1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тем не менее мы не отказываемся и здесь от использования наглядных представлений по аналогии с трехмерным случаем. Мы будем делать чертежи, апеллирующие, конечно, к трехмерному наглядному представлению, ио используемые нами по аналогии для многомерного случая, Лля дальнейшего нам будет особенно важен четырехмерный случай, когда ортонормнрованный репер имеет орты ею е,, е„ еа: (48,6) е, '=- — 1, е', .= е.„' .= е, '= 1 и скалярный квадрат век~эра имеет вид ха =- — еа +х' +х' -)-ла Трехмерная гиперплоскость гг'„ построенная на единичных ортах ет~ е, еа и проходящая через начало О, имеет уравнение ла ==О.
(48.8) Положение точки на гиперплоскости )са определяется, очевидно, тремя координатами хт, ха, ха, причем формула скалярного квадрата (48.3) принимает вид х'=х" +ля +ха. Ясно, что )га несет на себе обычную (трехмерную собственно евклидову) геометрию. Этим же свойством будет обладать и любая трехмерная плоскость, проходящая через вершину изотропного гиперконуса и лежащая в остальном вне его (в соогвегствии с результатами 8 47, если их повторить для четырехмерного случая).
Изучим теперь преобразование одного ортонормированного репера я другой. Орты нового репера обозначим: еэегое,,е, (48,9) Начало О будем считать премгним. Плоскость Ка для нового репера обозначим )7,. Вообще преобразование старых ортов в новые в четырехмерном случае†вещь достаточно громоздкая. 11о мы сумеем свести его к двумерному случаю следующим приемом. 200 ввклидово пгооттьнство и измегвний (гл, п1 (48. 1О) еь =ес, е,, =е,. Теперь нужно рассмотреть оставшуюся часть преобразования. Плоскости ортов (ея, ев) и (етч е„) совпадают, следовательно, совпадают и ортогональные к ним псевдоевклидовы плоскости (е„ е,) и (ееч е,,). Преобразование свелось, таким образом, к преобразованию репера е, е, в псевдоевклидовой плоскости, а это преобразование было нами хорошо изучено и имеет внд (45.8): ))еь+ ет ш У! — 8' (48.11) Мы считали, что начало О у старого и нового реперов общее.
Но если это не так, то начала О, О' можно предварительно совместить параллельным сдвигом одного из реперов, Будем называть тривиальным вращением репера такое его преобразование, при котором плоскость Я остается без изменения и, следовательно, ортогональный к ней орт е, или не меняется или меняется иа обратный, а орты е„ е, ев испытывают вращение в плоскости )св.
Это вращение, происходящее, таким образом, в обычном трехмерном пространстве (геометрию которого несет на себе ссь), изучается в элементарном курсе аналитической геометрии и никаких затруднений для нас не представляет. И вот оказывается, что если старый и новый реперы подвергнуть предварительно тривиальному вращению, то переход от одного к другому становится очень простым.
Мы предполагаем, что плоскости Йь и Й, не совпадают; в противном случае переход от старого репера к ноаому можно было бы совершить просто при помощи тривиального вращения. Поскольку трехмерные плоскости Яз и И, в четырехмерном пространстве не совпадают и имеют общую точку, то они пересекаются по двумерной плоскости )кя. Это видно из того, что место их пересечения будет определяться парой независимых однородных линейных уравнений. Итак, плоскость Ь' принадлежит и )св и )ск Выполним теперь в трехмерной плоскости тсв такое вращение ортов е„ е„ е„ чтобы орты ет, е, поместились на двумерную плоскость )с,. После этого в трехмерной плоскости й, выполним вращение ортов еьч ееч е,, таким образом, чтобы евч е,, тоже поместились на Я, и притом совпали с е„ ев (уже помещенными на ней).
Возможность всех этих операций не вызывает сомнений, так как они происходят в обычных трехмерных пространствах гсв и тс;. Итак, за счет тривиальных вращений старого и нового реперов можно добиться совпадения ортов: 5 49] 281 оттогонлльные птеонгхзовлння В результате всякое преобразование ортонормирозанного репера (О, еь, е, ея, е ) с точностью до тривиальных вращений и параллельного сдвига сводится к преобразованию (48.10), (48,11).
9 49. Ортогональные преобразования Выясним теперь степень произвола в выборе ортонормированного репера в евклидовом пространстве. Уже из способа построения репера ясно, что такой произвол имеется; мы хотим теперь точно определить, как в общем случае преобразуется один ортонормированный репер )й в другой )и'. Ясно также, что начало О можно передвигать при этом произвольно, так что мы займемся лишь преобразованием ортов.
