1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Мы располагаем еще двумяформулами: для перемещений2μ(ιι + ίυ) = χ φ - ζ φ ' - ψ'и для силы // = /<[(2Г„ +ίΥη)άΙ = φ + ζφ ' + ψ ' .АВНачнем с первой формулы. Подставляя в нее представление (56),получим2μ(μ + ϊυ) = - * ^ + — 1ηζ·ζ + ^ Τ ζ- Γ 'ζ - Γζ +2ζτ(1 + 7 )+ χφΛ ζ ) ~ Ζ(ρ'Λζ) - ψ οΟ)·Продифференцируем равенство по χ, д> и перейдем к пределу приζ |—» оо.
Результат будет следующийдих ,δυ*----- + /дхдх(χ Γ -Γ )-Γ ',(58)дих . δ υ Χ+ 1·= ( * Γ -Γ )ί+ Π .2μдудуИндексом «оо» отмечены предельные значения перемещений.При дифференцировании использованы формулы (21). Вспоминая173определение (55) и разделяя в (58) действительную и мнимую части, получим четыре равенства2μ2μ2μ2μди*(Ζ-1дхдидуди*дуди*дх)В + В',■= ( ; х-\)В-в\(59)= -{Х -\)С + С,= ( ζ - ι )С + С'.ОтсюдаС=2μ_00СО , со =-ι+χο* — предел вращения1 д и*ди*дхду1 си(ади2 дхдуω= —лпри I ζ |—> оо.Таким образом С — это предел (с точностью до множителя)вращения на бесконечности.
Из равенства (59) следует механический смысл также постоянных В, В', С' через деформации на бесконечности. Результат совпадает с (57).§ 8.10. Принцип Сен-Венана и свойство аналитичностирешений плоской задачи теории упругостиПусть область, занятая телом, имеет характерный размер Ь.Предположим, что на дуге границы длиной I « Ь приложена система сил, статически эквивалентная нулю.
Подразумевается, чтосилы особенностей не имеют, т. е. речь идет о взаимной компенсации конечных значений сил. Предположим также, что граница телавне дуги / от напряжений свободна. Тогда, согласно принципу Сен174Венана, можно утверждать, что тело вне окрестности дуги порядка10/ от напряжений будет также свободно. Полученные выше результаты показывают, что данное утверждение точным не является.Это нетрудно доказать.
Для удобства приведем необходимые формулы еще раз:<*„ += Άφ'(ζ) + φ(ζ)\.σ νν - σ νν + 2 / σ „ = 2 [ ζ φ ' ( ζ ) + ψ ' ( ζ ) ] ,вг-------------- (60)/ = Η (χ „ + Ю<М = <Ρ(Ζ) + ζφ (ζ) + ψ(ζ),2μ(Μ + ϊν) = χφ(ζ) - ζφ'(ζ) - ψ(ζ).Функции φ{ζ) и ψ(ζ) являются аналитическими функциямикомплексного аргумента ζ . Поэтому напряжения и смещения будутаналитическими функциями действительных переменных х и у .Далее, если напряжения равны нулю в некоторой подобласти области, занятой телом, то с точностью до несущественных постоянныхв данной подобласти будут равны нулю и потенциалы φ(ζ) и ψ ( ζ ) .Из аналитичности следует, что они будут равны нулю и во всей области, занятой телом.
Следовательно, никакая часть тела не можетбыть свободна от напряжений — либо все тело нагружено с некоторым распределением внутренних напряжений, либо все тело отнапряжений свободно.Имеет место еще одно интересное свойство. Пусть некоторая дуга / границы тела от напряжений свободна. Тогда смещения на этойдуге обязательно должны быть отличными от нуля. Исключениедопускается только для одного тривиального случая, когда все телонаходится в естественном состоянии, т.
е. от напряжений свободно.(Перемещения везде понимаются с точностью до смещения тела какжесткого целого).Доказательство. Предположим, что часть границы / свободнаи от напряжений и от смещений. Обратимся к двум последнимформулам (60). При надлежащем выборе произвольных постоянныхлевые части равенств равны нулю. Везде предполагаем, что потенциалы и их производные непрерывно продолжимы на границу. Саму границу также предполагаем достаточно гладкой. Тогда, перехо175дя к граничным значениям и складывая два последних равенства (60), приходим к заключению, что функция φ на дуге / тождественно равна нулю.
Отсюда следует, что и ψ на дуге — тождественный нуль. Из аналитичности следует, что обе функции тождественно равны нулю по всей области аналитичности. Следовательно, никакая часть границы нагруженного тела не может быть одновременно свободна и от напряжений и от смещений. Это результатточный. Формально этот результат и принцип Сен-Венана друг другу противоречат.
Но с точки зрения логики прикладных теорий никакого противоречия нет. Здесь уместно привести следующий пример. Пусть для некоторой задачи получено аналитическое решение, вкотором фигурируют, например, числа π и 7 7 . Оба числа характеризуются бесконечным числом десятичных знаков. Пока мы ведеманалитические выкладки, никаких проблем с этими бесконечностямине возникает.
