1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

При этом под евклидовым пространством можно понимать как комплексное евклидова пространство, так и любое нз вещественных евклидовых пространств; по внешности наши рассуждения зависеть от этого не будут. Вместо аффинных реперов соответствующую роль будут играть теперь ортонормированные реперы. Мы подробно рассматривали в свое время переход от одного ортонормированного репера к другому; согласно (51.1) его можно 211 2 52) ггьппл квлзидвнженнй и гггппл движений записать в виде 00а = А'ео ен = Аге» (52.1) так как ортонормированные реперы — частный случай аффинных. Только теперь матрица А,', †у не произвольная неособенная матрица, а обязательно или комплексная ортогональная, или вещественная ортогональная, или вещественная псевдоортогональная — в зависимости от характера рассматриваемого евклидова пространства.

Рассмотрим многообразие всех ортонормированных реперов нашего пространства. Если вспомнить построение ортонормированного репера, то нетрудно подсчитать, что это многообразие будет л(л+1) -ь~ерным. Действительно, произвольный выбор начала 0 в 2 п-мерном пространстве дает л независимых параметров, произвольный выбор единичного (илн мнимоединичного) вектора е, дает и — 1 параметров (однн параметр снимается за счет нормировки), далее еа выбирается уже в и†1-мерной плоскости тт„ т и зависит поэтому от л — 2 параметров и т. д. В итоге число параметров равно: л+(и — 1)+(и — 2)+...

+ 2+ 1 = Разумеется, в случае комплексного пространства эти параметры будут комплекснымин), Задавшись матрнцей А';, и коэффициентами А', мы будем производить преобразование (52,1) над казсдым ортонормированным репером нашего евклидова пространства. Мы получаел~ взаимно однозначное преобразование многообразия реперов в себя, которое будем называть квазидвижением в многообразии реперов. Таким образом, наглядный смысл квазидвижения состоит в том, что каждый репер переходит в новый репер, расположенный относительно его вполне определенным образом.

Действительно, так как мы задались определенными численными значениями А,'. и А, то в аффинном смысле ! новый репер будет расположен всегда одним и тем же способом относительно старого ($ 51); то так как, кроме того, старый репер ортонормированный и обладает строго определенными метрическими свойствами, то постоянство коэффициентов означает, что и в метрическом смысле расположение нового репера относительно старого будет всегда одним и тем жс.

") Строго говоря, наш подсчет является лишь грубо ориентировочным; мы как бы упускаем нз виду, что на самом деле многообразна всех ортонор. мнроаанных реперов нс является элементарным (й нв) н не может быть 1 обслужено одной системой — и (и+1) параметров (одной координатной сн- 2 сте мой). 218 гвклидово пгостглнство и измггений (гл.

щ Так, на обычной плоскости квазидвижение можно определить, например, тем, что каждый ортонормированный репер (О, ет, ез) сдвигается на три единицы длины в направлении век~ора е, и поворачивается затем около О на 60' в нзправлении от е„ к е,. Квазидвиженне в многообразии реперов сопровождается преобразованием соответствующих им координатных систем по формуле (частный случай (51.3)) (52.2) ,хе = А' х'+ А'. Как и квазиаффинные преобразования, квазилвиження суть преобразования в многообразии реперов и не могут быть истолкованы как точечные преобразования евклидова пространства.

Переходим теперь к научению изоморфных соответствий (нзоморфизмов) между евклндовыми пространствамн. Лзоморфизмом между двумя евклидовыми пространствами .ны будем называть аффинный изоморфизм ягежду ними (2 51) с добавочным требованием сохранения скалярного произведения, т. е.мы требуем дополнительно, чтобы для любых двух векторов х, у первого пространства и соответствующих им векторов хн, ун второго пространства имело место равенство ху = хяун. (52.3) Так как евклидово пространство мы определили как аффинное пространство с фиксированной в нем билинейной скалярной функцией двух векторов †скалярн произведением, то ясно, что изоморфизм переводит образы первого пространства в образы второго пространства с сохранением их аффинных и метрических свойств. Изоморфное отображение евклидова пространства на себя мы будем называть автоморфивмом или движением в евклидовом пространстве.

