1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Зададимся каким-либо определенным й',", выделенным в )г; (см. $ 53). Для этого достаточно взять ортонормированный евклидово пгостглнство л изменений 252 (гл. ш репер в Л+ (О, е„е„е„еД и переделать его в репер (О, е„е„е„е,), (59.1) (59.2) где (59. 8) е,=ге„ а в остальном все осталось без изменения. Тогда пространстио 77',н мы определим как множество точек, координаты которых х', х',х',х' относительно репера (59.2) являются вен(естеенныии, а следовательно, относительно репера (59.1) имеют вид хю х~ хг ли х» хэ ха (ло (59.4) Так как е ег ез в е,'= — 1, то репер (59.2) служит ортонормированным репером в )7',". Из всевозможных (комплексных) ортогональных преобразований репера (59.!) мы в этом параграфе будем рассматривать лишь те, которые переводят Ано в себя, т.
е. оставляют вещественными х', х', х' и чисто мнимой х'. Такие ортогональные преобразования в И+ образуют группу, которую мы будем обозначать О. Они, очевидно, означают всевозможные псевдоортогональные преобразования репера (59.2) в 77',". Ограничивая ортогональную группу в )с; до группы О, мы соотиетственно сузим группу спинорных преобразований (57.4), (58,8) так, чтобы в представлении гр получались исе ортогональные преобразования только лишь нз группы О. Мы покажем, что для этого в случае (57,4) нужно наложить добавочно или условие комплексной сопряженности двух уиимодулярных матриц, которые до сих пор были совершенно произвольными: и' ( ш)» (59.5) нли условие их комплексной антисопряженности: а- = — (ан )», н' — я (59,6) ай (аш)» н (59.7) Одна из двух иатриц остается при этом произвольной комплексной унимодулярной матрицей.
Звездочкой мы обозначаем переход к комплексно сопряженной величине. Аналогичные условия накладываются и в случае (58.8): илн 9 59) спиногы в 4-мхгном псевдогвклндовом пгостглнства 253 или и' и'а %= — ( ). (59.8) Мы должны показать, что снинорные преобразования вида (59.5), (59.6), (59.7), (59.8) порождают в Й)ц всевозможные вращения соответственно собственные и несобственные З-го, 1-го, 2-го рода, Переходим к доказательству. Если вектор х принадлежит )с~~~, и) то соответствующий спинтензор слн будет эрмитовым (т, е. его матрица комплексно сопряжена транспонированной матрице).
Это сразу видно нз (58.2), если учесть, что х', х', ха в вещественные, а ха †чис мнимая координата. Как видно из (58,1), верно и обратное, так что для того, чтобы вектор х принадлежал )с((), необходимо и достаточно, чтобы соответствующий спинтензор (() с)'и был эрмитовым) (с" й)а = сйл (59.9) Какое бы из спинориых преобразований (59.5) — (59.8) ни при. менить к эрмитову спннтензору с"и, он остается эрмнтовым, так нак его индексы преобразуются при помощи комплексно сопряженных матриц (в случаях (59.6), (59.8) — с добавочным умножением на — 1, что не нарушает эрмитовости). Йействительно, в случаях (59.5) нли (59.6) сл'и' = ал'аи'ели (ср. (57.14)); отсюда (с"'"')" = (а~),)е (сс"-')'(сл)')* = с(~ с(и с)'л = си'л', Р ? Это показывает, что эрмитовость спинтензора (59.9) сохраняется и после преобразования.
Аналогично обстоит дело и в случаях (59.7), (59.8) Но раз спинтензор ели ос~аггея эрмитовым после преобразований (59.5) — (59.8), то соответствующий ему вектор х остаетсн в пространстве )74 после вращений, порожденных этими преобра()) зованиями. Итак, спинорным преобразованиям вида (59.5) — (59.8) отвечают в )7( вращения, переводящие )7( в себя, т.
е. ортогональ(л) ные преобразования группы О. Остается показать, что этим путем мы получим всю группу О. Покажем прежде всего, что спинорные преобразования вида (59,7) и (59,8) порождают, в частности, все зеркальные отражения в (7(('), 11усть х †произвольн единичный или миимоединичный вектор из )с(" ему отвечает согласно (58.2) спинтензор с*", Как следует ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНнй [гл. и) 254 из (58.3), + 1, если х — мнимоединичный„ 1)е(! с "~= ~ 1 — 1, если х — единичный.
Подберем матрицу 2-го порядка М так, чтобы 0 1 н) )-( 0 / О! М Ц СЕЙ)) =- в первом случае, 1 во втором случае. ~ (59. 11) Любая матрица 2-го порядка С, как легко проверить, удовлетворяет равенству с ~ (=В~с~ ! с '. Р9.33) Положим С=)) схй)) и, пользуясь (59.10), а также эрмитовостыо С, получим в первом случае; — 10 — 10 Это означает, что — М" '=М, так как согласно (59.11) (в первом случае): Итак, выполняется первое из условий (59,12). Во втором случае получаем нз (59.13): Переходя от матриц к их определителям, замечаем, что матрица М в обоих случаях унимодулярна. Спинорное преобразование, построенное согласно (58,10), порождает в )44+, как мы знаем, зеркальное отражение в направлении вектора х.
