1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Период может зависеть от массытела т , ускорения свободного падения § , угла а , длины нити /.130Рис. 7.1Таким образом, требуется найти функциюТ = Г{1, § , т, а )(1)от четырех переменных. Размерности следующие:М[Т] = с, [/] —м, [я] = — , [«] = КГ, [а] -радиан,с“т. е. величина безразмерная. Функция Е — это определенная по­следовательность операций с аргументами, т. е. с метрами, метрамина секунду в квадрате и килограммами. Получить из этого наборасекунды можно только одним способом:( 2)где / — безразмерная функция безразмерного аргумента.Отсюда следуют два вывода: период колебаний от массы тела независит, период зависит от длины, маятника и ускорения свободногопадения только по закону (2).

Сказать что-то о самой функции/ ( а ) из указанных общих соображений — невозможно. Для тогочтобы продвинуться дальше, необходимо располагать уравнениямии их решениями. Решение показывает, что при малых а(3)Таким образом, поставленная задача решилась в два шага. Первыйшаг — это переход от исходной неопределенности (1) к неопреде­ленности меньшей степени (2). Он сделан только за счет размерногоанализа (следствие Пи-теоремы, одной из фундаментальных теорем131механики [Д7].

Второй шаг — переход от (2) к решению (3) — сде­лан уже с использованием достаточно сложных средств анализа.Видно, что первый шаг оказался весьма эффективный. Важно и то,что результат первого шага достигается быстро и чрезвычайно до­ступным методом.Посмотрим теперь, что дает анализ размерности в динамикеупругого тела. Статическое поведение изотропной упругой средыхарактеризуется одним размерным параметром — модулем Юн­га Е и безразмерным коэффициентом Пуассона ν . В динамикек ним добавляется еще плотность среды р .

Итак, имеемкгм 1 _ кг[ £ ] = Па = 4С2 м2 мс 2 9мМожно сказать и по-другому: в динамике к модулю Юнга и коэф­фициенту Пуассона добавляется еще одна характеристика упругогоматериала, которая имеет размерность скорости:Этот результат, конечно, скромнее, чем результат (2) в задачео маятнике, но тем ни менее он очень нетривиален и существенен.Дадим оценку новому параметру. Для стального образца имеемЕ = 2 -1 0 11 П а, р - 7 ,8 - 1 03 кг/м3.Отсюда С0 « 5 км/с. Таков порядок скоростей распространения воз­мущений в упругой среде.Здесь стоит отметить одно обстоятельство. Модуль Юнга можнооценить весьма простым методом, особенно для образца из прово­локи. Подвешивается груз, измеряется удлинение проволоки. Плот­ность определяется еще проще.

После этого по формуле (4) опреде­ляем параметр материала, который имеет порядок километров в се­кунду. Ясно, что для его непосредственного измерения потребова­лась бы гораздо более изощренная техника. Уже одно это обстоя­тельство дает основание считать и формулу (4) и метод, которымона получена, достаточно эффективными.Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо привлечьуравнения.132§ 7.2. Продольные и поперечные волны в упругой средеВ качестве исходных возьмем уравнения в перемещениях( 5)(Л + μ)§ΤΆάώνυ + μΑι* + XОграничимся случаем, когда объемные силы отсутствуют: X = 0 .Будем искать решения в видеи =ξ£Άάφ + το\ψ ,( 6)где φ и ψ — новые неизвестные функции.Подставим (6) в (5) и воспользуемся некоторыми формуламитеории поля:δ 2φ | δ 2φ + д 2<р= Αφ,дх2 дх2 дх2го1^ =/_д_7δкδдх,ΨIдх2Ψ2дх3ψ3ду/г[ дх2, δψ,дх} ’ дх3δ ψ 3 _δ ψ 2 δψ,дх, ’ дх,дх2(ϋν τ ο Χ ψ - 0 .В результате получим уравнение£гас! (Л + 2μ ) Α φ - рδ 2ψδ 2φ- 0 .

(7)+ τοί μ Α ψ - р~дё~дёЕсли функции φ и ψ удовлетворяют следующим уравнениям\ λ + 2μ1 δ 2φΑφ —с,2 дГ(8)νрд 2у7с = |ϊ ,(9)с] дГ\Рто они удовлетворяют и уравнению (7). Таким образом, решениединамических задач теории упругости свелось к решению двухволновых уравнений.Выше мы выяснили, что корректная постановка динамическихзадач включает в себя формулировку начальных и граничных усло­вий. В начальный момент времени / = 0 во всем теле должны бытьΑψ =1133заданы распределения смещений и скоростей смещений. Кроме то­го, на границе должны быть заданы три условия (на смещения илинапряжения или смешанные) при всех I > 0 . (При ί = 0 должнабыть, конечно, согласованность начальных и граничных условий).Как правило, такие задачи являются весьма сложными, так какуказанные условия выделяют единственные решения из бесконеч­ного числа решений исходных уравнений.

В связи с этим исполь­зуются несколько другие постановки задач. Можно вообще отка­заться от начальных и граничных условий. Тогда задача ставитсятак: найти некоторые точные решения исходных дифференциаль­ных уравнений. После того, как некоторые решения найдены, мож­но по ним (т. е. задним числом) найти смещения и скоростив начальный момент времени ί = 0 .

Кроме того, можно найти усло­вия на выбранной границе. Затем можно утверждать, что найденорешение именно этой начально-краевой задачи. Такая постановкагораздо проще, чем исходная. Она имеет смысл во многих ситуаци­ях, особенно, когда нас интересуют некоторые общие черты пове­дения динамических решений.Указанный выше способ может иметь различные вариации.Например, можно не ставить граничные условия, считая, что упру­гая среда заполняет все пространство.

