться преобразованиеи ер = а-',ег + а'-,е,, (57.
1) е; =- а-,е- + а-,е., 1 2 2 2' 1 2' 2 1 2 е, =а,е,+а, е„ 1 2 е,. = а, е, + а,.е, ел = ал.ел, е-,=а~ е-, (57.2) ") Она изложена В статье автора «Теория спннороа», УМН, Х, аып. 2 (54> (1955). так как е, е,. остаются в плоскости А„а е-„еч — в плоскости А . х' Мы условимся (до конца глаиы), что греческие индексы будут пробегать у нас значения 1, 2. Тогда (57,1) можно записать кратко: 242 авклидово пгостгкнство л изметгний [гл, ш Однако мы наложлм еще ограничение на выбор допустимых репероз: все они должны получаться друг из друга при помощи унимодуллрных преобразований как над е,, е,, так и над е;, еу. Уннмодулярными мы называем линейные преобразования с определителем 1, так что в нашем случае: !и,'.
и,',! и\ па Ре1[ах ~=,, =1, Ве1[и;, (= „„=-1. (57.3) п2. и[. (57.4) где ь 7' ь а-,ан =5-. и' амат =б„, (57.5) Если учесть, что пи †унимодулярн матрица, то легко подсчитать, х воспользовавшись уравнениями (57.5), ее обратную матрицу: (57.6) Так как унимодулярные линейные преобразования образуют группу, то достаточно потребовать, чтобы все рассматриваемые реперы получались унимодулярными преобразованиями в смысле (57.3) из олного начального; тогда унимодулярность автоматически имеет место и при переходе от любого репера к любому. Итак, в Агт мы рассматриваем совокупность аффинных реперов. нагорал замкнута относительно всевозможных преобразований (57.!), удовлетворлющих условию (57.3), причем любые два репера совокупности получаютсл друг из друга преобразованием этого вида.
Если не считать условий (57.3), то в остальном ахч а~ — произв вольные комплексные числа. Между собой матрицы ~ аы [, ~~ а р ~ ничем не связаны. Реперы этой совокупности мы будем называть спинреперами. Мы условимся относить векторы эр пространства А~ исключительно к тому или иному спннреперу. Координаты эр относительно спин- репера мы будем обозначать эрг, эрг, эр', 1р', так что чр = тр1е,[- .1 ~ргег + эрте + эр'е . Так как согласно (57.2) е„ е, преобразуются между собой и е-, е- †меж собой, то, очевидно, ф', трэ и ! 1 ~р', гр' преобразуются тоже по отдельности при помощи транспонированиых обратных матриц: 243 э 57) спиногное пгостгзнство Разумеется, ах †то унимодулярная матрица.
Аналогичные соот- Х ношения имеют место н в случае индексов с крышками. Преобразования вида (57.4) с произвольными унимодулярными матрицами х' уп ат, а-„образуют группу, которую мы будем называть слинорной груллой. Так как спинреперы есть частный случай аффннных реперов, то относительно спинреперов можно рассматривать тензоры совершенно так же, как относительно аффннных реперов вообще. Мы уже рассмотрели один риз контриаириинтный слинтензор (фх, ф ), образованный координатамн вектора ф Этот тензор будем называть слинором (с контраварнантнымн координатами). Аналогичным образом можно строить и любые многовалентные тензоры, которые мы будем называть слинтензорими. При этом каждый индекс пробегает значения 1, 2, 1, 2, В отличие от обычной тензорной алгебры разница межлу контра- и ковариантными индексами будет здесь мало существенной: из контравариантного спинтеизора (фх, ф ) всегда можно получить ковариантный, положив Ф Ф 1), фй ='ф' — ф' 'Ф' — 'Ф' (57,7) действительно, элементарный подсчет показывает, что когда (фх, фу ) преобразуются по закону (57.4), полученные из них такии образом (~ух, ф-) преобразуются по закону (57.2): х фх = ах зра, зрй =-аг,ф-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