Это отражение, в частности, переводит Я4 в себя, так как вектор х принадлежит О) ф)) Остается показать, что в нашем случае спинорное преобразование с матрицами (58.10) удовлетворяет или условию (59.8) (в первол) случае), или условию (59.7) (во втором случае), т. е. что М ' = — Мя в первом случае, ) М ' =- М" во втором случае. 255 6 60) спнногнов пОлк что означает М" ' =-М, так как согласно (59.1 1) (во втором случае) М=1 ~С', Мо'= — )Со~ — 10~ ' ~ — 10 Мы видим, что выполняется второе из условий (59.12). Итак, слинорное преобразование (58,10) с магри((ей М, построенной согласно (59.11), порождает в й~( ) зеркальное отражение ()) в направлении любого наперед заданного неизотропного вектора х, причем выполняется условие (59.12), г.
е. наше спинорное преобразование будет вида(59,8), когда отражение 2-го рода, и (59.У), когда — ! -го рода. Так как спинорные преобразования вида (59.5) — (59.8) очевидным образом составляют группу преобразований и наложением зеркальных отражений в )(4 (как ранее в Я(] можно получить любое ()) + вращение, то спинорные преобразования вида (59.5) — (59.8) порождают в )с(х > всевозможные вращения (т. е. всю группу О). и) В Я~( можно рассматривать спинтензоры подобно тому, как это (» делалось в Йо 1 пРи этом мы огРаничиваемсЯ вРаЩениЯми оРтоноР(» мнрованного репера в Я~(>, т, е.
группой О н соответственно спннорными преобразованиями только вида (59.5) †(59.8)о). 9 60о, Спииориое поле и иивариаитиая дифференциальная операции Охб Пусть в Ио задано спинорное поле. Это значит, что спинор (рх, ()) >)>х задан в каждой точке пространства (или некоторой его области), так что „) ( .о х) хх з) р 1 2)1 (60.1) фх = >рг (хо хх, хх, хг) (1>=1, 2).
Мы предпочли здесь опустить индексы у координат спинора, хотя принципиального значения это и не имеет. Каждому вектору х( в )с(( ) отвечает согласно (58.2) определен()) ный спннтензор сха. Переписывая (58.2), мы предпочтем воспользоваться ковариантными координатами хг, а они в Й( имеют вид (» х — — х', х =х', х -х', х =х'. о т х о ') Подрооное рассмотрение этих вопросов (хотя н под иным углом зрения) можно найти в книгах: М.
А Н а Я и а р к, Линейные представ. лепна группы Лоренца, М., Фнаматгнх, 1988; И. М. Г е л ь ф а н д, Р А М н н л ос, 3. Я Ш а и а р о, Предо>авлення группы вращений н группы Лоренца, М., Фнзматгнз, 1988. евклидова пгостглнство и изменений (гл. ш Мы получаем: ! с с «а+ хе хт+ гха с с ~ хт — )хе — х +хе ю та~ (60.2) которые можно применять к различным функциям точки в нашем пространстве, в частности, к тензорным и спинорным полям в нем. Прн переходе к другому реперу меняются координаты точек, меняются и операторы (60.3), причем они недуг себя как коеариантные координаты вектора.
Действительно, по формуле дифференцирования сложной функции д дх~ д ~ д дх" дх" дх' дх' Формулу (60.4), как и последующие операторные формулы, нужно понимать в том смысле, что мы получим верное равенство, подействовав операторами в левой и в правой частях на произвольную (дифференцируемую, конечно) функцию точки г"(хе, х', х', х'), Формула (60.4) означает, что совокупность операторов (60.3) можно рассматривать как однокоеариантный тензор с операторнгями координатами. Формальные выкладки, для которых играет роль лишь закон преобразования, остаются справедливыми и для таких тензоров.
Но для перелицовки одноковариантного тензора х,. в спинтенвоР схи как Раз игРает Роль лишь закон пРеобРазованиЯ хп ПоэтомУ тензор с операторными координатами можно аналогичным образом перелицевать ло формуле (60.2) в слинтензор, конечно, гоже с операторными координатами. Обозначая координаты этого спинтензора 0хй = Ойх, получаем д . д дх' дхч — + т'— д д — +— дхх дхе ~)тй ЕФ (60.5) д д + дхх дхч д . д — — г'— дхг дхх Прн этом мы будем считать (как и для спинтензора схи), что ))хи = й'и — О. Важность этого операторного спинтензора заключается в том, что он позволяет получать инеариантныг дифференииальные зависимости между слинорными полями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
