1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(54. 29) (54.30) Отсюда й 55е. Понятие о геометрическом объекте Мы занимались до сих пор л-мерными пространствами двух видов: аффинным и евклидовым. В аффинном пространстве мы ввели аффинные реперы Я (О, е,. ..,, е„), в многообразии которых установили две однотранзитивные группы взаимно однозначных преобразований: аффинных и квазиаффннных преобразований, При аффинном преобразовании реперы просто увлекаются данным автоморфизмом аффинного пространства; при квазиаффинном преобразовании каждый репер Ж переходит в новый репер И', расположенный относительно него вполне определенным образом, одинаковым при любом выборе исходного репера. Последнее означает, что векторы репера И' и сдвиг его начала разлагаются по векторам репера Я с фиксированными численными значениями коэффициентов А,', А': ег = А,'-,е;, ОО" = А'е;.
(55.1) С понятием квазиаффинного преобразования в многообразии реперов тесно связано понятие тензора, хотя до сих пор это и не было показано у нас явно, Действительно, координаты тензора, например, )",ь имеют определенные численные значения при определенном вы- т. е. объем гл-мерного параллелепипеда, построенного на векторах аы ..., а , равен корню квадратному из модуля определителя, составленного из попарных скалярных произведений векторов а, ... ..., в . Эта формула при т = 2, 3 известна из обычной векторной алгебры. ввклидово пгсстгьнство и нзмзгзний (гл. щ 232 боре репера И, т. е. являются, можно сказать, функциями репера И: " 'ь= ь))ь(И).
(55. 2) Однако выбор этих функций далеко не является произвольным: когда мы подвергаем реперы И данному квазиаффинному преобразованию (55.1), координаты тензора подвергаются тоже вполне опредеяенному преобразованию: 1г';.ь. = АеА',,Аьь, )гттн (55.3) ") Заметим, что, говоря о тензоре данного строения, можно учитывать и линейные зависимости (обяаательно ннаариантные), наложенные, возможно, на его координаты. Так, например, можно рассматривать вместо всевозможных теньоров р.ь тишь косьсинметрнческне по нижним индексам, т. е. удовлетворяющие линейным зависимостям к ь —— — К . Тогда, беря ! )ь ьр ль (и — 1) всевозиьжные такие тензоры.
мы располагаем не пь, а незаеиси. мыми координатами и получаем линейное предстааленве фактнческа в л' (и — 1) — -мерном пространстве. 2 Мы можем рассматривать при этом не один какой-либо тензор (тхч а всевозможные тензоры данного строения; тогда численные значения (г1чп отвечающие данному тензору, могут быть какими угодно. В результате вслед за каждым квазиаффинным преобразованием (55.!) в многообразии реперов мы получаем линейное преобразование (55.3) над переменными («ь или, если угодно, линейное преобразование в пь-мерном пространстве переменньгх (Л,ь Прн этом, как мы проверяли в свое время (2 32), наложению двух преобразований (55.1) отвечает наложение соответствующих преобразований (55.3). Пусть каждому элементу некоторой группы 0 однозначно сопоставлено взаимно однозначное преобразование данного множества 2)1 в себя, причем перемножению элементов группы отвечает наложение соответствующих преобразований в том же порядке (а тогда единице ~руины отвечает тождественное преобразование и абра~ному элементу †обратн преобразование).
В этом случае мы говорим, что нам дано представление группы 0 в виде группы преобразований множества 3)1 в себя. (Прн этом мы, вообще говоря, не требуем, чтобы соответствие между элементами 0 и преобразованиями в Й) было взаимно однозначным.) В нашем случае иы имеем линейное представление квазиаффинной группы, именно, представление в виде группы линейных преобразований (55.3) в и'-мерном пространстве переменных )г(ь, это пространство играет роль множества 3)1. $55) ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ОЕЪЕКТЕ 233 Нетрудно заметить, что задание этого линейного предстатления квазиаффинной группы и есть самое существенное в понятии тензора. В самом деле, если линейное представление (55,3) задано, то каждый отдельный тензор данно~о типа (в нашем примере один раз контравариантный и два раза ковариантный) можно получить следующим образом: какому-нибудь реперу 31 сопоставляем произвольно выбранную точку ((т,д) з пространстве представления, а затем любому другому реперу 31 сопоставляем точку ((т;,д,), пользуясь законом преобразования (55.3).
