1625914693-46659925ad530aedde66464ba2de99e8 (532402), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Пусть/ О ) = и(х, у ) + ίν(χ, у),/ ( г ) = и(х, у) - ίν(χ, у),где / ( ζ ) — аналитическая функция. Тогдадхθζ дхду¥ =&δ /(ζ )дх3 /0 )\д г у=и5/Если использовать обозначение — =дгЗд:7 ’ дуд/ _ у,д/, то можно записать:7 ’( 21 )-утдх’ дуИменно в такой форме данные формулы потребуются ниже.§ 8.4. Формула Гурса, или комплексноепредставление бигармонической функцииВыше было показано, что плоская задача теории упругости сво­дится к решению бигармонического уравненияААУ(х, у) = 0 .Здесь V — функция напряжений Эри.

Это вещественная функциядвух вещественных аргументов х н у . Естественно, что V относится155к классу функций, не содержащих операцию сопряжения. Ничто немгшает ввести комплексные переменныеζ = х + гу , ζ = х —гуи рассматривать V как сложную функцию от ζ и ζ :У (х,у) = У( ζ+ ζζ-ζ^2/= ν\ζ,ζ).Функция V' так же, как и V , не содержит операции сопряжения.Ясно, чтод2Уδζδζд4Уδζ2δζ211 д2у δ 2Удх2 + сУ1 г д4У1ААУ =1616 дх-А У .4д4Удх дуд4Ул= 0 .ду( 22 )Если вторая производная от функции по некоторому аргументуравна нулю, то функция будет линейной по данному аргументу.

По­этому решение уравнения (22) можно представить в видеυ - Α(ζ) ■ζ + Β(ζ) + С(2) · ζ + Ζ)(ζ).Все функции Α(ζ), Β(ζ), С(1) и Ο(ζ ) являются функциями, несодержащими операцию сопряжения. Функция V является веще­ственнозначной. Следовательно, V —V и, значит,0 (ζ ) = Α(ζ),Β(ζ) = Ω(ζ),υ = Α(ζ) ■ζ + Β(ζ) + Α(ζ) ■ζ + Β(ζ) .Перейдем к стандартным обозначениямΑ ^ ψ , Β ^(2 3 )Ε = Βε(2^(ζ) + χ(ζ)).156Это и есть формула Гурса, которая дает комплексное представ­ление бигармонической функции.По-другому можно сказать так: выражение (23) представляет со­бой общее решение бигармонического уравнения (22).

Какие быаналитические функции φ(ζ) и χ (ζ ) мы ни взяли, подставив ихв (23) и отделив действительную часть полученного выражения, мыполучим точное решение бигармонического уравнения.Дальнейшая программа наших действий будет состоять в следу­ющем: от функции Эри необходимо перейти к напряжениям и затемк смещениям. Затем можно будет использовать заданные граничныезначения напряжений или смещений и выделить конкретные функ­ции φ(ζ) и χ ( ζ ) , дающие решение поставленной краевой задачи.§ 8.5. Комплексное представление напряженийи смещений — формулы Колосова — МусхелишвилиНапряжения — это вторые производные от функции Эри по ко­ординатам.

Поэтому вначале вычислим производные функции Эри.Формулу Гурса удобнее записать без использования оператора Ке:2V = ζφ (ζ) + χ (ζ ) + ζφ{ζ) + χ ( ζ ) .Пользуясь формулой (21), получим^дУ _ ,, _ —2— = ^ + φ + χ + ζφ + φ + χ ,дх,κ■ίζφ - ϊ φ + ίχ - ί ζ φ + ίφ —ι χ .>Сравнивая эти два выражения, можно заметить, что более ком­пактный вид примет их следующая линейная комбинация:дУдУ------ ----— + ϊ — =φ(ζ) + ζ<ρ'(ζ) + ψ (ζ),(24)дхдугде ψ (ζ) = χ '( ζ ) .

Функции φ(ζ) и ψ(ζ) называются комплекс­ными потенциалами Колосова — М усхелишвили.157Для перехода к напряжениям равенство (24) необходимо про­дифференцировать еще раз:д2Г .д 2У д . . .-7— — — Г + »— = — [?(*) + ζφ (ζ) + ψ{ζ)],ихоху οχд2Уд2У δ-дхдуτ χ · + ‘оу~дг-г = ду"Γ"------ — —+ ζ(ρ'(ζ) + Η * )] ·Левую часть заменим, используя определение функции ЭриΘΨχ*2д2Г _σ νν,οχ''2д2Уσ νν!<туΛ~*οχ<φ>При дифференцировании правой части используем формулы (21).В результате получимσ π - ϊσ χγ = φ' + φ' + ζφ" + ψ',- σ η +' σ ,χ=ί( Ρ+ *>' -ίζ Ψ~Ψ·Запись будет короче, если второе равенство умножить на ± / исложить с первым:σ „ + σ„, = 2(φ' + φ'),σ νν - σ χΧ~ 2 ισ χγ =+ νΟ·Чтобы было меньше операций сопряжения, возьмем сопряжениеот обеих частей последнего равенства.