Можно наоборот, поставитьграничные условия (например, для полупространства) и не ставитьначальных условий и т. д.Рассмотрим ряд основных результатов, которые можно получитьна этом пути. Обратимся к волновым решениям (4) и (5). Каждомуиз них соответствует своя скорость распространения возмущений.Рассмотрим механический смысл данных скоростей. Удобнеевсего это сделать на одномерных решениях. Положимφ = φ(χχ,ί), ψ = Ъ .Отсюда и (8)δ 2φ _ 1 δ 2φдх2 с2 д(2Точное решение имеет вид (интеграл Даламбера)φ = φ{χχ, ί) = /( х , - с,() + §(х, + с / ) ,где / и § произвольные и достаточно гладкие функции одногоаргумента.134Значения / и § не меняются, еслиX, - С,/ = СОП81,х, + с ,/ = с о п з * .Таким образом, решение описывает распространение возмуще­ний со скоростью с, вправо и влево по оси х ,.

Из определения (6)легко найти вектор перемещенийЩ = /'( * , - с , 0 + £'(·*, +с,0> «2 =0» « 3 = °·В волне данного типа объем меняется:дг/, ди,.....ί = —^ ++= / (х, - с / ) + £ (X, +С ,0·ох, ох, ох3Однако вращения частиц не происходит1 Ь-а = η0 .—гоКроме того, смещения частиц происходят по нормали (т. е.

вдоль)фронта волны. Поэтому такие волны называются продольными. Те­перь о параметре с, можно сказать так: с, — это скорость распро­странения продольной волны. Решение (6) относится к плоскойпродольной волне (все частицы в плоскости х, =сопз1 ведут себяодинаково).В общей теории показывается, что все волны, относящиесяк классу, ψ = 0 , являются продольными. Для всех волн этого типахарактерно изменение объема и отсутствие вращения.

Действитель­но, при ψ = 0 имеемών (§гаё^) = Α φ Ф0,го1(§гаάρ) = 0 .Рассмотрим другой крайний случай, когда φ = 0 , а ψ Ф0 . По­ложим- 0 , ψ2 = 0 ,Ф0 . Тогдад2у/г _ 1 δ2ψ3дх2с2 д гиУ'з = /( * , - с / ) + £(х, + с,0 ·Соответствующее поле перемещений имеет види2 =0, и2 = - / '( х , - с,/) + §·'(χ, + с/), Щ = 0 .135Данное решение описывает волну, которая распространяется соскоростью с2. Волна — плоская, так как в сечении х, = сопЫ все пе­ремещения будут одинаковыми для любых х2, х} . Волна распро­страняется вдоль оси Ох,, а перемещения в ней происходят в направ­лении 0х2, т. е. поперек фронта волны. На этом основании такиеволны называются поперечными. Можно показать, что это свойство(ортогональность смещений и направлений движения фронта) имеетместо в общем случае для всех волн типа φ = 0 , а*0.Далее, из решения видно, что в поперечной волне изменениеобъема не происходит, вращение же от нуля отлично:ди, ди2ди, дм,— - + —1 = 0.дх, дх2дх.дх3ω =-[ - / '( * ι- с,Г) + £·"(*, + ф е уОчевидно, что это свойство имеет место и в общем случае:ΰ = τοΧψ, (ΰνπ = 6ϊν τοΧψ = 0 , τοΧΰ = τοΙτοΐ(7 ^ 0 .На основаниях, указанных выше, функции φ и ψ в представле­нии (6) называются соответственно продольным и поперечным по­тенциалами.§ 7.3.

Поверхностные волны РэлеяВ связи с проблемами землетрясений большое значение имеютзадачи о распространении волн на поверхности и в глубине Земли.Возникающие здесь задачи весьма сложны и являются предметомизучения ряда специальных научных дисциплин. Мы здесь рас­смотрим только одну самую простую задачу, которая тем не менеедает ряд глубоких и принципиальных результатов.Во-первых, ограничимся моделью однородного изотропногоупругого тела. Весом пренебрежем.Во-вторых, если мы имеет дело с расстояниями много меньше ра­диуса Земли, то можно принять, что ее поверхность является плос­кой.

Поэтому саму Землю заменим упругим полупространством.Задача о распространении упругих волн подразумевает наличиеисточника возмущений и задание определенных начальных усло­вий. Мы здесь откажемся от постановки начальных условий, а огра­136ничимся только краевыми условиями. Построим одно точное реше­ние и затем рассмотрим его механический смысл.Итак, рассмотрим следующую задачу.

Задано полупространствох2 > О (рис. 7.2). Граница полупространства от напряжений свободна:σ 22 = 0, сг21 = 0, сг21 = 0, при х2 = 0 .( 10)Рис. 7.2Требуется найти точные решения уравнении (8), (9) в областих2 > 0 , удовлетворяющие условиям (10).Будем искать решение в следующем классе функций:φ = Аехр[-ах, + ^^(xι -с1)\,ψχ =0, ψ 2= 0, ψ3 = В ехр[-/?х2 + ϊς(χχ - с1)],где А, В, а > 0 , β > 0 , д, с — свободные постоянные.Подстановка (11) в уравнения (8), (9) приводит к равенствам« = < 7 ,1 - 7 - β = α 1 - ½ .( 12)Таким образом, всем уравнениям можно удовлетворить только засчет выбора двух постоянных. С краевыми условиями ситуациясложнее.

Характеристики

Список файлов книги