1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 52
Текст из файла (страница 52)
так как ха = гхе — ''х,. Все эти соотношения носят инвариантный характер и, записанные в одном ортонормнрованном репере, будут справедливы и в любом другом. Рассмотрим теперь совокупность операторов частного дифференцирования по координатам точки; д д д д дхч' дх' ' дх' ' дхч ' (60. 3) 257 8 60) СПИНОРНОЕ ПОЛЗ Свертывая произвольный спинтензор сан = сн" с произиольным спинором ф„, ерй, мы всегда получаем новый спинор ер, ерь: ф" =-сайфй ( (60.6) Соотношения зтп носят строго инвариантный характер, так кан с точка зрения спинрепера мы имеем здесь тензорную операцию свертывания.
Заметим, жо в каждой формуле индекс суммирования в принципе пробегает все четыре значения: 1, 2, 1, 2, но фактически в первой формуле берутся значения 1, 2, а зо второй †, 2, так как у нас предполагается ськ = сан = О. В частности, если свернуть спинтензор с операторными координатами (60.5) со спинором поля (60.1), то в результате получается опять некоторый спинор: ф'= Ю.
р„- ,д.н„~," (60,7) де) 1" деР ~ дег 2 деР а О фу+О ерт дха + д + 1+1 а 1 ° 1 2 2 дар" дер" дер" дар" 1)11 +О ар2 = — — 1 — — — +— дх' дхв дхв дхв О тра+О фв= — + — + — — 1 —, 21 дара дара дара . дара дха д хв дх' дхв О ф+О фв= — +1 — — — + —. 12 22 дара дара дери дери дхв дхв дха дса ' ер1 (60,8) ф1, Таким образом, при помощи дифференциальной операции (60.8) нз спинорного поля 2)а„, трС инвариантным образом возникает новое спинорное поле ер~, е(1". 2 П.
К, Рашевский Здесь под умножением О н на ерй и т. п. нужно понимать воздействие оператора Оьй на функпию ерй(ха, х', ха, х'). Спинор ф", тР1 будет, очевидно, танже функцией точки и дает новое спннорное поле. Инвариантность соотношений (60.7) вытекает из их тензорной структуры, с формальной стороны совершенно такой же, как и у (60.6), хотя по существу смысл формул (60.7), конечно, иной. Развернем формулы (60.7), причем вторую из ник берем в виде фа=Онхф„, пользуясь равенством Оан Оих.
Получим: ГЛАВА 1'«' МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Теория относительности возникла в результате длительного накопления опытного материала, приведшего к глубокому преобразованию наших физических представлений о формах материи и движения. После целого ряда попыток приспособить прежние понятия о пространстве, времени и других физических величинах к вновь открытым опытным фактам обнаружилось, что для втой цели требуется перестроить все эти понятия коренным образом, Эта задача была выполнена в основном А, Эйнштейном в 1905 г.
(специальная теория относительности) и в 1915 г, (общая теория относительности). Впрочем, задача была выполнена лишь в том смысле, что было дано стройное формально-математическое описание нового положения вещей. Задача глубокого, подлинно физического обоснования этой математической схемы все еще стоит перед физикой. Мы имеем здесь в виду, что теория относительности является в основном макроскопической теорией н в этом отношении (в отличие от квантовой механики) продолжает традицию классической физики. Между тем трудно сомневаться в том, что макроскопические понятия, в том числе н наши пространственно-временнйе представления, на самом деле уходят своими корнями в микромир.
Когданибудь они должны быть раскрыты как некоторый статистический итог, вытекающий из закономерностей этого мира †дале еще не разгаданных †п суммарном наблюдении огромного числа микроявлений. По характеру этой книги основы теории относительности будут даны именно с их математической стороны в готовой, законченной форме. В частности, поучительная история накопления опытного материала, подталкивавшего шаг за шагом к созданию теории относительности, почти полностью выпадает из рамок нашего изложения.
Мы говорим об этом для того, чтобы у читателя не создалось впечатления, что теория относительности была кем-то выдумана «нз головы» сразу в том виде, как она будет изложена. В действительности 259 й 61) постановка задачи это математическое оформление теории появилось лишь как итог долгих экспериментальных и теоретических поисков. Из двух частей, состзвляющих теорию относительности (специальная и общая теория относительности), мы будем заниматься в этой главе только первой. Математический аппарат специальной теории относительности сводится к теории тензорных полей в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1.
Между тем общая теория относительности требует более квалифицированного математического аппарата, который будет подготовлен нами лишь в последующих главах. Значение двух частей теории озноснтельности в современной физике не соответствует их нааваниям, Спеииальная теория относительности пронизывает собой в сущности всю современную физику, во всяком случае, когда речь идет о больших скоростях двпжения тел (при малых скоростях она дает практически те же результаты, что и классическая механика). Выводы специальной теории относительности, означающие огромный переворот в наших представлениях о пространстве в времени, а в связи с этим и о других физических величинах, всесторонне подтверждаются опытом.