Окончательно получим+ σ „ = 2 [φ \ζ) + φ { ζ ) \σ ,ν - σ Λ, + 2 ίσ χ>= 2\ζφ"(ζ) + ψ \ζ )\.Формулы (25) называются формулами Колосова — М усхелишвили для напряжений. Формулы (25) дают полное решение уравне­ний плоской теории упругости в напряжениях. Переход к функцииЭри означает, что оба уравнения равновесия удовлетворяются тож­дественно. Третье уравнение — это условие Бельтрами — Митчел­ла, которое замыкает систему. Это уравнение также удовлетворено.Таким образом, если взять любые функции φ и ψ аргумента ζ ,свободные от операций сопряжения, и подставить в (25), то мы по­158лучим некоторое точное решение уравнений теории упругостив напряжениях.Для полного решения задачи необходимо найти также поле пе­ремещений.

По закону Гука напряжения представляют собой ком­бинации частных производных смещений по координатам. Поэтомуформулы (25) можно рассматривать как три (вещественных) урав­нения относительно двух компонент перемещений. Данные уравне­ния заведомо совместны, так как само исходное бигармоническоеуравнение было получено как условие совместности деформаций.Замечательная особенность плоской задачи состоит в том, чтои уравнения для перемещений интегрируются и приводят к реше­нию в замкнутой форме. Обратимся к закону Гука:ег = ЛΟν \дин----- + 2μдх ду~дх'ди6νди δνσ. = Л ---- 1----- + 2μдх ду(26)ди ---δν-----1ду дхСкладывая первые два уравнения, получимди δν σ + σу VXXдхду2 (Л + μ )(27)С другой стороны,сгЭто видно из первой формулы (25).Подставим (27) в (26) и заменим σ χ , σчерез производныефункции Эри:диЛдхδΨду22 (Л + μ )дУ2μдуδΨдх2ЛАГ.2(λ + μ )ΔΓ,(2 8 )159Идея интегрирования является чрезвычайно простой: оба члена вправой части первого уравнения можно представить через произ­водные по х :д2Ут, д2У= А У -дх2д/АУ = 2(<р' + <р') = 2δφдхδφ—\дхАналогично для второго уравненияд2У .

„ д2У■= АУ - дх2ду2АУ = 2(φ' + φ') = 2! 1δφί дуΙδ φ ^ΐ дуЗдесь мы снова воспользовались формулами (21). Подстановкав (28) и интегрирование даютдУ λ + 2 μ2μιι(φ + φ ) + А{у),δχЯ -г μ(29)„дУ Я + 2//1_чч2 μ ν = - хсу~ + ι Я—ВД,+ μ-~ля>ггде А(у), В(х) — произвольные функции своих аргументов. Зай­мемся теперь последним уравнением (26). Подстановка решения(29) в уравнение дает:А'(у) = -В '(х) = -Ω ,А(у) = -Ω у + и \ В(х) = Ωχ + ν°,где Ω, и 0, ν° = соп§1. Таким образом, произвол, с которым полу­чено поле перемещений, — это произвол смещения тела как жест­кого целого. Этого, конечно, следовало ожидать, так как заданиеполя напряжений определяет смещения именно с этим произволом.С механической точки зрения данный факт просто очевиден. То об­стоятельство, что он имеет место и в математической модели, слу­жит еще одним аргументом в пользу адекватности самой модели.Цепь рассуждений, которая привела нас от реального упругого телаг его математической модели, не является строго дедуктивной (как,например, при построении геометрии на основе системы аксиом).На ряде шагов переходы являются только правдоподобными.

По­этому любые следствия модели, которые имеют ясный механиче­ский смысл, соответствующий реальной ситуации, служат такжеподтверждением адекватной модели.Вернемся к решению (29), (30). Если взять комбинацию переме­щений 2//(м + ;у) и сделать заменудУ+ιдУ=φ+-Ζ φ_+ у / }ахиуто легко прийти к следующей формуле:2μ(μ + ΐν) = χ φ ( ζ ) - ζφ'(ζ) - ψ(ζ),(31)λ + 3μгде χ = —------ = 3 - 4υ.А + [Л,Здесь мы воспользовались тем, что,υЕЕλ = -------------- , μ - --------- - .1+ υ Ι - 2 υ2(1 + υ)Формула (31) относится к плоской деформации. Для плоскогонапряженного состояния постоянную Ламе λ необходимо заменить на2μX =■-λ.2μ + ЛОтсюдаX +3μ _ 8 - 6 и2Г X +μ1+ υ2μ(μ + ΐν) = * φ(ζ) - ζφ'(ζ) - ψ(ζ).Слагаемое, связанное с жестким смещением тела, опущено.§ 8.6.

Формулы для главного вектора сил,действующих на заданную дугуВернемся к формуледУдУ—— -----— + / — = φ(ζ) + ζφ'(ζ) + ψ(ζ) .дхду161(32)Она является следствием формулы Гурса. Выше, дифференцируявыражение (32), мы перешли к напряжениям. Однако и само выра­жение (32) имеет ясный механический смысл и играет большуюроль во всей теории.

