1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(57.8) В самом леле, если в (57.4) выразить зр", фх через зь„, тр~ с . гласно (57.7), то, учитывая (57.6), приходим к соотношениям (57.8). Ковариантный спинтензор фы ф- мы также будем кратко называть спинором (с ковариантнымн координатами), Аналогично (57.7) можно «переделывать» любой индекс спинтензора из контраварнантного в ковариантный, и наоборот. Этой переделке можно придать инвариантную форму следующим образом, Дважды контравариантный спинтензор имеет, вообще говори, координаты аида схи с«и схй сйй Рассмотрим спинтензор этого вида с такими свойствами: е й= — ейу е хй ели = О. (57.9) ехи =- еих Другими словами, этот спинтензор кососимметрнчен по всем индексам, причем координаты со смешаннымн индексами все р. е равны нулю.
евклидово пгостганство и измягкний (гл. ш 244 Ввиду того, что индексы 1, 2 участвуют в спинтензорном преобразованин отдельно и индексы 1, 2 тоже отдельно (согласно (57.4)), то условия (57.9) носят инвариантный характер, Кроме того, значение координаты в'1 является инвариантом. Действительно, мы знаем, что в двумерном случае единственная существенная координата е" кососимметрнческого тензора вхи является относительным инвариантом и при преобразовании умножается на Ре11А1 ~ (см.
(35.6) прн х л= 2). Но в нашем случае матрица Ах = ах унимодулярная, так х х что егя будет просто инвариантом. То же справедливо, конечно, и для в' ' Выберем спннтензор (57.9) так, чтобы е'2 - в' ' 1. Итак, все координаты нашего спннтензора равны нулю кроме в'2 = — е" = 1, в' ' = — е' ' = 1, (57.10) Е12 ' 21 в.-= — е =1 <* (57. 11) причем остальные координаты равны нулю. Теперь соотношение (57.7) можно записать,при ванна с тензором ехй следующим образом: фх = ехн2Р ф" = — ехнфн, ~Л = — еййф-. й' помощи сверты- 1 (57.12) Непосредственно проверкой убеждаемся, что н в первой, и во вто- рой строчках повторяются формулы (57.7).
Инвариантный характер втих формул виден из инвариантности тензорной операции сверты- вания. Правда, при атом, например, в первой формуле индекс сум- мирования )г должен был бы пробегать значения не только 1, 2, но и 1, 2, но фактически это является лишним, так как ех"„ все равно дают нуль. Это же замечание относится и к остальным фор- мулам. Прн помощи (57.12) можно «поднимать» и «опускать» любой индекс у спинтензора наподобие того, как мы это делали в евкли- ловом пространстве, Рассмотрим теперь другой частный случай дважды контравариант- ного спинтензора, когда схн=сйй =О, схй =сйь. (57.13) Из закона преобразования верхних индексов (57.4), в силу которого аначения 1, 2 участвуют в преобразовании по огдельности от 1, 2, и зто имеет место относительно любого спннрепера. Совершенно аналогично строим дважды ковариантный спиитензор со всеми теми же свойствами: й 57) СПИНОРНОВ ПРОСТРАНСТВО с" с' с" ст' О с"' с" с" с" В дальнейшем спинтензор етого вида мы будем называть кратко «спинтензор с Ан ».
Ясно, что здесь речь идет не о единственном спинтензоре, как в случае а"н, вАР, а о целом их классе. В силу симметрии тензора достаточно рассматривать одну нз выписанных здесь матриц 2-го порядка, например, верхнюю; другая получается из нее траиспонированием. Закон преобразования будет иметь внд ы сх'Н =. ах ан'САН. Й (57.14) Здесь по общему соглашению индекс суммирования Х пробегает значения 1, 2 и аналогично )г †значен 1, 2; для каждого индекса мы повторяем здесь закон преобразования (57.4). Правда, по общей схеме тензорного преобразования индекс Х должен бы был пробежать все четыре значения, т.
е. еще 1, 2; но соответствующие дополнительные члены все равно Обращаются в нуль, так как в (57.4) следует считать а~ =О ($', ф' разлагаются только по А' ф, ~)Р без участия ф', ф'). Аналогичное замечание Относится, конечно, и к индексу р. формулу (57.14) можно истолковать так, что матрица сх и' получается последовательным перемножением матриц а", сьн, ан', н считая номером отроки у первой матрицы верхний индекс, у второй †перв индекс, у третьей †нижн индекс. Прн перемножении матриц их определители тоже перемножаются. Учитывая унимодулярность матриц ах, ан', получаем: 5' 1)ет) сх н ) = Оет) С АЙ ( . (57.