Пусть они преобразуются по формуле ес = А,',ег. (49.1) Какова должна быть матрица А,', для того, чтобы преобразование переводило векторы ортонормированного репера снова в векторы ортонормированного репераг Мы рассмотрим сначала случаи комплексного евклидова и собственно евклидова пространств и притом параллельно; будем помнить лишь, что в первом случае все рассматриваеиые численные величины, вообще говоря, комплексные, а во втором в вещественные. В остальном изложение протекает одинаково. Вслед за преобразованием репера преобразуются ковариантные и контравариантные координаты произвольного вектора х соответственно по формулам: хг=Асх,, г хг = А]'хг. (49. 2) (49.3) Но в силу (42.8) н (43.4) в ортонормированных реперах х;=х', а следовательно, закон преобразования для ннх должен быть одинаковым «), и мы получаем: А,'.
= А~'. (49. 4) ") Тем самым для ортонормнрованных реперов исчезает разница между когаряантными и контраварньнтными индексами; в связи с ьтнм в главе 1 мы все тензорные индексы писали внизу, Другими словами, матрица А';. преобразования ортонормированного репера в ортонормированный репер должна совпадать со своей транспонированной обратной матрикей А'. Транспонирование обратной матрицы сказывается в том, что в (49.4) приравниваются элементы матриц с одинаковыми, но поменявшимися местами индексами.
Матрицу со свойством (49.4) мы будем называть ортогональной, при 202 евклидова пгостглнстзо и изменений (гл. ш этом вещественной или комплексной в зависимости от характера ее элементов. Обратно, если соблюдается условие (49.4), то, преобразуя ортонормированный репер при помощи (49А), мы снова получаем ортонормированный репер. В самом деле, до преобразования мы в ортонормированном репере имеем для любого вектора х, =- х'. Но в силу (49.4) это равенство сохраняется и в преобразованном репере, как видно из (49.2), (49.3): хе =к', т.
е. Так как это равенство верно для любого вектора х, то оно представляет собой тождество относительно х', откуда следует: Тем самым преобразованный репер оказывается тоже ортонормированным. Итак, для того чтобы матрица А,', отвечала переходу от одного ортонормированного репера к другому, необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была ортогональной, т. е. чтобы А,', = А'.
Произведение взаимно обратных матриц в любом порядке дает единичную матрицу: А";! А'„' =. 66, Аь,Ач' = 6',. (49.5) В нашем случае (49.6) и мы получаем: ~ АьАь =- т~ ... ~~'., Ад~,Ач, =, (49.7) 0 (у~/') . ( 0 (г'~7') ! (Р=7')', ' ' ( ! ((=-г) ' т. е. в ортогональной матрице произведение двух строк дает нуль, если эти строки различны, и единицу, если они совпадают; тем же самым свойством обладают и столбцы. Обратно, если такоесвойство имеет место хотя бы только для строк или только для столбцов, то справедливо одно из соотношений (49.7), например, первое. Но в этом соотношении, как можно убеднтьсн, сравнивая его с перным соотношением (49.5), роль обратной матрицы А),' играет транспоннрованная данная матрипа, так что мы возвращаемся к условию (49.4), н наша матрица будет ортогональной, э 49) огтогонлльныв пгеоягхзонлния Ортогональные матрицы обладают определителем, равным г- 1, и в соответствии с этим распадаются на два класса.
Действительно, согласно (49.4) матрицы А), н А<' должны обладать одним и тем же определителем; но в то мсе время эти матрицы, как матрицы взаимно обратные, должны обладать и обратными (т. е. дающими в произведении единицу) определителями. Таким образом, определитель матрицы А,' должен быть обратньщ самому себе, т, е, равным ~!.
Преобразование репера Й вЂ” Я' при условии Ре!'А,',)=1 (49.8) мы будем называть его собственным движением, в частности, при неподвижном начале Π— собственным врал)еноем около О. Собственные движения репера Й, как можно было бы показать, всегда допускают непрерывный переход от одного из них к другому за счет непрерывного изменения репера Я' прн постоянном Я. В частности, любое из них может быть осуществлено непрерывным переходом от тон<явственного преобразования (которое, конечно, входит в число собственных движений).
Геометрически это значит, что если в результате собственного движения Й- Й', то Я' можно получить непрерывным изменением Й. Прн этом здесь и в дальнейшем подразумевается, конечно, что в процессе изменения репер остается ортонормнрованным, Преобразование репера Й- Й' при условии Ре!) А',,! = — 1 (49.9) мы будем называть его несобственным движением. Несобственные движения легкополучить из собственных, накладывая на каждое из них зеркальное отражение репера относительно одной нз его гиперплоскостей: например, оставляя начало О и все орты е„ ..., е„ без изменения, а орт ет заменяя через — е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