Рассмотрим его.Возьмем внутри упругой области 5 некоторую кривую I . Пред­положим, что / — натуральный параметр кривой Ζ,:х = х{1), у = у(1).Пусть п — такая нормаль к Ь, что при увеличении / точка (33)движется вдоль кривой Ь так, что п направлена в область справаот Ь (рис. 8.5). Пусть точки А и В соответствуют значениям / и/ + <11, СА и СВ горизонтальный и вертикальный отрезки, а — уголнаклона вектора ή к оси Ох. Тогда (как и в задаче о кручении)Рис. 8.5Обозначим через σ η = {σηχ, σ ηι}вектор напряжений, действующийна площадку АВ с нормалью п . Следуя [5], будем также использо­вать обозначения σ ηχ = Х п, а пу = К (рис.

8.6).По формуле КошиЛ + σ χνηνσ ,Λ + σ и162Вспоминая, чтод2Уδ2Υσ χνδχδγδγ2 ’ }У дх2и пользуясь (33), получимδ2Υ άγ δ2ν άχ ά δΥ■+=Χ.ду2 ά1 δχδγ άΐ άΐ δγσ.„ =д2УΘΨ άγδχδγ άΐδ 2Υ άχδχ2 άΐά ЭУάΐ δχОтсюдаδν,δν-------[_ι -----= ΚΧ„ + ϊυ„).δγάΐ δχЕсли ΑΒ — некоторая дуга, то результирующая сила, действу­ющая на нее, определяется следующей формулой:δΥ,δΥ----- ЬI —дхδγЗдесь, как обычно, черезί](Χ„ + ίΥη)ΒΙ = / .АΊААобозначено приращение соответВствующего выражения в скобках. Справа стоит криволинейный ин­теграл по дуге АВ, / — его обозначение [5].

Таким образом, вы­ражение (34) позволяет определить равнодействующую сил, кото­рые приложены к произвольной дуге А В :/δ Υ ,δ Υ----- КI —дхδγ[φ{ζ) + ζ φ \ ζ ) + ψ{ζ)\IРис. 8.6163(34)Большой интерес представляет случай, когда дуга АВ становит­ся замкнутой, и значит, точка В , обойдя замкнутый контур, воз­вращается в положение А . Формула (34) позволяет вычислить ре­зультирующую силу, приложенную к замкнутому контуру. Здесьвозможны два существенно различных случая (рис. 8.7). В первомслучае эта сила равна нулю. Во втором случае — результирующаясила от нуля отлична.

Заметим, что для тела, находящегося в равно­весии, сумма внешних сил равна нулю всегда. Но отсюда не следу­ет, что реализуется только первый случай. Все дело в том, что теломожет быть многосвязным (рис. 8.7). Если тело односвязно илимногосвязно, но внутренние контуры либо свободны от напряже­ний, либо силы, действующие на них, компенсируют друг друга, тореализуется первый случай. Если же равнодействующая сила навнутренних контурах от нуля отлична, то она должна компенсиро­ваться отличной от нуля силой, действующей на внешний контур.В первом случае выражение (34) при обходе по замкнутому контуруприращения не получает. Во втором случае это выражение обязанополучить вполне определенное приращение.

Следовательно, в этомслучае потенциалы обязаны быть функциями многозначными. Рас­смотрим вопрос о характере данной многозначности.§ 8.7. Степень определенности комплексныхпотенциалов Колосова — МусхелишвилиВначале подведем итог сделанных выше построений.164Общее решение уравнений плоской теории упругости можнопредставить в следующем виде:σ „ +σ„ ~σ „ = 21φ\ζ) + <ρ ' ( ζ)],+ 2ίσ χγ = 2[ζφ"(ζ) + ψ'(ζ)],(35)2μ(ιι + ίν) = χφ(ζ) - ζφ'(ζ) - ψ(ζ),где μ, χ — упругие постоянные материала; φ(ζ) и ψ(ζ) — анали­тические функции комплексного аргумента ζ = х + гу .Смысл формул (35) и последующих построений можно пояс­нить на таком примере.

Пусть рассматривается некоторое обыкно­венное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общеерешение определяется с точностью до двух постоянных С, и С2:у - у(х, С,, С2). Постоянные вычисляются из дополнительных усло­вий, например, краевых условий вида>’(0, С,, С2) = О, Я 1 ,С „С 2) = 1.(36)Таким образом, для получения окончательного результата необ­ходимо решить две задачи: задачу построения общего решения изадачу выделения из множества общих решений такого, котороеудовлетворяет краевым условиям. По методам решения указанныезадачи различаются между собой существенно.Вернемся теперь к упругости.Формулы (35) — это аналог общего решения у = у(х, С,, С ,) , про­извольные функции φ{ζ) и ψ(ζ) — это аналог констант С,, С, .Еслимы возьмем произвольные аналитические функции φ(ζ) и ψ(ζ) , под­ставим их в (35), отделим действительную и мнимые части, то придемк некоторому точному решению уравнений теории упругости.Теперь необходимо решить задачу, аналогичную задаче (36) —выделить из множества решений то, которое удовлетворяет задан­ным краевым условиям.

Характеристики

Список файлов книги