15) Следовательно, наш спинтензор обладае~ ннвариантом 7=-Ре1) с'ч'( = сгус" — с"с". (57.16) видно, что условие схн = О носит инвариантный характер; то же о~носится к условию сьн= О. Оставшееся условие означает, что наш тензор симметричен. Матрица его координат имеет вид ввклидово пгостганство л измегений [гл. ш 245 й 58*. Спиноры в четырехмерном комплексном евклидовом пространстве гс,' Г каждым спинтензором вида сгй мы свяжем определенные линейные комбинации его координат: х' = —, (сгя — с"), 21 х4 —, (ст2+ сая), 21 1 х! = (сгз + с21) 2 х — — (с ' — сзт), (58.1) стт сгя~ ха-)-)ха хг-~-)хз~ ся' с" ~ х' — )х' — х*+ гха1 (58,2) так что х', х', ха, ха можно, если угодно, рассматривать как видоизмененную форму координат спинтензора с"". Очевидно, инвариант / (57.16) принимает при этом вид 7= — (х" + х' + ха + х' ).
(58.3) Когда в результате преобразования спинрепера сцт преобразуются как координаты спинтензора, их линейные комбинации хг испытывают линейное преобразование, сокраняющее сумму ик квадратов, т. е. (комплексное) ортогональное преобразование. Если мы истолкуем хг как ортонормированные координаты в некотором )7,", то оказывается, что каждое преобразование спинрепера в А," влечет за собой вполне определенное преобразование ортонормированных координат в й+. Очевидно, что при этом наложению спинорных преобразований (57.4) отвечает наложение соответствующих ортогональных преобразований и тождественному спинорному преобразованию отвечает тожлественное ортогональное преобразование в Й,". Кроме того, очевидно, что матрица ортогонального преобразования непрерывно зависит от матрицы преобразования(57.4).
Другими словами, спинорная группа в А; получает представление в группе ортогональных преобразований в й+. Обозначим это представление гр, Спинорная группа (57.4) будет связной, так как непрерывным изменением аь (и аналогично а-), начиная от единичной матрицы х ы Обратно, координаты сгй без труда выражаются через эти линейные комбинации: 8 58) спиногы в 4-мгеном комплексном пгостгхнстве )с~ 247 схп«' = ссх хи'-' сх « (58 4) вполне определены все коэффициенты ага-'. Учитывая это, попро«.
«' буем все же изменить матрицы ах гх-', тогда умножение какогол «с х «1 нибудь из элементов сьх (в предположении, что он не равен 0) на какое-нибуль число йФ О повлечет за собой умножение на А ' всех элементов матрицы а-,, а следовательно, умножение ее опре« делителя иа Й '. Но так как матрица лолжна остаться унимодулярной, то й х = 1, й = ц- 1. Следовательно, у нас есть лишь один способ изменить матрицу сх«-: умножить ее на — 1; конечно, аы « х при этом тоже приходится умножить на — 1, чтобы сохранить коэффициенты в (58.4). Мы возвращаемся к уже рассмотренному случаю. и соблюдая условие унимодулярности, можно перейти к любой наперед заданной унимодулярной матрице (например, если а,' ~0, то можно непрерывно менять а',, а,', сх', от начальных значений (ь) до конечных, избегая для сь', значения О и определия каждый момент значение а," из условия унимодулярности).
Поэтому и в представлении ф мы получим лишь те ортогональные преобразования, которые можно достичь непрерывным переходом по ортогональной группе, начиная с тождественного преобразования; такими будут лишь собственно ортогональные преобразования (т, е. преобразования с определителем + 1). Заранее не ясно, дает ли представление ф все такие преобразования; однако это так, что мы докажем немного позже. Очень важно, что в представлении ф спинорная группа, как говорят, дважды накрывает собственно ортогональную группу. Действительно, если все коэффициенты спинорного преобразования (57.4) умножить на — 1 (условие унимодулярности при этом не нарушается!), то, очевидно, закон.
преобразования для с'~ не меняется, а значит, и матрица ортогонального преобразования для х~ остается прежней. Итак, два спинорнык преобразования (57.4), отличающихся лишь множителем — 1, будут представлены одной и той же ортогональной матрицей. Заметим, что егце какого-нибудь третьего спинорного преобразования, дающего ту же ортогональную матрицу, не существует.
Действительно, данная ортогональная матрица вполне определяет преобразование над х~, а потому н над соответствующими с1«. Следовательно, в преобразовании (57.14) евклидово пгосттлнство и измхгений [гл. ги Расширим теперь спинорную группу (57.4) так, чтобы в представлении ф она порождала не только собственные, но и несобственные ортогональные преобразования в 77+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