Всякий изоморфизм, в частности, автоморфизм переводит ортонормированный репер, очевидно, снова в ортонормированный репер, причем соответствующие точки будут иметь в этих реперах одинзковые координаты (2 51). Обратно, зададимся произвольными ортонормированными реперами 8(ь и Я, "илн в разных евклидовых пространствах (но тогда обязательно одинакового числа измерений и и, в вещественном слу. чае, одинакового индекса я), или в одном и том же евклидовом пространстве, и каждую точку М (вектор х) с координатами х' относительно репера Яв отобразим в точку М" (вектор хн) с теми же координатами хг относительно репера )и",. Тривиальная проверка показывает, что при этом сохраняются аффинные свойства, и мы имеем, таким образом, аффннный изоморфизм; кроме того, сохраняется и скалярное произведение, так как в ортонормированном репере данного индекса я оно всегда одинаково выяпажается через координзты векторов ху =.

— х'у' — ... — х у + х ~'у +' + ... + х"у"; гггппа квлзидвижений и ГРуппА движений 219 9 52] координаты же векторов х, у ос<аются в результате нашего преобразования неизменнымн, если их оценивать в преобразованном репере. В частности, движения в данном евклиловом пространстве, согласно сказанному, олнозна<но определяются произвольным выбором ортонормированных реперов Йа и Ж; и требованием, чтобы репер Йа переходил в репер Я",.

Мы видим, что ортонормированные реперы в евклидовом пространстве рассматриваются нами не случайно: они играют такую же роль, как аффинные реперы в аффинном пространстве й именно, в обоих случаях каждой паре реперов отвечает один и только один автоморфизм пространства, переводящий первый репер во второй; и каждый репер любым автоморфизмом переводится снова в некоторый репер; это и есть то основное, что закл<очено в идее репера (см. 9 51). Совершенно аналогично 9 51 мы можем истолковать одинаковое расположение ортонормированных реперов Йа относительно Й и Й; относительно Й, как возможность перевести пару реперов Й , Я", в пару реперов Й, Й" некоторым движением евклидова пространства, т. е.

снова получаем схему (51.8) †(51.9). 11ословно повторяются и последующие рассуждения, так что для лвижений и квазидвижений в многообразии ортонормированных реперов справедливо все сказанное относительно аффипных и квазиаффинных преобразований в многообразии аффинных реперов. В частности, идея однородности евклилова пространства накопит себе точное выражение в существовании группы движений. Классификация движений ортонормированных реперов, т. е, переходов 9(а — «Й", (Я 49, 50), полностью переносится н на вызываемые этими переходами движения всего евклидова пространства: 1) собственные движения и несобственные движения, 11е! ) А,', ) =- ~ 1, (52.4) в случае комплексных евклидовых или собственно евклидовых пространств; 2) собственные движения и несобственные движения 1-го, 2-го, 3-го рода: о«< 'л, ! (52.

5) в случае псевдоевклидовых пространсгв. 220 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ (гл. щ Правда, может возникнуть следующее сомнение. Одно н то же движение в евклидовом пространстве можно задать как парой реперов )да — Я"„так и парой реперов Эт — Я~, где репер Я выбран произвольно, а Яч ему соответствует в результате движения. Нужно показать, что при данном движении переход от Яа к И", и от М к йс" будет принадлежать всегда к одному и тому же типу, который тем самым естественно принять и за тип движения. Вели мы непрерывно меняем репер Вт, причем, конечно, непрерывно меняется и соответствующий репер яч, то тип перехода я - О(ч не может измениться, так как определители (52.4), (52.5), не принимая нулевых значений, не могут менять и знаков.

Но непрерывным изменением репера Я мы мозкем получить, как нам известно, любой репер того же класса, (Мы имеем в виду, что все реперы в комплексном евклидовом и собственно евклидовом пространстве распадаются на два класса, а в псевдоевклидовом пространстве † четыре класса; см. Я 49, 50,) Таким образом, тип перехода Я вЂ” 8(н будет одним и тем же, если реперы Я берутся из одного класса.

Но это же самое будет верным и прн любом выборе репера Я, В самом деле, заменим и в репере (г, и в репере Ян вектор е„ на — е,. Полученные в результате реперы Л, 5(", очевидно, по-прежнему соответствуют друг другу при том же движении: 9~ — Ж», причем тип перехода останется прежним. Действительно, в силу замены е, — еы е, - — е, в матрицах )) А,',)), )! А" )( умножаются на — ! первая строка и первый столбец, т. е.

Характеристики

Список файлов книги