1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Очевидно, тензоры являются частным случаем линейных геометрических объектов. Можно рассматривать и нелинейные геометрические объекты, т. е. такие, для которых закон преобразования координат <рр является нелинейным и выражает некоторое нелинейное представление квазиаффинной группы в пространстве переменных <р, ..., <рл<.
В остальном понятие геометрического объекта в общем (нелинейном) случае строится аналогичным образом. Мы будем во всем дальнейшем заниматься лишь линейными геометрическими объектами, которые при современном состоянии теории геометрических объектов играют преобладаюп<ую роль.
В предыдущем изложении мы кое-где пользовались термином «геометрический объект» в наглядном смысле †смысле какого-то геометрического образа или конструкции. Теперь мы будем употреблять этот термин лишь в указанном точном смысле. Однако не нужно считать, что мы существенно изменили содержание понятия «геометрический объект»; мы его лишь уточнили. Действительно, основные геометрические образы и конструкции будут характеризоваться геометрическими объектамн в том смысле, как мы теперь этот термин понимаем. Возьмем, например, такой основной геометрический образ, как точка, Когда мы переходим от репера И к реперу Я' квазиаффинным преобразованием (55.1), координаты х< каждой фиксированной точки <1< подвергаются, как мы знаем, преобразованию х' А<'х<+ А', (55.6) где А," — матрица, обратная А<<,, а Аг — А,"А< (см. (51.2)).
Можно считать, что формула преобразования координат (55.6) есть частный случай (55А) (линейного представления квазнаффинной группы), а координаты точки кг являются примером линейного геометрического объекта <рр. Роль коэффициентов В»рч Вр, играют А';, А', которые действительно, как только что было у нас отмечено, являются функциями А,'ч А'. Таким образом, точка находит себе выражение в виде линейного геометрического объекта, координаты которого совпадают с ее координатами, а закон преобразования имеет вид формулы преобразования координат (55.6).
Аналогичным образом коэффициенты уравнения данной гиперплоскости (или гиперповерхности 2-го порядка) образу<от линейный геометрический объект, который, так сказать, является представителем соответствующего геометрического образа. 256 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНнй [гл, и! ф 56е. Лнпейиые геометрические объекты в вффнииом и евклидовом пространстве Теперь естественно поставить вопрос о том, какого же вида линейные геометрические объекты возможны в аффинном пространстве. Прежде всего мы сузим постановку вопроса, а именно, ограничимся лишь теми объектами 1р (Я), которые реагируют только на изменение векторов е; репера,)(, но не реагируют на сдвиг его начала.
Другими словами, мы предположим, что коэффициенты преобразования (55.4) зависят только от Ат, но не зависят от А', так что кзазиаффнннос преобразование, своднщееся к параллельному сдвигу репера, порождает тождественное линейное преобразование (55.4) и координаты объекта не меняются, Наибольшую роль игра1от аффинныс геометрические объекты именно этого упрощенного вида (заметим, однако, что точки уже не входят в их число). В частности, они появляются при переходе из аффинного пространства в более простое центроаффинное пространс~во. Так называется аффинное пространство с раз навсегда фиксированной в нем точкой Π†центр пространства.
Группа автоморфизмов центроаффинного пространства состоит, очевидно, из аффинных преобразований, сохраняющих точку О неподвижной (центроаффинные преобразования). В качестве реперов центроаффинного пространства можно принять всевозможные аффинные реперы с общим началом в центре О. Действительно, каждый репер с началом в О переводится центроаффинным преобразованием снова в репер с началом О и каждой паре таких реперов отвечает одно и только одно центроаффинное преобразование, переводящее первый репер во второй. )твазиценяроаффинное преобразование сводится к линейному преобразованию векторов каждого репера е1 =А1.е1 (о5,1) при постоянном начале О.
Линейный геометрический объект в центроаффинном пространстве определяется совершенно так же, как и в аффинном, с той только разницей, что теперь коэффициенты ВВ~,, Вр. в законе преобразования (55.4) должны зависеть от коэффйциентов квазицентроаффинного преобразования, т. е. только от А„', (ввиду отсутствия Ат в формуле квазицентроаффинного преобразования (55.1)). В результате мы приходим снова к линейным геометрическим объектам упрощенного вила, где в закон преобразования (55А) входят только А1,.