В противоположность этому общая теория относительности, представляя собой с математической точки зрения широкое обобщение специальной теории, создана для объяснения лишь одного физического явления †явлен всемирного тяготения. Опытные данные, подтверждающие ее выводы (в тех случаях, когда она заметно отклоняется от теории Ньютона), сравнительно немногочисленны и требуют весьма тонких измерений, часто лежагцих на пределе доступной в настоящее время точности, В связи с этим будет разумным рассматривать общую теорию относительности в ее современном математическом оформлении скорее как эскиз теории, чем как установленную истину. Вместе с тем трудно подвергать сомнению ее основные идеи: зависимость между геометрическими свойствами прострзнства-времени и распределением и движением масс и вытекающее отсюда объяснение явлений тяготения.
Но вполне возможно, что математическое оформление этих идей еще не окончательное. От подлинного содержания общей теории относительности следует отличать связанный с нею большой поток исследований, не имеющих серьезного физического обоснования и представляющих собой лишь математические спекуляции на ее темы. 4 6П Постановка задачи В дальнейшем у нас булет играть важную роль понятие системы отсчета.
Систему отсчета можно наивно представлять себе в виде подвижной «платформы» (т. е. некоторой системы неизменно скрепленных мезкду собой твердых тел), на которой установлены 260 основы спкцилльной твогии относительности (гл. в движущиеся вместе с ней измерительные приборы †ча, эталоны длины и т, д., позволяющие производить измерения различных величин, как мы будем говорить, относительно данной системы отсчета. В частности, можно «установить» прямоугольные координатные оси Х, У, «„ твердо связанные с данной системой отсчета, и отмечать координаты точек, в которых совершаются те или иные события.
Мэжно также при помощи часов, движущихся вместе с системой отсчета, отмечать моменты совершения этих событий, отсчитывая время 1 от некоторого произвольно выбранного начального момента. При этом подразумевается, что все системы отсчета снабжены совершенно одинаковыми часами и эталонами длины. В дальнейшем мы всегда будем считать, что с системой отсчета неизменно скреплены каким-либо образом выбранные координатные оси Х, У, «.
и указан начальный момент для отсчета времени. Таким образом, под системой отсчета мы будем понимать, окончательно, подвижную «платформу» вместе с установленными на ней прямоугольными координатными осями Х, У, к. и выбранным начальным моментом для отсчета времени 1. Если на прежней «платформе» мы установим по-другому координатные оси или изменим начальный момент для отсчета времени, то мы будем считать, что перешли к другой системе отсчета, хотя такое преобразование системы отсчета и будет тривиальным (так мы и будем его в дальнейшем называть). С классической точки зрения среди систем отсчета существует лишь одна система (если не считать ее тривиальных преобразований), неподвижная в каком-то абсолютном смысле, относительно которой и формулируются законы физики.
Правда, для классической механики с самого начала ее возникновения было известно, что формулировка ее законов нисколько не меняется, если покоящуюся систему заменить системой, движущейся относительно нее равномерно и прямолинейно, †так системы мы будем называть инерциальными. В этом заключается принцип относительности Галилея. В самом деле, пусть система Я вЂ” покоящаяся, а Я' — движущаяся инерциальная система. Предположим для простоты, что координатные осн Х, У, к., связанные с 5, и Х, У, к.', связанные с 5', в начальный момент совпадают, причем ось Х идет по направлению движения системы 8'.
Если (постоянную) скорость движения ннерциальной системы 8' обозначить через и, то спустя время ~ координатные оси Х', У, «.' сдвинутся относительно неподвижных координатных осей Х„ У, «. на расстояние М в направлении оси Х, Поэтому, если в момент 1 произойдет какое-либо событие в точке с координатами х, у, х относительно системы Я, то относительно 261 % 61) постлновкл задачи системы 8' эта точка булет иметь координаты: х' = х — п1, у' =у, (61. 1) К этому нужно добавить, что с точки зрения классической механики время имеет абсолютный характер, т. е, промежуток времени между двумя событиями имеет всегда одну н ту же величину независимо от того, в какой системе отсчета он измеряется.
Поэтому момент совершения данного события булет олннаковым с точки зрения обеих систем отсчета, и к формулам (61.1) можно присоединить еще олпу: (61.2) Если мы прослеживаем движение материальной точки, так что х, у, я являются функциями 1 (и аналогично в системе х', у', в'— функциями от 1'), то из формул (61.1), (61.2) сейчас же вытекает, что вал' ~Рк <~у' Кар П"г' ляг и" = Ж ~~'~= ига и" =йга т. е. проекции ускорения на оси будут одинаковыми лля обеих систем отсчета. Теперь нужно учесть, что в классической динамике рассматривается снстеиа материальных точек, ускорения которых пропорциональны лействующим на ннх силам, а силы зависят от взаимного расположения этих точек в каждый данный момент.
Но это расположение тоже, очевидно, выглядит одинаково с точки зрения обеих систем, так как разности коорлинат любых двух точек ха †„ у, — у, в, — в будут при ланном 1 равны х,' — х'„ у', — у,', х,' — а', (как немедленно следует нз уравнений (6!.1)). Теперь ясно, что уравнения движения запишутся одинаково относительно обеих систем отсчета Я н Я'.
Итак, наблюдая механические явления, мы не в состоянии установить, наблюдаем ли мы нх с точки зрения покоящейся нли с точки зрения равномерно и прямолинейно движущейся системы. Однако к началу ХХ века, т. е. к моменту возникновения теории относительности, теоретическая физика состояла не только нз механики. Наряду с ней стояла другая, столь же важная теория, созданная в Х1Х веке, — электродннамика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