Более подробно: берем квазиаффинное преобразование в многообразии реперов, переводящее Я в 3Г; ему отвечает определенное линейное преобразование (55.3) в пространстве представления; это преобразование переводит точку (Г(ь) в некоторую точку (Р~,к,), которую мы и ставим в соответствие реперу Ж': рт'ь - ~4(И') По существу мы повторили лишь в иных терминах построение тензора по наперед заданным его координатам в какой-нибудь одной координатной системе (2 32). Но теперь перед нами открывается путь к естественному обобщению понятия тензора. В самом деле, почему линейное представление квазиаффинной группы должно иметь вид обязательно тензорного закона преобразования, как, например, (55.3)? Можно предположить, что существуют и другие линейные представления квазиаффинной группы, которые можно положить н основу определения величин, аналогичных тензорам, но с иным законом преобразовании.
Пусть в Тч'-мерном пространстве некоторых переменных гры гре ° ° ° грм нам задано линейное представление квазиаффинной группы. Это значит, что каждому квазиаффинному преобразованию (55.1) однозначно сопоставлено линейное преобразование переменных гр (р=1, 2, „О1): (рр, ~ В",гр +Вр, ПЕ1)ВР,(~0, (55А) с=3 гак, что результирующему преобразованию двух «вазиаффинных преобразований всегда сопоставлено результирующее преобразование соответствующих линейных преобразований. Коэффициенты ВрРч Вр, являются, конечно, функциямн от коэффициентов А';, А' квазиаффинного преобразования. Эти функции мы будем предполагать непрерывными.
Заметим, между прочим (это можно было бы доказать), что тогда эти функции (по крайней мере в вещественном случае) явлшотся обязательно непрерывно 234 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО И ИЗМЕРЕНИЙ [гл, цг дифференцнруемымн и даже аналитическими+). Нам, впрочем, это не понадобится. Сопоставим теперь какому-нибудь реперу Я произвольную точку ф в пространстве переменных ф . Любому другому реперу Я' сопоставим точку фр,, полученную из ф тем линейныи преобразованием (55.4), которое отвечает квазиаффинному преобразованию Я- Я' (т. е. переводящему Я в Я'). В таком случае каждому реперу Я' будет сопоставлена точка фр =ф,(Я'), причем прн переходе от любого репера Я' к любому реперу Я' будет действовать закон преобразования (55.4): (55.5) ь'= г где коэффициенты Ври.', В .
отвечают квазиаффннному преобразованию Я' — Я". Чтобы проверить равенство (55.5), рассмотрим его правую часть. Она представляет собой результат последовательного выполнении над ф линейных преобразований (55 4) и (55.5), отвечающих квазиаффинныи преобразованиям Я вЂ” Ж' н Я'- Я". Результирующее линейное преобразование над р о~нечаст, следовательно, результирующему квазнаффинному преобразованию Я вЂ” Я" и, следовательно, согласно нашему поетроени1о дает Этим (55,5) доказано. Мы будем говорить, что нам дан линейный геометрический объект в п-мерном аффинном пространстве, если каждому реперу Я сопоставлены )Ч занумерованных чисел ф, фа, ..., ф „ которые при переходе от репера Я к реперу Я' подвергаются линейному преобразованию (55.4), отвечающему в данном линейном представлении квазиаффииному преобразованию Я вЂ” Я'.
Числа фе, ..., фм мы будем называть координатами линейного геометрического объекта относительно данного репера. Таким образом, для определ~ния линейного геометрического объекта в аффиниом пространстве нужно задаться прежде всего соответствующим законом преобразования (55.4), т. е. некоторым линейным представлением квазиаффинной группы.
Мы будем говорить, что это линейное представление определяет тип линейного *) В комплексном случае атому заключению может помешать комплексная сопряженность, входящая в выражение функциональной зависимости. й 55) ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОИ ОБЪЕКТЕ 235 геометрического объекта. Затем любой линейный геометрический объект данного типа можно получить, задавшись произвольно его координатами <р для одного какого-нибудь репера Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