Такие линейные геометрические объекты мы будем называть центроаффинныии. $56) линвйныв гвомвттичаскив овъвкты 237 Итак, иентроаффинные линейные геометрические объекты появляются в двух случаях: или мы имеем дело в аффинном пространстве с таким объектом, координатьч которого не меняются при параллельном сдвиге репера (например, координаты вектора), или мы имеем дело с объектом в иентроаффинном пространстве, где выделена точка О, играющая особую роль, так что еотественно ограничиться реперами с началом в втой точке.
Последний случай встречается при дифференциально-геометрическом исследовании сложной конструкции в бесконечно малой окрестности любой ее точки; тогда эту точку естественно принимать за центр пространства. Итак, в дальнейшем мы ограничимся центроаффинными линейными геометрическими объектами (для краткости мы будем называть нх просто центроаффинными объектами), причем будем предполагать, кроме того, что закон преобразования (55А) является линейным однородным: (56.2) где Вп, суть функции А(. Здесь на основании теории линейных представлений групп Ли можно утверждать следующее (приводим без доказательства).
Пока мы рассматриваем унимодулярные преобразования (56.1), т. е. пока Ре( (А,'. ! = 1, соответствующий закон преобразования (56.2) является в вещественном случае по существу тензорным; точнее, величины гр„ ..., ~рм за счет линейного преобразования с постоянными коэффициентами могут быть сведены к совокупности координат одного или нескольких тензоров. Аналогично обстоит дело в комплексном случае; только здесь кроме тензоров приходится рассматривать и псевдотензорьк так мы будем называть объекты, сходные с тензорами и отличающиеся от них лишь тем, что в законе преобразования (например, (55.3)) множители А все или частично заменяются комплексно сопряженными им величинами, Если же брать всевозможные линейные преобразования (56,1) (Ре1) А,',) ~ О), то здесь, кроме тензоров, могут встретиться и другие центроаффинные объекты, прежде всего относительные тензоры.
Так мы будем называть величины, например, )т';ь, для которых тензориый закон преобразования осложнен умножением на некоторую степень модуля определителя 3/';:ь, = А,"А,'.,А„", Ь",„) Ре() Ат', ( ) (56.3) Показатель з мы будем называть весом относительного тензора. В вещественном случае г может принимать любые вещественные 238 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П ИЗМЕРЕНИЙ (гл. ш значения, в комплексном — любые комплексные; мы считаем при атом, что ( т)е1) А». ! ~ « =- е' ~" ~ пь« ~ л»' ~ ~ »' где значение логарифма берется вещественное.
Конечно, при в=О относительный тензор превращается в обыкновенный тензор. Закон преобразования относительного тензора (56.3) можно еще усложнить: в вещественном случае — домножением на — 1, когда 1)е1(Ар~,! является отрицательным, с сохранением прежней формулы, когда 1)е1) А»», ~ положителен; в комплексном случае — умножением на е '", где йс — любое целое число, а ел определяется из разложения Ое1)А»»,)= е«и )ГЭе1)А»»,)Н, (56.4) т. е. является тем комплексным числом модуля 1, на которое нужно умножить модуль 1)е1)А»».(, чтобы получить сам (ле1(А»»,(. Формула (56.3) заменяется соответственно формулами: )',",А, = з1 яп (ле1 ( А»», ( А' А,',АА, )т)ь ( РЕ1 ) А» ( ( ' = -~ А",А»ААУА ! Вег) А»», /) ' (Оег! А»», (~~О) (56.5) в вещественном случае и (т';,А = ем"'А) Ат»ААХ,'А ( (ле1 ( А», ( ) ' (56.6) в комплексном случае, Мы будем говорить, что вещественный относительный тензор с законом преобразования (56.3) имеет вес з и показатель О, а с законом преобразования (56.5) — вес з и показатель 1, а комплексный относительный тензор с законом преобразования (56.6) имеет вес з и показатель пс.
При т= О получаем как частный случай (56.3). Формулу (56.5) также можно считать частным случаем (56.6) при тп = 1, с той только разницей, что в (56.5) мы ограничиваемся вещественными величинами, так что е«и =- Ц- 1. Далее, в комплексном случае возможны «псевдотензоры», в том числе и относительные, с законом преобразования (56.6), в котором коэффициенты А все или частично заменены комплексно сопряженными им величинами. Возможны центроаффинные линейные объекты и более сложного типа, не играющие, впрочем, в геометрии заметной роли. На них мы останавливаться не будем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