Мы оперируем со всеми величинами, как будто нам всеэти бесконечности доступны. Однако как только дело доходит доприложений, мы сразу переходим к числам рациональным, причем кчислам с небольшим количеством знаков после запятой.Изложенные выше результаты, основанные на формулахКолосова — Мусхелишвили,—эторезультатытипа72=1,14..., л-= 3,14... с бесконечным числом знаков после запятой.Результаты же, основанные на принципе Сен-Венана (и многихдругихподобныхподходов)—эторезультатытипа7 2 =1,14, π = 3,14.Конечно, интерес представляют все подходы.§ 8.11. Приведение основных задач теории упругостик задачам теории функций комплексного переменногоПредположим, что напряжения и смещения непрерывно продолжимы на границу области 5 , занятую упругим телом.
Следуя [5],граничные точки обозначим через (. Обратимся к формулам (60).Предположим, что область является конечной и односвязной. Тогда функции φ(ζ) и ψ(ζ) в правых частях (60) являются голоморфными.176Рассмотрим первую основную краевую задачу. Пусть на границезадан вектор напряжения {Χη,Υη}. Пусть ζ —>1, оставаясь внутриобласти 5 .
И з (6 0 )следует, чтоВАО =______________+ гУя)<Н= <Р(0 + ίφ'( 0 + Ψ(0·(6 1)АФункцию / ( 0 можно считать заданной. Граничные условиядолжны быть такими, чтобы результирующие сила и момент, действующие на тело, были равны нулю. Отсюда, в частности, следует,что функция / ( / ) является однозначной.Таким образом, первая задача сводится к следующей: найти двеголоморфные в области 8 функции, такие, что их комбинация (61)на границе равна заданной функции.То, что для определения двух функций φ(ζ) и ψ(ζ) в области 8потребовалась всего одна их комбинация на границе Ь , не должнонас удивлять.
Фигурально можно сказать так: основная информация содержится в утверждении о том, что функции φ(ζ) и ψ(ζ)являются голоморфными. И именно это обстоятельство позволяетполучить решение, опираясь только на одно соотношение типа (61).Иногда удобнее краевые условия для напряжений задавать непосредственно, не прибегая к интегралу / ( ( ) (краевые условия в формеКолосова). Для их вывода обратимся к формуле Коши:σ„ = σ ■η .(62)Пусть σ ,, σ 2 — главные напряжения и направление σ, составляетс осью Ох угол β (рис.
8.9). Тогдаех = {созД, 81п β},еу = { -з т /? , созД}.По формуле Коши (62)——2 Г)·2 п^ 2(У 2~пσ „ = ех ■σ ■ех = <г, соз /> +σ,8ΐη β = - ^ —-ч — ——=-соз2/»,σ νν = еу ■σ ■е,, = σ, зш2β + σ 2соз2β22С, + (72СГ] —(72σ η, = е σ · ε χ = ( - σ 1+ σ 2) ύ η β ο ο $ β = - —— — 8Ϊη2β.177соз2Д, (63)Полученные формулы называются формулами тензорного проектирования. Непосредственно из формул тензорного проектирования видно, что сумма диагональных компонент тензора —- это инвариант:σ χχ+ σ „ = σ ι + σ 2.(64)Далее, если сопоставить структуру формул (63) с формулой Эйлерае1ф = соз2/? + /з т 2 /? ,то нетрудно заметить, что~ σ *χ + 2 ι σ » = -<σ ι - σ 2У ГФ·(65)Введем теперь координаты Ох'у' так, чтобы ось Ох' быланаправлена по нормали к границе тела, а ось Оу' — по касательнойк границе (см.
рис. 8.9). Тогда-(σ, - σ, )е2'г< еσ уу —σXX + 2 ίσ X} <σ, ~ σ 2)β,2ИР+а)Отсюда и из (64), (65) следует, что+ σ ГУ = σ + σ„ν·(66)- < + 2ισ1 = (σ „ - σ „ + 2 ΐσ )е2На границе заданы только компоненты напряжений σ'χχ, σ', .Компонента σ ' не задается. Ее можно исключить, если взять разность равенств (66). Если при этом правые части записать черезкомплексные потенциалы, то легко прийти к следующей формуле:σ ', - 2ίσ[ν = (φ + ψ ) ~ 2ε1,α{ζφ" + ψ ’) .178(67)Левая часть для граничных точек известна, известен также и коэффициент е1ш. Таким образом, задача свелась к следующей: найтиголоморфные функции φ(ζ) и ψ( ζ ) , удовлетворяющие условию (67)на границе.
Так ставится первая основная задача с краевым условием в форме Колосова.Рассмотрим теперь вторую основную краевую задачу. Пусть награнице области заданы компоненты смещения и{(), ν(ζ) . Устремляя ζ к ( , и з (60) получим2μ(«, ( 0 + Н*)) = χφ(ι) ~ М '(0 - ψ(() ■(68)Задача сводится к тому, чтобы найти комплексные потенциалы,располагая условием на границе (68). Видно, что данная задача аналогична первой задаче с краевым условием в форме (61).В случае смешанной краевой задачи на части границы задаетсяусловие (61) или (67), а на другой части — условие (68).Выше предполагалось, что область деформирования являетсяконечной и односвязной. Именно поэтому функции φ(ζ) и ψ(ζ)были голоморфными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
